高三复习第八讲n次独立重复试验与二项分布Word文档格式.docx
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（1）独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用Ai（i＝1,2，…，n）表示第i次试验结果，则P（A1A2A3…An）＝____________．
（2）二项分布
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）＝________（k＝0,1,2，…，n），此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率．
二项分布与两点分布有何关系？
某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球5次，恰好投进3个球的概率为________（用数值作答）．
【自我校对】
1． 事件A 事件B P（B|A）＋P（C|A）
想一想：
提示：
若事件A、B是相互独立事件，则P（B|A）＝P（B）．
填一填：
0．72 提示：
记“这粒种子发芽”为事件A，“这粒种子长成幼苗”为事件B，
由题意：
P（A）＝0．9，P（B|A）＝0．8， ∴P（AB）＝P（A）·
P（B|A）＝0．8×
0．9＝0．72．
2．P（A）·
P（B） A B
提示：
恰有一个一等品的概率
P＝P（A∩）＋P（∩B）＝P（A）·
P（）＋P（）·
P（B）＝×
＋×
＝．
3．P（A1）P（A2）P（A3）…P（An） Cpk（1－p）n－k
两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布．
提示：
C（）2（）3＝．
【核心要点研究】02
【考点一】条件概率
例1 [2012·
湖北高考]根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：
mm）对工期的影响如下表：
降水量X
X<
300
300≤X<
700
700≤X<
900
X≥900
工期延误天数Y
2
6
10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0．3,0．7,0．9．求：
（1）工期延误天数Y的均值与方差；
（2）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
【审题视点】 对于第
（1）问的求解先求出离散型随机变量的分布列，再根据期望、方差公式求出期望、方差；
对于第
（2）问涉及的概率问题可利用概率性质求解．
[解]
（1）由已知条件和概率的加法公式有：
P（X<
300）＝0．3， P（300≤X<
700）＝P（X<
700）－P（X<
300）＝0．7－0．3＝0．4，
P（700≤X<
900）＝P（X<
900）－P（X<
700）＝0．9－0．7＝0．2．
P（X≥900）＝1－P（X<
900）＝1－0．9＝0．1．
Y
P
0．3
0．4
0．2
0．1
所以Y的分布列为：
于是，E（Y）＝0×
0．3＋2×
0．4＋6×
0．2＋10×
0．1＝3；
D（Y）＝（0－3）2×
0．3＋（2－3）2×
0．4＋（6－3）2×
0．2＋（10－3）2×
0．1＝9．8．
故工期延误天数Y的均值为3，方差为9．8．
（2）由概率的加法公式，得P（X≥300）＝1－P（X<
300）＝0．7．
又P（300≤X<
300）＝0．9－0．3＝0．6．
由条件概率，得P（Y≤6|X≥300）＝P（X<
900|X≥300）＝＝＝．
故在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是．
【师说点拨】
（1）利用定义，分别求P（A）和P（AB），得P（B|A）＝．这是通用的求条件概率的方法．
（2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n（AB），得P（B|A）＝．
【变式探究】 [2011·
湖南高考]如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则
（1）P（A）＝________；
（2）P（B|A）＝________．
答案：
（1）
（2）
解析：
该题为几何概型，圆的半径为1，正方形的边长为，
∴圆的面积为π，正方形面积为2，扇形面积为．
故P（A）＝，P（B|A）＝＝＝．
【考点二】相互独立事件的概率
例2 [2012·
山东高考]现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；
向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
（1）求该射手恰好命中一次的概率；
（2）求该射手的总得分X的分布列及数学期望E（X）．
【审题视点】 射手的三次射击是相互独立的，故利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
[解]
（1）由于射手每次射击的结果相互独立，所以P（命中一次）＝×
