全等三角形Word下载.docx

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五、教学进度安排：

第十一章13课时

第十二章12课时

第十三章10课时

第十四章18课时

第十五章15课时

第1课时全等三角形

一、教学目的：

（1）了解全等形、全等三角形的概念．

（2）掌握全等三角形的表示法，能够辩认全等三角形的对应元素．

（3）了解全等三角形对应边相等、对应角相等的性质．

二、教学重、难点：

（1）全等三角形的概念和性质．

（2）辩认全等三角形的对应元素．

三、教学用具：

投影仪，剪刀，二张硬纸张，红、黄、兰三色彩笔各一支．

四、教学过程：

（一）实验引入：

实际生活中，我们常常看到许多这样的物体，如：

同一模子印出的月饼；

同一底片冲洗出来的相片等等．请同学们想一想，个别回答：

（1）它们有什么共同点？

（2）用什么方法检验它们是否一模一样呢？

教师指导学生动手任剪一个三角形，怎样再剪一个三角形与之完全重合呢？

这两个三角形在几何中称为什么关系呢？

这是今天我们所要研究的

（二）新授讲解：

1、能够完全重合的两个图形叫全等形

2、两个三角形完全重合时，称这两个三角形为全等三角形．互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角（指出：

对应边不是对边，对应角不是对角）

3、全等的符号：

≌，读作：

全等于．

举例说明，如图：

图中，△ABC与△A’B’C’全等，记作△ABC≌A’B’C’，其中，

对应顶点有：

A与A’，B与B’，C与C’．

对应边有：

AB与A’B’，BC与B’C’，DA与C’A’．

对应角有：

∠A与∠A’，∠B与∠B’，∠C与∠C’．

强调：

记三角形全等时，对应顶点应记在对应的位置上．

4、寻找对应元素的方法：

（1）把对应顶点、对应边、对应角统称为全等三角形的对应元素．

（2）若将两个全等三角形对应顶点记在对应位置上，则可按顺序直接说出对应元素．

例1如图：

已知：

△ABC≌DFE，A与D，B与F是对应顶点，

则：

（C与E是对应顶点）

AB与DF，AC与DE，BC与FE．

∠A与∠D，∠B与∠F，∠C与∠E．

例2如图：

△ABC≌△DBC且AB=DB

（A与D、B与B、C与C是对应顶点）

AB与DB，AC与DC，BC与BC．

∠A与∠D，∠ABC与∠DBC，∠ACB与∠DCB．

课堂练习：

练习结束后，可引导学生发现找对应元素还有另外的方法（供同学们参考）

（1）两个全等三角形中，一对最长（短）的边是对应边，一对最大（小）的角是对应角．

（2）公共边定是对应边，公共角定是对应角，对顶角是对应角．

（3）对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边；

对应边所夹的角是对应角，对应角所夹的边是对应这．

由于互相重合的两条线段相等，互相重合的两个角相等，故有：

5、全等三角形的两条性质：

（1）全等三角形对应边相等．

（2）全等三角形对应角相等．

（三）课堂小结：

本节学习的主要内容有：

（1）全等形，全等三角形及有关概念．

（2）全等三角形的表示法．

（3）全等三角形的性质．（4）辩认全等三角形对应元素的方法．

（四）课外作业：

后记：

第2课时全等三角形

教学目的：

1．使学生理解三角形的稳定性与判定三角形全等的《边边边公理》．

2．使学生初步学习《边边边公理》的运用．

3．培养学生的观察——分析——概括的能力．

教学重点：

1．三角形的稳定性与《边边边公理》的认识．

2．解题思路的寻求．

教学难点：

数学问题中，条件与结论的确认；

寻求解题思路的分析法．

教学过程：

（一）旧知识的复习

引导学生回忆已学的判定三角形全等的《边角边公理》与《角边角公理》，并再度阐明：

1．三角形虽然含有三条边、三个角共有六个元素，但在两个三角形中，如果各有三个元素如“两边一夹角”或“两角一夹边”对应地相等，两个三角形就全等了，其它的“两角一夹边”或“两边一夹角”也就对应地相等了．

