版高中数学第一章立体几何初步116棱柱棱锥棱台和球的表面积学案新人教B版必修2含答案.docx
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版高中数学第一章立体几何初步116棱柱棱锥棱台和球的表面积学案新人教B版必修2含答案
1．1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
学习目标 1.理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念，了解它们的侧面展开图.2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式，并会求它们的表面积.3.掌握球的表面积公式并会求球的表面积．
知识点 直棱柱、正棱锥、正棱台和旋转体的表面积
几何体
侧面积公式
表面积（全面积）
直棱柱
S直棱柱侧＝________
棱柱、棱锥、棱台的表面积＝________＋________
正棱锥
S正棱锥侧＝________
正棱台
S正棱台侧＝________
圆柱
S圆柱侧＝2πRh
圆锥
S圆锥侧＝πRl
球
S球＝________
其中c′，c分别表示上、下底面周长，h表示高，h′表示斜高，R表示球的半径．
类型一 柱、锥、台的侧（表）面积
例1 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．
反思与感悟 多面体表面积的求解方法
（1）棱锥、棱台的表面积为其侧面积与底面积之和，底面积根据平面几何知识求解，求侧面积的关键是求斜高和底面周长．
（2）斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等，往往可以构成直角三角形（或梯形），利用好这些直角三角形（或梯形）是解题的关键．
跟踪训练1
（1）已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面面积之和，则该正四棱台的高是（ ）
A．2B.C．3D.
（2）已知正三棱锥V－ABC的主视图、俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝2，求该三棱锥的表面积．
例2
（1）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．3πB．4π
C．2π＋4D．3π＋4
（2）已知圆柱与圆锥的高、底面半径分别相等．若圆柱的底面半径为r，圆柱的侧面积为S，则圆锥的侧面积为________．
反思与感悟 由圆柱、圆锥的侧面积公式可知，要求其侧面积，必须已知（或能求出）它的底面圆的半径和它的母线长．
跟踪训练2
（1）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ ）
A.B.
C.D.
（2）轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的（ ）
A．4倍B．3倍C.倍D．2倍
类型二 简单组合体的表面积
例3
（1）如图是一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2千克，问需要油漆多少千克？
（尺寸如图，单位：
米，π取3.14，结果精确到0.01千克）
（2）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积．
反思与感悟 求组合体表面积的三个基本步骤
（1）要弄清楚它是由哪些基本几何体构成的，组成形式是什么．
（2）根据组合体的组成形式设计计算思路．
（3）根据公式计算求值．
跟踪训练3 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
类型三 球的表面积
例4 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
反思与感悟
（1）在处理球和长方体的组合问题时，通常先作出过球心且过长方体对角面的截面图，然后通过已知条件求解．
（2）球的表面积的考查常以外接球的形式出现，可利用几何体的结构特征构造熟悉的正方体，长方体等，通过彼此关系建立关于球的半径的等式求解．
跟踪训练4 已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．
1．一个几何体的三视图如图所示（单位长度：
cm），则此几何体的表面积是（ ）
A．（80＋16）cm2B．84cm2
C．（96＋16）cm2D．96cm2
2．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（ ）
A.πB．π＋
C.π＋D.π＋
3．一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）
A．1B．2
C．3D．4
4．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，则该圆柱的表面积为________．
5．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．
1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．棱柱的表面积等于它的侧面积加两个底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积．
2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．
答案精析
知识梳理
知识点
ch ch′ （c＋c′）h′ 侧面积 底面积 4πR2
题型探究
例1 解 如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，
b2＋52＝92，
∴a2＝200，b2＝56.
∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴AB2＝（）2＋（）2＝＝＝64，
∴AB＝8.
∴直四棱柱的侧面积为4×8×5＝160.
跟踪训练1
（1）A
[如图，E、E1分别是BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，连接OE、O1E1，作E1H∥O1O，
由题意，得×4＝9＋36，
∴EE1＝，
在Rt△EHE1中，E1H2＝EE－EH2＝－＝4，
∴E1H＝2，∴O1O＝2，故选A.]
（2）解 由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图，如图所示，
且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2.
取BC的中点D，连接VD，则VD⊥BC，
所以VD＝＝＝，
则S△VBC＝VD·BC
＝××2＝，
S△ABC＝×
（2）2×＝3，
所以三棱锥V－ABC的表面积为
3S△VBC＋S△ABC＝3＋3＝3（＋）．
例2
（1）D [由三视图可知，原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为
S＝2×π×12＋×2π×1×2＋2×2
＝π＋2π＋4＝3π＋4.]
（2）
解析 设圆柱的高为h，则2πrh＝S，
∴h＝.
设圆锥的母线为l，∴l＝＝.
∴圆锥的侧面积为πrl＝πr＝.
跟踪训练2
（1）A [设圆柱的母线长为l，∴l＝2πr，r＝，
则圆柱的表面积为2πr2＋l2＝2π＋l2＝l2，侧面积为l2，
∴圆柱的表面积与侧面积的比是
l2∶l2＝.
故选A.]
（2）D [设圆锥底面半径为r，
由题意知母线长l＝2r，
则S侧＝πr×2r＝2πr2，
∴＝＝2.]
例3
（1）解 建筑物为一组合体，上面是底面半径为3米，母线长为5米的圆锥，下面是底面边长为3米，高为4米的正四棱柱．
圆锥的表面积为πr2＋πrl≈3.14×32＋3.14×3×5
＝28.26＋47.1＝75.36（平方米）．
四棱柱的一个底面积为32＝9（平方米），
四棱柱的侧面积为4×4×3＝48（平方米）．
所以外壁面积S≈75.36－9＋48
＝114.36（平方米）．
故需油漆114.36×0.2＝22.872
≈22.88（千克）．
（2）解 由题意，线段AB旋转一周形成圆柱的侧面，线段CB旋转一周形成圆C，线段CD旋转一周形成圆锥的侧面，线段AD旋转一周形成一个圆环，∵∠DCB＝60°，∴圆锥的底面半径为r＝a，母线l＝2a，高为a，
∴旋转体的表面积S＝S圆柱侧＋S圆C＋S圆锥侧＋S圆环＝2π·2a·a＋π·（2a）2＋π·a·2a＋π[（2a）2－a2]
＝（9＋4）πa2.
跟踪训练3 38
解析 如图所示，该几何体是长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为1的圆柱后剩下的部分．
∴S表＝（4×1＋3×4＋3×1）×2＋2π×1×1－2π×12＝38.
例4 解 设正方体的棱长为a.
（1）正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①，所以有2r1＝a，r1＝，所以S1＝4πr＝πa2.
（2）球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图②，2r2＝a，r2＝a，所以S2＝4πr＝2πa2.
（3）正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图③，所以有2r3＝a，r3＝a，
所以S3＝4πr＝3πa2.
综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.
跟踪训练4 π
解析 如图，设球O的半径为R，则由AH∶HB＝1∶2，得
HA＝·2R＝R，∴OH＝.
∵截面面积为
π＝π·（HM）2，
∴HM＝1.
在Rt△HMO中，OM2＝OH2＋HM2，
∴R2＝R2＋HM2＝R2＋1，
∴R＝.
∴S球＝4πR2＝4π·2＝π.
当堂训练
1．A 2.C 3.B
4．6π
解析 设圆柱的底面半径为r，高为h.
由2πr＝2π得r＝1，
∴S圆柱表＝2πr2＋2πrh＝2π＋4π＝6π.
5．2
解析 设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r.
则πl2＋πr2＝3π，πl＝2πr，
∴r＝1，即圆锥的底面直径为2.
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