×
2＝．
（2）由题意知得分X的可能取值为0,1,2,3,4,5，
P（X＝0）＝×
＝， P（X＝1）＝×
＝， P（X＝2）＝×
2＝，
P（X＝3）＝×
2＝， P（X＝4）＝×
＝， P（X＝5）＝×
因此随机变量X的分布列为
X
1
3
4
5
所以E（X）＝0×
＋1×
＋2×
＋3×
＋4×
＋5×
奇思妙想：
例题条件不变，求该射手恰好命中两次的概率．
解：
P＝×
相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质（是互斥还是相互独立），再选择相应的公式计算求解．
【变式探究】[2013·
兰州模拟]某校为宣传教育局提出的“教育发展，我的责任”教育实践活动，要举行一次以“我为教育发展做什么”为主题的演讲比赛，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是、、，且各阶段通过与否相互独立．
（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；
（2）设该选手在比赛中比赛的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
（1）记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过决赛”为事件C，则
P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝．
所以所求的概率P＝P（A）＝P（A）P（）＝×
（1－）＝．
（2）依题意知ξ的可能取值为1,2,3．
P（ξ＝1）＝P（）＝1－＝，
P（ξ＝2）＝P（A）＝P（A）P（）＝×
（1－）＝，
P（ξ＝3）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝×
ξ的分布列为：
ξ
ξ的数学期望E（ξ）＝1×
【考点三】独立性重复试验与二项分布
例3 [2012·
天津高考]现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：
每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．
【审题视点】
（1）利用二项分布的概率公式求解；
（2）利用二项分布和互斥事件的概率公式求解；
（3）建立概率分布表，利用期望的定义式求解数学期望．
[解] 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为．
设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件
（i＝0,1,2,3,4），则
．
（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P（A2）＝
（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4.由于A3与A4互斥，故
所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为．
（3）ξ的所有可能取值为0,2,4．由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故
P（ξ＝0）＝P（
）＝，P（ξ＝2）＝P（
）＋P（
）＝，
P（ξ＝4）＝P（
）＝．
所以ξ的分布列是
随机变量ξ的数学期望E（ξ）＝0×
【师说点拨】独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．
【变式探究】 某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，规定参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有A、B、C三家社区医院，并且他们的选择是等可能的、相互独立的．
（1）求甲、乙两人都选择A社区医院的概率；
（2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；
（3）设在4名参加保险人员中选择A社区医院的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
（1）设“甲、乙两人都选择A社区医院”为事件A，那么P（A）＝×
＝，
所以甲、乙两人都选择A社区医院的概率为．
（2）设“甲、乙两人选择同一家社区医院”为事件B，那么P（B）＝C×
所以甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率P（）＝1－P（B）＝．
（3）解法一 随机变量ξ可能取的值为0,1,2,3,4，那么
P（ξ＝0）＝C×
（）4＝；
P（ξ＝1）＝C×
（）3＝；
P（ξ＝2）＝C×
（）2×
（）2＝；
P（ξ＝3）＝C×
（）3×
＝；
P（ξ＝4）＝C×
（）4＝．
所以ξ的分布列为
故ξ的数学期望E（ξ）＝0×
解法二 依题意ξ～B（4，），所以P（ξ＝k）＝C×
（）k×
（）4－k＝C×
.
