第三章 变化率与导数导数的运算文档格式.docx

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g（x）]′＝f′（x）±

g′（x）；

（2）[f（x）·

g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；

（3）

′＝

　（g（x）≠0）．

6．复合函数的求导法则

复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx′＝yu′·

ux′.

一个区别

曲线y＝f（x）“在”点P（x0，y0）处的切线与“过”点P（x0，y0）的切线的区别：

曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k＝f′（x0），是唯一的一条切线；

曲线y＝f（x）过点P（x0，y0）的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．

两种法则

（1）导数的四则运算法则．

（2）复合函数的求导法则．

三个防范

1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．

2．要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别．

3．正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏．

双基自测

1．下列求导过程中

①

′＝－

②（

）′＝

③（logax）′＝

④（ax）′＝（elnax）′＝（exlna）′＝exlnalna＝axlna

其中正确的个数是（　　）．

A．1B．2C．3D．4

2．函数f（x）＝（x＋2a）（x－a）2的导数为（　　）．

A．2（x2－a2）B．2（x2＋a2）

C．3（x2－a2）D．3（x2＋a2）

3．曲线y＝

－

在点M

处的切线的斜率为（　　）．

A．－

B.

C．－

D.

4．若f（x）＝x2－2x－4lnx，则f′（x）＞0的解集为（　　）．

A．（0，＋∞）B．（－1,0）∪（2，＋∞）C．（2，＋∞）D．（－1,0）

5．如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0,4），（2,0），（6,4），则f（f（0））＝______；

＝________（用数字作答）．

考向一　导数的定义

【例1】►利用导数的定义求函数f（x）＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f（x）＝x3在x＝x0处切线与曲线f（x）＝x3的交点．

【训练1】利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．

考向二　导数的运算

【例2】►求下列各函数的导数：

（1）y＝

（2）y＝（x＋1）（x＋2）（x＋3）；

（3）y＝sin

（4）y＝

＋

【训练2】求下列函数的导数：

（1）y＝xnex；

（2）y＝

（3）y＝exlnx；

（4）y＝（x＋1）2（x－1）．

考向三　求复合函数的导数

【例3】►求下列复合函数的导数．

（1）y＝（2x－3）5；

（3）y＝sin2

（4）y＝ln（2x＋5）．

【训练3】求下列函数的导数：

（2）y＝sin22x；

（3）y＝e－xsin2x;

（4）y＝ln

规范解答6——如何求曲线上某一点的切线方程

【问题研究】利用导数的几何意义求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程是高考常常涉及的问题.这类问题最容易出现的错误就是分不清楚所求切线所过的点是不是切点而导致错误.,

【解决方案】解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”，然后求某点处的斜率，用点斜式写出切线方程.

【示例】►（本题满分12分）已知函数f（x）＝lnx－ax＋

－1（a∈R）．

（1）当a＝－1时，求曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程；

（2）当a≤

时，讨论f（x）的单调性．

第2讲　导数的应用

（一）

1．利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．

2．由函数单调性和导数的关系，求参数的范围．

本讲复习时，应理顺导数与函数的关系，理解导数的意义，体会导数在解决函数有关问题时的工具性作用，重点解决利用导数来研究函数的单调性及求函数的单调区间．

1．导数的几何意义

函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f′（x0）是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处切线l的斜率，切线l的方程是y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）．

2．导数的物理意义

若物体位移随时间变化的关系为s＝f（t），则f′（t0）是物体运动在t＝t0时刻的瞬时速度．

3．函数的单调性

在（a，b）内可导函数f（x），f′（x）在（a，b）任意子区间内都不恒等于0.

f′（x）≥0⇔函数f（x）在（a，b）上单调递增；

f′（x）≤0⇔函数f（x）在（a，b）上单调递减．

易误警示

直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；

反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点．

两个条件

（1）f′（x）＞0在（a，b）上成立是f（x）在（a，b）上单调递增的充分条件．

（2）对于可导函数f（x），f′（x0）＝0是函数f（x）在x＝x0处有极值的必要不充分条件．

三个步骤

　求函数单调区间的步骤：

（1）确定函数f（x）的定义域；

（2）求导数f′（x）；

（3）由f′（x）＞0（f′（x）＜0）解出相应的x的范围．

当f′（x）＞0时，f（x）在相应的区间上是增函数；

当f′（x）＜0时，f（x）在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．

1．曲线y＝x3＋11在点P（1,12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（　　）．

A．－9B．－3C．9D．15

2．函数f（x）＝x2－2lnx的递减区间是（　　）．

A．（0,1]B．[1，＋∞）C．（－∞，－1），（0,1）D．[－1,0），（0,1]

3．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为（　　）．

A．1B.

C.

D.

4．在高台跳水运动中，ts时运动员相对水面的高度（单位：

m）是t1（t）＝－4.9t2＋6.5t＋10，高台跳水运动员在t＝1s时的瞬时速度为________．

5．函数f（x）＝x3－3x2＋1的递增区间是________．

考向一　求曲线切线的方程

【例1】►已知函数f（x）＝x3－4x2＋5x－4.