2．实际上，一个三角形中，有“两边一夹角”或“两角一夹边”固定了，三角形的大小、形状也就固定而不能改变了．

（二）新知识的教学

1．问题的提出：

（就图说明）

类比着《边角边公理》和《角边角公理》即“三元素定三角形”，提出：

如果两个三角形中各自的三条边彼此对应相等，这样的两个三角形能不能全等，也就是能不能重合？

2．演示实验：

（1）以由定长的三边构成的三角形进行不变大小和形状的实验．（用模型）

（2）利用边长既定的三角形模型与边长既定的四边形模型进行三角形稳定性的对比实验，以明确三角形的稳定性．（也显示稳定性是全等的基本保证）

（3）以三边对应相等的两个三角形模型进行全等的实验．

3．明确公理内容

使学生试述《边边边公理》的内容；

并告以简记法“边边边”或“SSS”；

更以图再度明确：

在△ABC与△A’B’C’中，如果AB=A’B’，BC=B’C’，AC=A’C，那么△ABC≌△A’B’C’．

（三）举例作应用示范

例1在△ABC中，如果AB=AC，D是BC的中点，那么AD⊥BC，

首先以简易水平仪模型，介绍、演示构造和用途、用法：

先介绍两边相等的三角形架（AB=AC），点A处系一线锤；

D是BC的中点．再以架梁时检验梁是否水平为例，演示用法——如下图：

然后引导学生分析BC是否在水平位置，关键在于“它是否与AD垂直”．

而后再引导学生把问题归结为数学问题，分清条件、结论，画出图形（如下）；

寻求论证思路．（此时正式提出例1）

如右图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点．

求证：

AD⊥BC．

在寻求论证思路的过程中，突出地使学生认识到“证明一个角是直角，可证和它的邻补角相等”与“两三角形公共边的使用”．

例2在四边形ABCD中，如果AD=BC，AB=DC，那么∠A＝∠C，AD∥BC．

首先从“边长既定的四边形不具有稳定性”的分析出发，结合“不等边四边形”模型的演示，指明所谓边长一定的四边形“不稳定”，就是它的各角的大小是不固定的．而后以“对边分别相等的四边形”模型进行演示，使学生观察出，随着变形，∠A和∠C的大小有变，但似乎总是相等的；

