通州区学年度高三摸底数学理科试题及答案word版.docx
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通州区学年度高三摸底数学理科试题及答案word版
通州区2016—2017学年度高三摸底考试
数学(理)试卷
2017年1月
本试卷共4页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 (选择题共40分)
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)
1.已知集合,,则等于
A.B.
C.D.
2.执行如图所示的程序框图,输出的A值为
A.7B.15
C.31D.63
3.若变量,满足条件则的最大值为
A.B.C.D.
4.“”是“方程表示双曲线”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.下列函数中,既是偶函数又在区间内单调递减的是
A.B.C.D.
6.在△中,,,△的面积等于,则等于
A. B. C.D.
7.如图,某几何体的主视图和左视图是全等的等腰直角三角形,
俯视图是边长为的正方形,那么它的体积为
A.B.4
C.D.
8.设集合,若是的子集,
把X的所有元素的乘积叫做的容量(规定空集的容量为0),
若的容量为奇(偶)数,则称X为的奇(偶)子集.其中
的奇子集的个数为
A.B.C.D.
第二部分 (非选择题 共110分)
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分.)
9.复数满足,则=_______.
10.展开式中的常数项是_______.
11.已知直线(是参数),曲线的极坐标方程是,那么直线l与曲线C的公共点的个数是_______.
12.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若,,则
13.如图,在正方形中,为边上的动点,
设向量,则的最大值为_______.
14.已知函数 若函数
有且只有一个零点,则实数的取值范围是_______.
三、解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.)
15.(本小题满分13分)
已知函数.
(Ⅰ)求最小正周期;
(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.
16.(本小题满分13分)
某小组共10人,利用假期参加义工活动.已知参加义工活动的次数与相对应的人数的对应关系如下表:
次数
1
2
3
4
人数
1
4
4
1
现从这10人中随机选出2人作为该组代表在活动总结会上发言.
(Ⅰ)设为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为6”,求事件发生的概率;
(Ⅱ)设为选出的2人参加义工活动次数之和,求随机变量的分布列和数学期望.
17.(本小题满分14分)
在四棱锥中,△为正三角形,四边形为矩形,平面平面,,分别为中点.
(Ⅰ)求证:
//平面;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)在上是否存在点,使得⊥平面?
若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
18.(本小题满分13分)
设函数.
(Ⅰ)当k=1时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)设函数,证明:
当x∈时,>0.
19.(本小题满分13分)
如图,已知椭圆经过点,离心率.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设是经过右焦点的任一弦(不经过点),直线与直线相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为,,,求证:
,,成等差数列.
20.(本小题满分14分)
已知数列对任意的满足:
,则称数列为“T数列”.
(Ⅰ)求证:
数列是“T数列”;
(Ⅱ)若,试判断数列是否是“T数列”,并说明理由;
(Ⅲ)若数列是各项均为正的“T数列”,
求证:
.
通州区2016—2017学年度高三摸底考试
数学(理)试题参考答案
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
A
A
C
C
D
B
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分.)
9.;10.;11.;
12.;13.;14..
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)f(x)=sin2x+2sinxcosx+cos2x+1+cos2x
=sin2x+cos2x+2
=……………….4分
f(x)最小正周期T=π……………….6分
(Ⅱ)由0≤x≤得
0≤2x≤π
≤2x+≤……………….8分
根据y=sinx图象可知
当时,f(x)有最大值2+……………….11分
当时,f(x)有最大值1.……………….13分
16(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)从这10人中随机选出2人的基本事件个数为:
个,
设选出的2人参加义工活动次数之和为事件A,
设选出的2人中1人参加2次另一人参加4次为事件M,
设选出的2人均参加3次为事件N.
事件M所含基本事件的个数为个,
事件N所含基本事件的个数为个,
根据古典概型可知,,
因为M和N互斥事件,且A=M+N
所以……………….6分
另:
直接计算事件A的基本事件个数,利用古典概型计算也可。
(Ⅱ)随机变量X的可能取值为3,4,5,6,7
,
,
,
,
所以X的分布列如下:
X
3
4
5
6
7
P
EX=++++=5.……………….13分
注:
第二问计算出一个概率给1分
17.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:
∵M,N分别是PB,PC中点
∴MN是△ABC的中位线
∴MN∥BC∥AD
又∵AD⊂平面PAD,MN平面PAD
所以MN∥平面PAD.……………….4分
(Ⅱ)过点P作PO垂直于AB,交AB于点O,
因为平面PAB⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD,
如图建立空间直角坐标系
设AB=2,则A(-1,0,0),C(1,1,0),M(,0,),
B(1,0,0),N(,,),则,
设平面CAM法向量为,由可得
,令,则,即
平面法向量
所以,二面角的余弦值
因为二面角是锐二面角,
所以二面角等于……………….10分
(Ⅲ)存在……………….11分
设,则,由可得,
所以在存在点,使得平面,
此时.……………….14分
18.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ),……………….1分
将x=0分别代入f(x)和f’(x)得,f’(0)=1,f(0)=0……………….3分
所以曲线在点(0,f(0))处的切线方程为:
y=x.……………….4分
(Ⅱ)……………….6分
令,则……………….8分
,……………….10分
∴g(x)在上单调递增,
∴g(x)>g(0)=0即,……………….11分
∴F(x)在上单调递增,
∴F(x)>F(0)=0……………….13分
19.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)由点在椭圆上得,①
②
由①②得,
故椭圆的标准方程为……………….4分
(Ⅱ)椭圆右焦点坐标,显然直线斜率存在,
设③…………….5分
代入椭圆方程,
整理得……………….6分
设,
则有④……………….7分
在方程③中,令得,,从而
,……………….9分
又因为共线,则有,
即有
所以
=⑤
将④代入⑤得
,……………….12分
又,
所以,即成等差数列.……………….13分
20.(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ),
……………….3分
(Ⅱ)
解得,,故数列不是T数列.……………….7分
(Ⅲ)要证
只需证
……………….8分
下面运用数学归纳法证明。
(ⅰ)当n=1时,成立…………….9分
(ⅱ)假设当n=k时,不等式成立,
即
那么当n=k+1时,
是T数列,,
将上述式子相加,得
所以当n=k+1时不等式成立,
根据(ⅰ)和(ⅱ)可知,
对于任意不等式均成立.
……………….14分