（1）求曲线f（x）在x＝2处的切线方程；

（2）求经过点A（2，－2）的曲线f（x）的切线方程．

【训练1】若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，试求k的值．

考向二　函数的单调性与导数

【例2】►已知函数f（x）＝x3－ax2－3x.

（1）若f（x）在[1，＋∞）上是增函数，求实数a的取值范围；

（2）若x＝3是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间．

【训练2】已知函数f（x）＝ex－ax－1.

（1）求f（x）的单调增区间；

（2）是否存在a，使f（x）在（－2,3）上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

考向三　利用导数解决不等式问题

【例3】►设a为实数，函数f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R.

（1）求f（x）的单调区间与极值；

（2）求证：

当a＞ln2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1.

【训练3】已知m∈R，函数f（x）＝（x2＋mx＋m）ex

（1）若函数没有零点，求实数m的取值范围；

（2）当m＝0时，求证f（x）≥x2＋x3.

阅卷报告2——书写不规范失分

【问题诊断】利用导数求解函数的单调区间是高考的热点内容，这类问题求解并不难，即只需由f′（x）＞0或f′（x）＜0，求其解即得.但在求解时会因书写不规范而导致失分.

【防范措施】对于含有两个或两个以上的单调增区间（或单调减区间），中间用“，”或“和”连接，而不能用符号“∪”连接.

【示例】►设函数f（x）＝x（ex－1）－

x2，求函数f（x）的单调增区间．

【试一试】设函数f（x）＝ax3－3x2，（a∈R），且x＝2是y＝f（x）的极值点，求函数g（x）＝ex·

f（x）的单调区间．

第3讲　导数的应用

（二）

1．利用导数求函数的极值．

2．利用导数求函数闭区间上的最值．

3．利用导数解决某些实际问题．

本讲复习时，应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用，会将一些实际问题抽象为数学模型，从而用导数去解决．复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用.

1．函数的极值

（1）判断f（x0）是极值的方法

一般地，当函数f（x）在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极大值；

②如果在x0附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，那么f（x0）是极小值．

（2）求可导函数极值的步骤

①求f′（x）；

②求方程f′（x）＝0的根；

③检查f′（x）在方程f′（x）＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；

如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．

2．函数的最值

（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．

（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的最小值，f（b）为函数的最大值；

若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的最大值，f（b）为函数的最小值．

（3）设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，求f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①求f（x）在（a，b）内的极值；

②将f（x）的各极值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x）；

（2）求函数的导数f′（x），解方程f′（x）＝0；

（3）比较函数在区间端点和f′（x）＝0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；

（4）回归实际问题作答．

两个注意

（1）注意实际问题中函数定义域的确定．

（2）在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．

（1）求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；

另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．

（2）f′（x0）＝0是y＝f（x）在x＝x0取极值的既不充分也不必要条件．

如①y＝|x|在x＝0处取得极小值，但在x＝0处不可导；

②f（x）＝x3，f′（0）＝0，但x＝0不是f（x）＝x3的极值点．

（3）若y＝f（x）可导，则f′（x0）＝0是f（x）在x＝x0处取极值的必要条件．

1．若a＞0，b＞0，且函数f（x）＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于（　　）．

A．2B．3C．6D．9

2．已知函数f（x）＝

x4－

x3＋2x2，则f（x）（　　）．

A．有极大值，无极小值B．有极大值，有极小值

C．有极小值，无极大值D．无极小值，无极大值

3．已知某生产厂家的年利润y（单位：

万元）与年产量x（单位：

万件）的函数关系式为y＝－

x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（　　）．

A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件

4．函数f（x）＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．

5．若函数f（x）＝

在x＝1处取极值，则a＝________.

考向一　函数的极值与导数

【例1】►（2011·

重庆）设f（x）＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′（x），若函数y＝f′（x）的图象关于直线x＝－

对称，且f′

（1）＝0.

（1）求实数a，b的值；

（2）求函数f（x）的极值．

【训练1】设f（x）＝

，其中a为正实数．

（1）当a＝

时，求f（x）的极值点；

（2）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．

考向二　函数的最值与导数

【例2】►已知a为实数，且函数f（x）＝（x2－4）（x－a）．

（1）求导函数f′（x）；

（2）若f′（－1）＝0，求函数f（x）在[－2,2]上的最大值、最小值．

【训练2】函数f（x）＝x3＋ax2＋b的图象

在点P（1,0）处的切线与直线3x＋y＝0平行

（1）求a，b；

（2）求函数f（x）在[0，t]（t>

0）内的最大值和最小值．

考向三　用导数解决生活中的优化问题

【例3】请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x（cm）．

（1）若广告商要求包装盒的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？

（2）某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？

并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

【训练3】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中，每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：

y＝

x3－

x＋8（0<

x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米．

（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？

最少为多少升？

难点突破7——有关导数热点问题的求解策略

导数的工具性使得导数在高考中的应用有得天独厚的优势，特别是在研究函数的性质、相切问题以及实际优化的问题方面．近年，各地高考都从不同的方面对导数内容进行考查，既有考查导数的小题，又有考查导数综合应用的大题．这些问题构成了高考试卷中一道亮丽的风景线．

一、研究曲线切线的导数问题

导数的几何意义是我们解决有关直线与曲线相切的问题以及切线的斜率问题的有力武器，它使得复杂的图象关系问题转化为简单的函数问题、因而常常与导函数在切点的函数值一起作为列出方程的重要依据．

【示例】设函数f（x）＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f（x）过P（1,0），且在P点处的切线斜率为2

（1）求a、b的值；

（2）证明：

f（x）≤2x－2.