还有AD、BC位置有变，但似乎总是平行的，从而引出例2：

如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AB=DC．

∠A=∠C，AD∥BC．

在寻求论证思路的过程中，首先只以“设法寻出两个三角形分别包含∠A和∠C；

和设法证明这两个三角形全等，并且∠A和∠C是它们的对应角”来引导，其余留给学生思考．

例3如图，已知：

AB＝AC，BD＝CD，E是AD延长线上一点，求证：

BE=CE．

首先从“做个实验”出发：

（结合在黑板上示范）

先使学生各自在纸上任取两点B、C，然后分别以B、C为圆心，同长半径画两弧交于点A；

而后“换个半径”仍分别以B、C为圆心画两弧交于点D；

再连结AD并延长，在AD延长线上任取一点E；

再度量EB、EC的长并作比较．

在实验结果的基础上，“造出”例3（说出条件、结论并画出图），而后寻求论证思路．

在寻求思路过程中，先只作“可设法寻出分别以BE、CE为边的两个三角形，而后证明它们全等，并且BE、CE是它们的对应边”的引导，其余留给学生思考．

在学生答不出或答不全后，再引导以“可先寻出证明全等三角形所缺条件，并证明它们相等．”而后再使学生各自思考．

最后以投影仪投出完整的证明，让学生再温习一遍．（如时间不够，则作为习题来完成．）

（四）学习小结

引导学生回忆，共同作出学习小结：

1．已经知道了三角形的稳定性指的是，三角形与四边形、五边形、……可改变形状不同，它是不会改变形状的．

2．已经学习了三种判定三角形全等的公理，即边角边（S．A．S）、角边角（A．S．A）、边边边（S.S.S）公理．

3．证明两线段（或角）相等，可先证分别包含它们的两三角形全等，再证它们是全等三角形的对应边（或角）．有时需要证明两次三角形全等．

4．证明一个角是直角，可证它和它的邻补角相等．

5．寻求全等三角形中，可添辅助线造出全等三角形．

（五）布置作业

1．完成例3两种方法的证明．

2．已知：

如图，AB＝AD，DC=CB，求证：

∠B=∠D．

3．已知：

如图，△ABC和△DBC的顶点A和D在BC的同旁，AB＝DC，AC=DB，AC和DB相交于点O．

OA=OD．

第3课时三角形全等的判定公理

（一）

（1）要求学生理解并掌握三角形全等判定公理1，能熟练地运用它判定两个三角形全等，会用这个公理证明最简单的三角形全等的问题．

（2）培养学生动手和观察能力，以及分析、综合、推理能力．

（3）注意渗透辩证唯物主义观点的教育

教学重难点：

边角边公理及应用

（一）引入新课

上节课我们学习了全等三角形的概念，现在大家想一想，怎样的两个三角形全等？

判定两个三角形全等，除了用定义外还有没有其它更简便的方法？

（二）讲授新课

为了寻找更简便的方法，我们先做个实验．（指导学生使用角器等）

（1）请同学们在草纸上画一个△ABC．

（2）再画△A'

B'

C'

使∠A'

=∠A，A'

=AC，A'

=AB．

[让学生动手、动脑，全方位参与学习活动．]

（3）请同学们用剪刀剪下△A'

，并把△A'

放在△ABC上．

同学们，发现了什么？

（师板书，注意写成边角边的位置关系）

[教师的主导作用不仅表现在引导上，还要求教师善于指导学生辩析错误，揭示规律．]

回答练习第1题．

同学们再看下面题目．

问题Ⅰ，AC、BD相交于O，下列哪组条件能判定△AOD≌△BOC，（小黑板）[]

问题Ⅱ：

在括号内填上条件或理由，使证明成立（小黑板）

已知AD=AE，AC＝AB，求证：

△ABE≌ACD．

证明：

在△ABE和△ACD中，

∴△ABE≌△ACD．（）

问题Ⅱ告诉我们，在运用SAS公理证明两个三角形全等时，必须注意书写格式．请同学们依照这个格式，证明下面的问题．

[给学生思维留一个窗口．]

（三）小结

师：

引导同学们对这节课所学的内容进行小结

[让学生小结，培养学生归纳概括能力．]

（四）作业

第4课时三角形全等的条件AAS

教学目的

1．使学生掌握三角形全等的判定Ⅱ（角边角公理）及其推论（角角边定理）．

2．使学生会用角边角公理和角角边定理证明线段相等或角相等．

教学重点和难点

1．培养学生分析的习惯和分析问题的能力．

2．综合应用三角形全等的判定Ⅰ、Ⅱ．

教学过程

一、复习提问

三角形全等的判定依据？

二、新课

1．角边角公理

如图1，一块三角形玻璃裂成了两块，配制原来形状的三角形，只需要用第Ⅱ块就可以了．想一想：

（1）用第Ⅱ块怎样配制与原来的三角形全等的三角形？

（2）做出来的三角形与原来的三角形有哪些元素相同？

（3）用第Ⅰ块能配制原来形状的三角形吗？

为什么？

上述配制三角形玻璃的方法，使我们产生了一个想法：

只要有两角一夹边对应相等，这两个三角形全等．下面我们来检验这个想法：

读句画图：

（1）画线段BC＝2.5cm．

（2）在BC的同旁分别以B、C为顶点画△CBD＝30°

，∠BCE＝45°

，BD和CE相交于A，得△ABC．

按照上面的条件，用同样的方法再画一个∠A'

剪下来放到△ABC上，可以发现△A'