故ξ的分布列为
所以ξ的数学期望E（ξ）＝4×
【课课精彩无限】03
准确把握二项分布的求解特点
【选题·
热考秀】
[2012·
四川高考]某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．
（1）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
（2）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望
E（ξ）．
[规范解答]
（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，则
1－P（）＝1－·
p＝，解得p＝．
（2）由题意，P（ξ＝0）＝C3＝，P（ξ＝1）＝C2·
P（ξ＝2）＝C·
2＝，P（ξ＝3）＝C3＝
所以，随机变量ξ的概率分布列为
故随机变量ξ的数学期望：
E（ξ）＝0×
【备考·
角度说】
No．1 角度关键词：
审题视角
（1）依据题意及相互对立的两个事件的概率间的关系列出相关的方程，通过解方程得出结论．
（2）系统A在每次试验中不发生故障的概率均为，所以可根据独立重复试验的相关概率公式列出相应的分布列，进而利用期望的定义公式通过计算得出期望值．
No．2 角度关键词：
方法突破
二项分布模型也称为n次独立重复试验模型，这种模型实质是由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与，每次试验事件A发生的概率均为p（0<
p<
1），即P（A）＝p，P（）＝1－p＝q．由于试验的独立性，n次试验中，事件A在某指定的k次发生，而在其余n－k次不发生的概率为pkqn－k，在n次试验中，事件A恰好发生k（0≤k≤n）次的概率为
Pn（k）＝Cpkqn－k，k＝0,1,2，…，n.它恰好是（q＋p）n的二项展开式中的第k＋1项．若X～B（n，p），则
E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）．
【经典演练提能】04
1．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0．6，乙被录取的概率为0．7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为（ ）
A．0．12 B．0．42 C．0．46 D．0．88
D
1－0．4×
0．3＝0．88，选D项．
2．甲射击命中目标的概率为0．75，乙射击命中目标的概率为，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为（ ）
A． B．1 C． D．
C
1－×
＝，选C项．
3．[2011·
辽宁高考]从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）等于（ ）
A． B． C． D．
B
∵P（A）＝＝，P（AB）＝＝，∴P（B|A）＝＝.
4．[2013·
厦门质检]三人独立破译同一份密码．已知三人各自破译出密码的概率分别为，，，且他们是否破译出密码互不影响，设“密码被破译”的概率为P1，“密码未被破译”的概率为P2，则P1，P2的大小关系为（ ）
A．P1>
P2 B．P1＝P2 C．P1<
P2 D．无法判断
A
记“第i个人破译出密码”为事件Ai（i＝1,2,3），依题意有P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝且A1，A2，A3相互独立．设“密码被破译”为事件B，“密码未被破译”为事件C，则C＝·
·
，且，，相互独立，故P2＝P（C）＝P
（1）·
P
（2）·
P（3）＝×
＝，而P1＝P（B）＝1－P（C）＝．故P1>
P2．
5．[2013·
四川模拟]在四次独立重复试验中，事件A在每次试验中出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为（ ）
A． B． C． D．
设事件A在每次试验中发生的概率为p，则事件A在4次独立重复试验中，恰好发生k次的概率为
pk＝Cpk（1－p）4－k（k＝0,1,2,3,4），∴ p0＝Cp0（1－p）4＝（1－p）4，由条件知1－p0＝，
∴ （1－p）4＝，∴ 1－p＝， ∴ p＝. ∴p1＝Cp·
（1－p）3＝4×
（）3＝，故选C．
【限时规范特训】05
（时间：
45分钟 分值：
100分）
一、选择题
1．[2013·
河池模拟]高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标（甲、乙两人互不影响），现各射击一次，目标被击中的概率为（ ）
A． B． C． D．
目标被击中的概率为P＝1－（1－）（1－）＝1－＝．
2．[2013·