二、研究函数性质的导数问题

导数是研究函数问题的有力工具，常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题．

【示例】设f（x）＝lnx，g（x）＝f（x）＋f′（x）．

（1）求g（x）的单调区间和最小值；

（2）讨论g（x）与g

的大小关系；

（3）求a的取值范围，使得g（a）－g（x）＜

对任意x＞0成立．

▲解决实际问题的导数问题（教师备选）

对于实际问题中的一些优化问题，如成本最低、利润最大、用料最省等问题，常常需要将实际问题抽象为数学问题，然后化为函数的最值来解决，而求解函数最值最有效的方法是导数法，因此，导数被广泛地应用于实际生活中的一些优化问题的求解过程，成为求解这些优化问题的首选．

【示例】►如图所示，一根水平放置的长方体枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比．

（1）将此枕木翻转90°

（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷会变大吗？

为什么？

（2）现有一根横截面为半圆（半圆的半径为R）的柱形木材，用它截取成横截面为长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？

第4讲　定积分的概念与微积分基本定理

1．考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理．

2．利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程．

定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等．　　

1．定积分

（1）定积分的定义及相关概念

如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<

x1<

…xi－1<

xi<

…＜xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi（i＝1,2，…，n），作和式

f（ξi）Δx＝

f（ξi），当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f（x）在区间[a，b]上的定积分，记作

f（x）dx.

在

f（x）dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式．

（2）定积分的性质

kf（x）dx＝k

f（x）dx（k为常数）．

②

[f1（x）±

f2（x）]dx＝

f1（x）dx±

f2（x）dx.

③

f（x）dx＝

f（x）dx＋

f（x）dx（其中a<

c<

b）．

2．微积分基本定理

如果f（x）是区间[a，b]上的连续函数，并且F′（x）＝f（x），那么

f（x）dx＝F（b）－F（a），这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式．

3．定积分的应用

（1）定积分与曲边梯形的面积

定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来定：

一种思想

定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就．

三条性质

（1）常数可提到积分号外；

（2）和差的积分等于积分的和差；

（3）积分可分段进行．

一个公式

由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．

4．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx（0≤x≤π）与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（　　）．

A.

C.

考向一　定积分的计算

【例1】　计算下列积分

考向二　利用定积分求面积

【例2】　求下图中阴影部分的面积．

【训练2】求曲线y＝

，y＝2－x，y＝－

x所围成图形的面积．

考向三　定积分的应用

【例3】　一质点在直线上从时刻t＝0（s）开始以速度v＝t2－4t＋3（m/s）运动．求：

（1）在t＝4s的位置；

（2）在t＝4s内运动的路程．

【训练3】已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶，甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（　　）．

A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．t1时刻后，甲车在乙车后面

C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面

难点突破8——积分的综合应用

定积分的考查在试卷中不是必然出现的，一般以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，在近两年的高考中，考查的一般是定积分的计算和定积分在求曲边图形面积中的应用等，如2011年福建卷，陕西卷考查的是定积分的计算，新课标全国卷、湖南卷、山东卷考查的是定积分求曲边形的面积．

一、积分的几何意义

【示例】►已知r>

0，则

－r

dx＝________.

二、积分与概率

【示例】从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为__________．

专题一　高考函数与导数命题动向

高考命题分析

函数是数学永恒的主题，是中学数学最重要的主干知识之一；

导数是研究函数的有力工具，函数与导数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，而且函数的观点及其思想方法贯穿于整个高中数学教学的全过程，高考对函数的考查更多的是与导数的结合，发挥导数的工具性作用，应用导数研究函数的性质、证明不等式问题等，体现出高考的综合热点．所以在高考中函数知识占有极其重要的地位，是高考考查数学思想、数学方法、能力和素质的主要阵地．

高考命题特点

函数与导数在高考试卷中形式新颖且呈现出多样性，既有选择题、填空题，又有解答题．其命题特点如下：

（1）全方位：

近年新课标的高考题中，函数的知识点基本都有所涉及，虽然高考不强调知识点的覆盖率，但函数知识点的覆盖率依然没有减小．

（2）多层次：

在近年新课标的高考题中，低档、中档、高档难度的函数题都有，且题型齐全．低档难度题一般仅涉及函数本身的内容，诸如定义域、值域、单调性、周期性、图象等，且对能力的要求不高；

中、高档难度题多为综合程度较高的试题，或者函数与其他知识结合，或者是多种方法的渗透．

（3）巧综合：

为了突出函数在中学数学中的主体地位，近年高考强化了函数与其他知识的渗透，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力（甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力）的综合程度．

（4）变角度：

出于“立意”