第5讲角含半角模型原卷版Word文件下载.docx
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10
：
胡不归最值模型
模型3：
对角互补模型
7：
轴对称最值模型
11：
阿氏圆最值模型
模型:
4：
中点模型
8：
费马点最值模型
12
主从联动模型
角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。
它主要包含：
等腰直角三角形角含半角模型；
正方形中角含半角模型两种类型。
解决类似问题的常见办法主要有两种：
旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。
类型一：
等腰直角三角形角含半角模型
则：
BD2+CE2=DE2.
3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理
类型二：
正方形中角含半角模型
1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°
，连接EF，过点A作AG⊥
于EF于点G，则：
EF=BE+DF，AG=AD.
图示
（1）
作法：
将△ABE绕点A逆时针旋转90°
2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45
，连接EF，则：
EF=DF-BE.
图示
（2）
3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形
ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠
EF=BE+DF.
C=180°
，点E，F分别在边BC，
1
CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，
2
图示（3）
将△ABE绕点A逆时针旋转∠
BAD的大小
例题1.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°
，则CF
变式练习>
>
1．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°
，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°
，E为CD上一点，且∠
BAE＝45°
．若CD＝4，则△ABE的面积为（
例题2.在正方形ABCD中，连接BD．
（1）如图1，AE⊥BD于E．直接写出∠BAE的度数．
（2）如图1，在
（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°
后得到△AB′E′，
AB′与BD交于M，AE′的延长线与BD交于N．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．
（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD
不必写出完整推理过程）
交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．
2.
（1）
【探索发现】
如图1，正方形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD上的点，∠MAN＝45°
，若将△DAN绕点A顺时针旋转90°
到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为6，则正方形ABCD的边长为3．
（2）
【类比延伸】
如图
（2），四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°
，∠B+∠D＝180°
，点M、N分别在边BC、CD上的点，∠MAN＝60°
，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由．
（3）
【拓展应用】
如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝10，∠ADC＝120°
，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，△ABM是等边三角形，AM⊥AD，DN＝5（﹣1），请直接写出MN的长．
例题3.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°
，∠B=135°
，K，N分别是AB，BC上的点，若△BKN的周长为AB的2倍，求∠KDN的度数.
PFCH
3.如图，正方形被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形
的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小并证明你的结论.
例题4.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°
，∠MAN＝∠BAD．
（1）如图1，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD于M、N，试判断这一过程中线段
BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？
直接写出结论，不用证明；
（2）如图2，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？
并证明你的结论；
（3）如图3，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的反向延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？
直接写出结论，不用证明．
1.请阅读下列材料：
问题：
正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，∠MAN＝45°
，当∠MAN交边CB、DC于点M、N（如图①）时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？
小聪同学的思路是：
延长CB至E使BE＝DN，并连接AE，构造全等三角形经过推理使问题得到解决．请
你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）直接写出上面问题中，线段BM，DN和MN之间的数量关系；
（2）当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图②），线段BM，DN和MN之间的又有怎
样的数量关系？
请写出你的猜想，并加以证明；
MN的长．
3）在图①中，若正方形的边长为16cm，DN＝4cm，请利用
（1）中的结论，试求
2.
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°
，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
（1）小王同学探究此问题的方法是：
延长EB到点G，使BG＝DF，连结AG，先证明△ABG≌△ADF，
再证明△AEG≌△AEF，可得出结论，他的结论应是．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°
，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°
，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，
（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请证明；
若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
3.小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：
“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG＝FH．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
方案一：
过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；
方案二：
过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N．⋯
（1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图
（1））．
（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB＝2，BC＝3（如图
（2）），是探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
（3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°
”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为（如图（3）），试求EG的长度．
4.已知：
如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°
，连
接MC，NC，MN．
（1）填空：
与△ABM相似的三角形是，BM?
DN=；
（用含a的代数式表示）
（2）求∠MCN的度数；
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