湖北调研]如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0．9、0．8、0．8，则系统正常工作的概率为（ ）
A．0．960 B．0．864 C．0．720 D．0．576
系统正常工作概率为
C×
0．9×
0．8×
（1－0．8）＋0．9×
0．8＝0．864，所以选B．
3．[2013·
大庆模拟]某单位在一次春游踏青中，开展有奖答题活动，从2道文史题和3道理科题中不放回地依次抽2道，在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为（ ）
因为第一次抽到的是理科题，此时剩下2道文史题和2道理科题，故第二次抽到理科题的概率为
北京海淀模拟]已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率（ ）
事件A：
“第一次拿到白球”，B：
“第二拿到红球”，则P（A）＝＝，P（AB）＝·
＝，故
P（B|A）＝＝．
江西模拟]一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：
在10箱中各任意抽查一枚；
方法二：
在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p1和p2，则（ ）
A．p1＝p2 B．p1<
p2 C．p1>
p2 D．以上三种情况都有可能
方法一：
一箱中抽到劣币的概率为．则至少抽到一枚劣币的概率为1－（）10，即p1＝1－0．9910．
一箱中抽到劣币的概率为＝．则至少抽到一枚劣币的概率为1－（）5，即p2＝1－0．985，
而p1＝1－0．9910＝1－（0．992）5＝1－（0．9801）5<
p2．
6．[2013·
焦作模拟]一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（ ）
取球5次共有35种取法，若恰好取5次时停止取球，则说明前4次只取到两种颜色的球，第5次才取到第三种颜色的球，此时从三种颜色中选二种在前4次出现，共有C＝3种，两种颜色中的某一种在前4次中可能出现1次，2次，3次，共有C＋C＋C＝14种取法，所以恰好取5次时停止取球共有
3×
14种取法，所以所求概率为＝，选B．
二、填空题
7．[2013·
铜仁模拟]已知某高三学生在2012年的高考数学考试中，A和B两道解答题同时做对的概率为，在A题做对的情况下，B题也做对的概率为，则A题做对的概率为________．
做对A题记为事件E，做对B题记为事件F，根据题意知P（EF）＝，又P（F|E）＝＝，则P（E）＝，即A题做对的概率为．
8．[2013·
南充模拟]抛掷红、黄两颗骰子，则在红色骰子的点数为4或6的条件下，两颗骰子点数之积大于20的概率是________．
抛掷红、黄两颗骰子所得的点数共有6×
6＝36个基本事件，其中红色骰子点数为4或6的基本事件有12个，两颗骰子点数之积大于20的有：
4×
6,6×
4,6×
5,6×
6，共4个基本事件，所以所求概率为＝．
9．[2013·
大理模拟]已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：
取出1个白球得2分，取出1个黑球得1分．现从该箱中任意（无放回，且每球取到的机会均等）取出3个球，则得分之和为5分的概率为________．
由题意知，得分为5分只能是取2个白球和1个黑球，符合超几何分布，所以所求概率P＝＝．
三、解答题
10．[2013·
丽江模拟]为了下一次的航天飞行，现准备从6名预备队员（其中男4名，女2名）中选3名参加“神舟十号”的航天任务．
（1）求男甲和女乙同时被选中的概率；
（2）设所选3名航天员中女预备队员人数为X，求X的分布列及数学期望；
（3）若选派3名航天员依次到A，B，C3个实验室，求A实验室是男航天员的情况下，B实验室是女航天员的概率．
（1）由题意知，所有不同的选法共有C种，其中男甲和女乙同时被选中的选法有C种，
则男甲和女乙同时被选中的概率为＝．
（2）X的所有可能取值为0,1,2．
依题意得P（X＝0）＝＝；
P（X＝1）＝＝；
P（X＝2）＝＝．
∴X的分布列为：
∴E（X）＝0×
＝1．
（3）设事件M为“A实验室是男航天员”，事件N为“B实验室是女航天员”．
则P（M）＝＝，P（MN）＝＝，
∴A实验室是男航天员的情况下，B实验室是女航天员的概率为P（N|M）＝＝＝．
11．[2013·
淮北模拟]美国NBA是世界著名的篮球赛事，在一个赛季结束后，分别从东部联盟和西部联盟各抽出50名NBA篮球运动员，统计他们在这一赛季中平均每场比赛的得分，统计结果如下表：
东部联盟
分值分组
[0,5）
[5,10）
[10,15）
[15,20）
[20,25）
[25,30）
频数
21
11
西部联盟
12
19
若规定平均每场比赛得分在15分及以上的球员为优秀球员．
（1）分别估计东部联盟和西部联盟球员的优秀率；
（2）东部联盟
升级会员 