雅可比迭代法与矩阵的特征值Word下载.docx
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①若
否则执行②。
②
；
对i=n-1,┅,2,1,计算
程序与实例
程序设计如下：
#include<
iostream>
cmath>
usingnamespacestd;
voiddisp（double**p,introw,intcol）{
for（inti=0;
i<
row;
i++）{
for（intj=0;
j<
col;
j++）
cout<
<
p[i][j]<
'
'
;
endl;
}
}
voiddisp（double*q,intn）{
"
====================================="
n;
i++）
X["
i+1<
]="
q[i]<
voidinput（double**p,introw,intcol）{
输入第"
行:
cin>
>
p[i][j];
intfindMax（double**p,intstart,intend）{
intmax=start;
for（inti=start;
end;
if（abs（p[i][start]）>
abs（p[max][start]））
max=i;
returnmax;
voidswapRow（double**p,intone,intother,intcol）{
doubletemp=0;
temp=p[one][i];
p[one][i]=p[other][i];
p[other][i]=temp;
booldispel（double**p,introw,intcol）{
intflag=findMax（p,i,row）;
用列主元消去法解方程
例2解方程组
计算结果如下
B=
C=
D=
E=
F=
矩阵直接三角分解法
将方程组Ax=b中的A分解为A=LU，其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵，则方程组Ax=b化为解2个方程组Ly=b，Ux=y，具体算法如下：
①对j=1,2,3,…,n计算
对i=2,3,…,n计算
②对k=1,2,3,…,n:
a.对j=k,k+1,…,n计算
b.对i=k+1,k+2,…,n计算
③
，对k=2,3,…,n计算
④
对k=n-1,n-2,…,2,1计算
注：
由于计算u的公式于计算y的公式形式上一样，故可直接对增广矩阵
[A∣b]=
施行算法②，③，此时U的第n+1列元素即为y。
例3求解方程组Ax=b
A=
b=
结果为
X[0]=
X[1]=
X[2]=
X[3]=
double**newMatrix（introw,intcol）{
double**p=newdouble*[row];
..."
double**A=newMatrix（n,n）;
...."
endl<
开始录入列阵....."
输入列阵:
double*b=newdouble[n];
double**L=newMatrix（n,n）;
..."
输入迭代次数容许的最大值:
intM=0;
M;
输入容许误差:
doublee=0;
e;
double*x1=newdouble[n];
//开辟x1向量
double*x2=newdouble[n];
//开辟x2向量
输入初始向量:
x1[i];
intk=0;
//迭代计数器
for（;
）{
iterat（A,b,x1,x2,n）;
//迭代一次
if（blow_error（x1,x2,n,e））{
dispVector（x2,n）;
迭代次数为:
k<
return0;
}else{
if（k>
=M）{
不收敛"
k++;
x1[i]=x2[i];
//释放空间
delMatrix（A,n）;
delete[]b;
delete[]x1;
delete[]x2;
高斯-塞尔德迭代法
算法:
设方程组Ax=b的系数矩阵的对角线元素,
M为迭代次数容许的最大值,ε为容许误差
①取初始向量
令k=0。
②对i=1,2,…,n计算
，则输出
结束；
否则执行④。
④如果
则不收敛，终止程序；
否则
转②。
例5用高斯-塞尔德迭代法解方程组
X[0]=
X[2]=
#defineN100
main（）
{
inti;
float*x;
floatc[12]={,,,,
,,,
,,};
float*GauseSeidel（float*,int）;
x=GauseSeidel（c,3）;
for（i=0;
=2;
i++）printf（"
x[%d]=%f\n"
i,x[i]）;
getch（）;
float*GauseSeidel（float*a,intn）
inti,j,nu=0;
float*x,dx,d;
x=（float*）malloc（n*sizeof（float））;
=n-1;
i++）x[i]=;
do
{
for（i=0;
{
d=;
for（j=0;
d+=*（a+i*（n+1）+j）*x[j];
dx=（*（a+i*（n+1）+n）-d）/（*（a+i*（n+1）+i））;
x[i]+=dx;
}
if（nu>
=N）
printf（"
foldnumber\n"
）;
nu++;
while（fabs（dx）>
1e-6）;
returnx;
例6用雅可比迭代法解方程组
迭代4次得解
若用高斯-塞尔德迭代法则发散。
#include<
voidmain（void）
intk,n;
doublex[3]={7,2,5};
for（k=0;
5;
k++）
doublea,b;
a=x[0];
b=x[1];
x[0]=*x[1]+2*x[2]）/1;
x[1]=（2-a-x[2]）/1;
x[2]=（5-2*a-2*b）/1;
for（n=0;
n<
3;
n++）
printf（"
x[%d]=%\n"
n,x[n]）;
用高斯-塞尔德迭代法解方程组
迭代84次得解
，若用雅克比迭代法则发散。
voidLOOP（floata[10][10],floatb[10],floatx[10],int）;
voidmain（void）
floata[10][10],b[10],x[10],A[10];
doubleS;
intM,n,i,j;
printf（"
请输入方阵阶数:
scanf（"
%d"
&
n）;
请输入最大允许迭代次数:
M）;
请按行输入各方程系数:
for（i=0;
for（j=0;
scanf（"
%f"
a[i][j]）;
请输入各方程值:
scanf（"
b[i]）;
请依次输入首次迭代x值:
x[i]）;
S=;
for（i=0;
A[i]=x[i];
LOOP（a,b,x,n）;
M--;
S=S+fabs（x[i]-A[i]）;
}while（M>
=0&
&
S>
=;
if（M>
=0）
迭代次数M=%d\n"
M）;
else
该迭代发散\n"
voidLOOP（floata[10][10],floatb[10],floatx[10],intn）
floatS1,S2,A[10];
inti,j;
A[i]=x[i];
S1=;
S2=;
=i-1;
S1=S1+a[i][j]*x[j];
for（j=i+1;
S2=S2+a[i][j]*A[j];
x[i]=（b[i]-S1-S2）/a[i][i];
实验六
矩阵的特征值与特征向量的计算
实验六矩阵的特征值与特征向量的计算
领会求矩阵特征值及特征向量的幂法的理论及其方法；
会编制幂法的计算程序，并用来计算有关问题。
编制幂法的计算程序，并用来计算有关问题
三、算法概要
幂法是矩阵主特征值的一种迭代方法。
设A
R
有n个线性无关的特征向量x
，x
,x
而相应的特征值满足
则对任意非零初始向量
用幂法求矩阵
的按模最大的特征值和相应的特征向量。
精确至6位有效数字。
取
。
结果为A按模取最大的特征值为；
相应的特征向量为
voidLOOP（floata[5][5],floatu[5],int）;
floatMAX（floatu[5],int）;
floata[5][5],u[5],x[5],y,z;
inti,j,n;
请按行输入各矩阵元素值:
请输入初次迭代向量:
u[i]）;
y=MAX（u,n）;
z=y;
LOOP（a,u,n）;
y=MAX（u,n）;
x[i]=u[i]/y;
u[i]=x[i];
}while（fabs（z-y）>
矩阵特征值λ=%f\n"
y）;
矩阵特征向量x:
\n"
%10f\n"
x[i]）;
voidLOOP（floata[5][5],floatu[5],intn）
floatS,U[5];
U[i]=u[i];
S=S+a[i][j]*U[j];
u[i]=S;
floatMAX（floatu[5],intn）
floatmax;
max=u[0];
if（u[i]>
max）
max=u[i];
return（max）;
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