数学建模设备更新问题Word文件下载.docx
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12
13
14
机器役龄
0—1
1—2
2—3
3—4
4—5
维修费
5
6
8
18
残值
4
3
2
1
二、模型假设：
1、机器在购买N年之后维修费用是固定不变的，不存在人为的破坏因素使之不能正常运行；
2、公司有足够的资金支付设备；
3、公司该设备只使用一台，不存在公司同时用多台机器的现象
4、从第一年开始一定要购置一台设备
三、符号说明：
1、vi表示第i年年初购进一台新设备，虚设一个点v6，表示第五年年底；
2、边（vi，vj）表示第i年初购进的设备一直使用到第j年初（即第j-1年底）；
3、边（vi，vj）上的数字表示第i年初购进设备，一直使用到第j年初所需支付的购买、维修的全部费用
四、问题的分析：
为了使问题简化，我们将求最小总支出转化为求最小路径问题，这样，设备更新问题可简化为求从v1到v6的最短路问题，可由上表得下图
对于边（v1，v2）有第一年购买的费用11加上一年的维修费用5减去一年役龄机器的残值4得到12；
同理：
（v1，v3）11+5+6-3=19
（v1，v4）11+5+6+8-2=28
（v1，v5）11+5+6+8+11-1=40
（v1，v6）11+5+6+8+11+18-0=59
（v2，v3）12+5-4=13
（v2，v4）12+5+6-3=20
（v2，v5）12+5+6+8-2=29
（v2，v6）12+5+6+8+11-1=41
（v3，v4）13+5-4=14
（v3，v5）13+5+6-3=21
（v3，v6）13+5+6+8-2=30
（v4，v5）14+5-4=15
（v4，v6）14+5+6-3=22
（v5，v6）14+5-4=15
由上图，我们就可用Dijkstra算法将设备更新的问题算出最小总支出
五、模型的建立与求解：
由上述分析可知Dijkstra算法中所对应的结点跟路径，下面给出其基本步骤：
采用标号法，用两种标号：
T标号和P标号，T标号为试探性标号，P标号为永久性标号，给vi一个P标号时表示从vi到vj的最短路权，vi的标号不再改变。
给vi一个T标号是表示从vi到vj的最短路权的上界，是一种临时标号，凡没有得到P标号的点都有T标号。
（1）首先给v1以P（v1）=0，给其余所有点T标号，
T（v1）=+∞（i=2，…，8）
（2）由于（v1，v2），（v1，v3）,（v1，v4）,（v1，v5）,（v1，v6）边属于E，且v1，v2为T标号，所以修改这两个点的标号：
T（v2）=min[T（v2）,P（v1）+l12]=min[+∞,0+12]=12
T（v3）=min[T（v1）,P（v3）+l13]=min[+∞,0+19]=19
T（v4）=min[T（v1）,P（v4）+l14]=min[+∞,0+28]=28
T（v5）=min[T（v1）,P（v3）+l15]=min[+∞,0+50]=50
T（v6）=min[T（v1）,P（v3）+l16]=min[+∞,0+59]=59
（3）比较所有T标号，T（v2）最小，所以令P（v2）=12.并记录路径（v1，v2）。
（4）v2为刚得到P标号的点，考察边（v2，v3），（v2，v3），（v2，v4）,（v2，v5），（v2，v6）的端点v1，v2。
T（v3）=min[T（v3）,P（v2）+l23]=min[19，12+13]=19
T（v4）=min[T（v4）,P（v2）+l24]=min[28，12+20]=28
T（v5）=min[T（v5）,P（v2）+l25]=min[40，12+29]=40
T（v6）=min[T（v6）,P（v2）+l26]=min[59，12+41]=53
（5）比较所有T标号，T（v3）最小，所以令P（v3）=19.并记录路径（v1，v3）。
（6）考虑点v3，有
T（v4）=min[T（v3）,P（v3）+l34]=min[28，19+14]=28
T（v5）=min[T（v3）,P（v3）+l35]=min[40，19+21]=40
T（v6）=min[T（v3）,P（v3）+l36]=min[53，19+30]=53
（7）比较所有T标号，T（v4）最小，所以令P（v4）=28.并记录路径（v1，v4）。
（8）考虑点v4，有
T（v5）=min[T（v4）,P（v4）+l45]=min[40,28+15]=40
T（v1）=min[T（v6）,P（v4）+l46]=min[49,28+22]=49
（9）比较所有T标号，T（v5）最小，所以令P（v5）=40.并记录路径（v1，v5）。
（10）考虑点v6，有
T（v6）=min[T（v6）,P（v5）+l56]=min[49,40+15]=49
（11）因只有一个T标号T（v6）,令P（v6）=49，记录路径
（v3，v6），计算结束。
由计算结果可知：
v1v3v6为最短路，路长为49，即在第一年，第三年初各购买一台新设备为最优决策，这时5年的总费用为49.
全部计算结果如下图所示，同时可得到v1到其他点的最短路径，如下图中的粗线所示：
Matlab的编程语言如下：
关于求最小路径的M函数
function[S,D]=minRoute（i,m,W,opt）
%图与网络论中秋最短路径的Dijkstra算法M函数
%格式[S,D]=minroute（I,m,W,opt）
%i为最短路径的起始点，m为图定点数,W为图的带权邻接矩阵,不构成边的两顶点之间的权用inf表示.S的每一列从上到下记录了从始点到终点的最短路径所经顶点的序号.opt（缺省值）时,S按最短路径值从小到大显示结果.