与△ABC能够完全重合．我们把这个事实作为公理——角边角公理．

2．角边角公理的推论（角角边定理）

（1）在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：

如图2，在△AOC和△BOD中，

∴△AOC≌△BOD（SAS）．∴△AOC≌△BOD（ASA）．

（2）如图2，在△AOC和△BOD中，已知OA＝OB，∠C＝∠D：

①能不能直接用ASA公理证明△AOC≌△BOD？

②如果要用ASA公理，还缺少什么条件？

③这个条件能不能由已知条件推出？

从以上情况，我们可以得到角边角公理的推论——角角边定理：

有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（即“角角边”定理）

3．例题

例1

（1）图2中，已知AC∥BD，AC＝BD，用两种方法证明△AOC≌△BOD．

（2）连结AD、BC，还可以证明哪几对三角形全等？

例2已知：

如图3，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于O，AB＝AC，∠B＝∠C．求证：

BD＝CE．

例3分析：

三、小结

1．两个三角形全等的判定依据有：

全等三角形定义，SAS公理，ASA公理及AAS定理．

2．与“SAS”公理一样，用“ASA”公理及其推论“AAS”判定两个三角形全等时，要十分注意边和角的“对应相等”（而不是“分别相等”），即注意两个三角形中相等的边和角必须有相同的顺序．如图5，在△ABC的边AB上截取AD＝BC，过D作DE∥BC，交AC于E，于是得∠1＝∠B．

四、作业

1．完成下列分析：

（1）已知：

如图，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC．

AC＝DB．分析：

（2）已知：

如图，AC＝DB，∠ECB＝∠FDA，∠FAD＝∠EBC．求证：

EB＝FA．

如图，AB⊥BC，AD⊥DC垂足分别为B、D．∠1＝∠2．求证：

AB＝AD．

如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：

AC＝AD．

4．已知：

如图，点B、F、C、E在同一条直线上，FB＝CE，AB∥DE，AC∥DF．求证：

AB＝DE，AC＝DF．

5．已知：

如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DF＝FE，FC∥AB．求证：

AE＝CF

第5课时探索8直角三角形全等的判定

教学目标

1．已知斜边和一直角边会作直角三角形．

2．掌握“斜边直角边公理”，会熟练利用这个公理及一般三角形全等的判定方法判定直角三角形全等．

3．熟练使用“分析综合法”探求解题思路．

教学重点和难点“斜边直角边公理”的掌握和灵活应用．

教学过程设计

一、讨论直角三角形全等的判定方法

1．可用判定一般三角形全等的方法．

练习1判断以下各组直角三角形是否全等，为什么？

（1）两直角边对应相等的两个直角三角形；

（2）一边和一锐角对应相等的两个直角三角形．

分析：

（1）判定两直角三角形全等时，直角相等是一个很重要的隐含条件．

（2）由于直角三角形是特殊的三角形，所以一般三角形全等的四种判定方法对直角三角形都适用．

（3）由于直角三角形与一般三角形相比增加了一个特殊条件——直角，因此，判定直角三角形全等的条件可减弱到两个，“SSS”对直角三角形来说条件多余．

2．探求判定直角三角形全等的特殊方法．

（1）对直角三角形中的两对对应元素进行分类，探求有无判定全等

除练习1的

（1）和

（2）之外，还有以下两种情况：

①两锐角对应相等；

②斜边和一直角边对应相等．

（2）对第①句，由教师和学生手中的含30°

的直角三角板可说明它不成立．因此，判定直角三角形全等仍然至少需要一边对应相等．

对第②句，通过画图寻找答案．

3．画图得出公理．

例1如图1，已知线段a，c（a＜c），画一个Rt△ABC，使∠C＝90°

，一直角边CB＝a，斜边AB＝c．

教师应注意启发学生选择合理的画图顺序来确定三角形的三个顶点：

画直角确定顶点C→在直角一边上截取线段a确定B点→以点B为圆心，线段c为半径作弧与另一直角边相交确定点A．

说明：

（1）教师按照教材所述，详细板书画法并作图．

（2）着重说明画出的直角三角形存在且唯一，因此，可以作为判定公理，称为“斜边、直角边公理”，简写为“HL”．

4．叙述公理，强调条件及格式．

教师板书“HL公理”的内容，说明它实际上就是两边及其中一边的对角对应相等，但所对的角是直角，所以它只对直角三角形适用，对一般三角形并不一定成立．因此，在“HL公理”的使用过程中要突出直角三角形这个条件．对于图2，在Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇中，