%D是一行向量，对应记录了S各列所示路径的大小
ifnargin<
4,opt=0;
end
dd=[];
tt=[];
ss=[];
ss（1,1）=i;
V=1:
m;
V（i）=[];
dd=[0;
i];
kk=2;
[mdd,ndd]=size（dd）;
while~isempty（V）
[tmpd,j]=min（W（i,V））;
tmpj=V（j）;
fork=2:
ndd
[tmp1,jj]=min（dd（1,k）+W（dd（2,k）,V））;
tmp2=V（jj）;
tt（k-1,:
）=[tmp1,tmp2,jj];
end
tmp=[tmpd,tmpj,j;
tt];
[tmp3,tmp4]=min（tmp（:
1））;
iftmp3==tmpd
ss（1:
2,kk）=[i;
tmp（tmp4,2）];
elsetmp5=find（ss（:
tmp4）~=0）;
tmp6=length（tmp5）;
ifdd（2,tmp4）==ss（tmp6,tmp4）
tmp6+1,kk）=[ss（tmp5,tmp4）;
elsess（1:
3,kk）=[i;
dd（2,tmp4）;
dd=[dd,[tmp3;
tmp（tmp4,2）]];
V（tmp（tmp4,3））=[];
[mdd,ndd]=size（dd）;
kk=kk+1;
ifopt==1
[tmp,t]=sort（dd（2,:
））;
S=ss（:
t）;
D=dd（1,t）;
elseS=ss;
D=dd（1,:
）;
利用此函数的求解过程
>
n=6;
w=inf*ones（6）;
w（1,[2,3,4,5,6]）=[12,19,28,40,59];
w（2,[3,4,5,6]）=[13,20,29,41];
w（3,[4,5,6]）=[14,21,30];
w（4,[5,6]）=[15,22];
w（5,6）=15;
[s,d]=minroute（1,n,w）
求解所得结果：
s=
111111
023453
000006
d=
01219284049
六、模型的检验
利用常规数学方法求解此题如下：
由题意可知，五年下来最多能每一年用五台，最少要用一台机器，设总共所用的支出为y，
（1）只用一台设备时：
y=11+5+6+8+11+18=59
（2）用两台设备时：
a.第一台使用一年：
y=（11+13）+（5+6+5+6+8+11）-（3+2）=53
b.第一台使用两年：
y=（11+13）+（5+6+5+6+8）-（3+2）=49
c.第一台使用三年：
y=（11+14）+（5+6+8+5+6）-（2+3）=50
d.第一台使用四年：
y=（11+14）+（5+6+8+11+5）-（1+4）=55
（3）用三台设备时：
a．第一台用一年，第二台用一年：
y=（11+12+13）+（5+5+5+6+8）-（4+4+4+2）=55
b．第一台用一年，第二台用两年：
y=（11+12+14）+（5+5+6+5+6）-（4+3+3）=54
c．第一台用一年，第二台用三年：
y=（11+12+14）+（5+5+6+8+5）-（4+2+4）=56
d．第一台用两年，第二台用一年：
y=（11+13+14）+（5+6+5+5+6）-（3+4+3）=55
e．第一台用两年，第二台用两年：
y=（11+13+14）+（5+6+5+6+5）-（3+3+4）=55
f．第一台用三年，第二台用一年：
y=（11+14+14）+（5+6+8+5+5）-（4+3+3）=58
（4）用四台设备时：
a.第一台用一年，第二台用一年，第三台用一年：
y=（11+12+13+14）+（5+5+5+5+6）-（4+4+4+3）=61
b.第一台用一年，第二台用一年，第三台用两年：
y=（11+12+13+14）+（5+5+5+6+5）-（4+4+3+4）=61
c.第一台用一年，第二台用两年，第三台用一年：
y=（11+12+14+14）+（5+5+6+5+5）-（4+4+3+4）=62
d.第一台用一年，第二台用一年，第三台用一年：
y=（11+12+14+14）+（5+6+5+5+5）-（3+4+4+4）=63
（5）用五台设备时：
此时只有一种情况：
y=（11+12+13+14+14）+（5+5+5+5+5）-（4+4+4+4+4）=69
由以上结果可看出，当y=49时取得最小值，即最小的总支出为第一台使用两年，在第三年初购买新的设备能使总支出最小，且最小总支出费用为49万元，这与计算结果完全吻合，充分说明了我们所建立的模型的合理性，可行性以及正确性！
七、模型的评价及改进：
本模型理论上可以用于解决任意有关设备更新的任何问题，成功的运用Dijkstra算法，该算法简洁明了，适用于无需遍布网络中所有点只要求得两定点的最短路径，对解决最小总支出是很方便而且优越，目前被认为是求无负权网络的最好方法；
我们用计算机软件matlab可以成功地求出最小总支出，容易操作，具有实用性。
我们还可以采用其它数学软件通过程序的编写运行来求得最优解，如Qsb，C++等，此外，这种算法还可以求从一个城市到另一个城市的最短路径问题，资金周转问题，聘请员工实现最优化等问题，值得进行社会推广。
但是，在本问题的建立过程中，我们舍弃了某些影响因素的结果，尽管这些因素的影响很小，但会使所求结果与实际生活中实际结果产生偏差，又由于Dijkstra算法对程序的要求很高，尽管经过了检验，但结果依然比较粗糙，有待进行进一步的改进，此外，由于利用Dijkstra算法是求无负权网络的方法，当权为负数时无法利用，此时，我们可以用floyd算法得到实现。
参考文献：
[2]胡良剑，孙晓君，数学实验，高等教育出版社，北京，2006
[3]胡运权，郭耀煌，运筹学教程，清华大学出版社，北京，2007
[4]梁炼，数学建模，华南理工大学出版社，广东，2003
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