∴Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇（HL）

二、应用举例

如图3，在△ABC与△A＇B＇C＇中，CD和C＇D＇分别是高，并且AC＝A＇C＇，CD＝C＇D＇，∠ACB＝A＇C＇B＇．求证：

△ABC≌△A＇B＇C＇．

请一名学生口述，教师纠正后板书正确过程．

（投影）练习2如图4，AB＝AC，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，CF与BE交于H．求证：

（1）AH平分∠BAC；

（2）CH＝BH；

（3）AH⊥BC；

（4）连结BC与AH的延长线交于D，图中有多少对全等三角形？

（5）交换“AB＝AC”与“AH平分∠BAC”，以上命题是否成立？

（1）通过二次全等证明所需结论，并培养学生逆向思维能力．

（2）通过此题全面复习直角三角形全等的判定方法（SAS，AAS，ASA，HL）．

（投影）练习3已知：

如图5，AB＝AC，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：

DE＝DF．

（投影）例3求证：

有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．

要求学生根据文字叙述画图，分析已知、未知条件，根据直角三角形的判定方法来证明两次全等．

三、师生共同小结

1．一般三角形与直角三角形证明全等的方法有什么区别与联系？

2．灵活选用几种方法来证明两个直角三角形全等，注意分析法与综合法的使用．

补充题：

1．如图6，A，F和B三点在一条直线上，CF⊥AB于F，AF＝FH，CF＝FB．求证：

BE⊥AC．

利用三角形全等来说明两直线的垂直关系．

2．思考：

两边及其中较长边所对的角对应相等的两个三角形是否全等？

较短边所对的角对应相等吗？

提示：

（1）对较长边所对的角按锐角、直角、钝角三种情况来进行分类讨论，结论成立．可用尺规作图作出符合条件的唯一确定的三角形．

（2）对较短边所对的角按锐角、直角、钝角三种情况进行分类讨论，发现由“大边对大角”得知直角、钝角时三角形不存在，而锐角时即为表中“SSA”的反例图形，三角形形状不唯一．

第6课时角的平分线的性质

（一）

1．使学生掌握角平分线定理及其逆定理，培养学生探索知识的能力．

2．使学生掌握角平分线定理及其逆定理的应用．

3．渗透点的集合的思想．

1．角平分线性质定理和它的逆定理．

2．把角平分线看作点的集合．

角平分线的定义？

角平分线与三角形的角平分线有何区别？

1．引入新课

（1）有一张剪好的角的纸片，怎样找这个角的平分线？

（2）大家知道，只要把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把纸片展开后的折痕就是这个角的平分线（如图1）．如果我们把对折的纸片继续抓一次，然后把纸片展开，就会出现两条折痕（图2）中的PM和PN）．不难发现，这两条折痕的长相等，而且这种等长的折痕我们可以找出无数对，由此可见，角的平分线除了有平分角的性质，还有其他的性质，这节我们就来研究这个问题．

2．角的平分线

（1）上述折纸的实验，象图2中的等长折痕PM和PN，我们可以找到无数对，它们既有一般位置的，也有特殊位置的．比如，角平分线上的点到角两边的垂线就是特殊位置的等线段．你能用推理论证的方法说明“在角平分线上的点到这个角的两边距离相等”这一角平分线的重要性质吗？

（2）定理1的推证．

（3）如图3，填写使BC＝BD成立所需的条件：

______（BC=BD

3．猜想（如图3中）：

4．用文字语言概括上述猜想，并说明这个命题与定理1有什么联系与区别？

（说明：

设计问题3、4，为下一节编制逆命题以及互逆命题的学习作准备．）

5．定理2的推证．

6.想一想：

在一个角的内部，除角平分线上的点