第一章第三节运动图象追及相遇问题Word下载.docx

第一章第三节运动图象追及相遇问题Word下载.docx

《第一章第三节运动图象追及相遇问题Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章第三节运动图象追及相遇问题Word下载.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

图象中的“轴”“线”“斜率”“点”“面积”“截距”六要素

一般意义

x－t图象

v－t图象

a－t图象

轴

图象描述哪两个物理量之间的关系

纵轴—位移

横轴—时间

纵轴—速度

纵轴—加速度

线

表示物理量y随物理量x的变化过程和规律

运动物体的位移与时间的关系

运动物体的速度与时间的关系

运动物体的加速度与时间的关系

斜率

k＝

，定性表示y随x变化的快慢

某点的斜率表示该点的瞬时速度

某点的斜率表示该点的加速度

某点的斜率表示该点加速度的变化率

点

两线交点表示对应纵、横坐标轴物理量相等

两线交点表示两物体相遇

两线交点表示两物体该时刻速度相同

两线交点表示两物体该时刻加速度相同

面积

图线和时间轴所围的面积，也往往代表一个物理量，这要看两物理量的乘积有无意义

无意义

图线和时间轴所围的面积，表示物体运动的位移

图线和时间轴所围的面积，表示物体的速度变化量

截距

图线在坐标轴上的截距一般表示物理过程的“初始”情况

在纵轴上的截距表示t＝0时的位移

在纵轴上的截距表示t＝0时的速度

在纵轴上的截距表示t＝0时的加速度

【典题例析】

（多选）（2016·

高考全国卷乙）甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图象如图所示．已知两车在t＝3s时并排行驶，则（　　）

A．在t＝1s时，甲车在乙车后

B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5m

C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2s

D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m

[审题指导]　由图象中的斜率、面积分别可得甲、乙两车运动时的加速度、位移等运动信息，再根据3s时并排寻找两车间的相对运动情况，从而解决问题．

[解析]　根据题述，两车在t＝3s时并排行驶，由图线与横轴所围面积表示位移可知，在t＝1s时，甲车和乙车并排行驶，选项A、C错误．由图象可知，在t＝1s时甲车速度为10m/s，乙车速度为15m/s，0～1s时间内，甲车行驶位移为x1＝5m，乙车行驶位移为x2＝12.5m，所以在t＝0时，甲车在乙车前7.5m，选项B正确．从t＝1s到t＝3s，甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为x＝

×

（10＋30）×

2m＝40m，选项D正确．

[答案]　BD

【跟进题组】

考向1　图象信息的读取

1．（多选）如图甲所示，小滑块P（可视为质点）以不同的初速度v0从长度为4m的固定斜面Q的顶端沿斜面下滑时，得到小滑块下滑的最大距离x与初速度的平方v

的关系图象（即x－v

图象）如图乙所示，下列判断正确的是（　　）

A．小滑块下滑的加速度大小为4m/s2

B．小滑块下滑的加速度大小为2m/s2

C．若v0＝5.0m/s，则滑块滑到斜面底端的时间长为1s

D．若v0＝5.0m/s，则滑块滑到斜面底端的时间长为4s

解析：

选BC.根据匀变速直线运动的速度位移公式得v2－v

＝2ax，其中v＝0，整理得x＝－

，因为x－v

图象的斜率k＝

m－1·

s2，可得a＝－2m/s2，所以滑块下滑的加速度大小为2m/s2，选项A错误、B正确；

由位移公式得x＝v0t＋

at2，代入数据解得t＝1s或t＝4s（舍去），选项C正确、D错误．

考向2　运动图象的转换

2．（多选）下列给出的四组图象中，能够反映同一直线运动的是（　　）

选BC.由A、B选项中的v－t图象可知，0～3s内质点做匀速直线运动，加速度为零，在3～5s内做匀加速直线运动，a＝2m/s2，故A错误，B正确；

由C、D选项中的x－t图象可知，0～3s内，质点静止不动，速度和加速度均为零，3～5s内，质点做匀速运动，速度v＝2m/s，加速度a＝0，故C正确，D错误．

运用图象解决问题时构图选择的原则

（1）物理量涵盖原则：

所选择的坐标系要使图象尽可能全面地涵盖所研究问题的物理量，以全面反映物理过程的本质特点．一般来说，v－t图象提供的信息最多，涵盖速度、速度的变化量、时间、位移、加速度等．

（2）线性函数优先的原则：

线性函数能直观地反映物理现象的性质，有利于动态分析和判断．

（3）化曲为直的原则：

曲线的可读性相对较差，当所作图线为曲线时，应尝试将两个坐标中的一个进行适当变形，化曲线为直线，提高图线的可读性．　

　追及、相遇问题

1．分析追及、相遇问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”

（1）一个临界条件：

速度相等．它往往是物体间能否追上、追不上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点．

（2）两个等量关系：

时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．

2．能否追上的判断方法

（1）做匀速直线运动的物体B追赶从静止开始做匀加速直线运动的物体A：

开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0<

xB，则能追上；

若vA＝vB时，xA＋x0＝xB，则恰好不相撞；

若vA＝vB时，xA＋x0>

xB，则不能追上．

（2）数学判别式法：

设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；

若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；

若Δ＜0，说明追不上或不能相遇．

3．注意三类追及、相遇情况

（1）若被追赶的物体做匀减速运动，一定要判断是运动中被追上还是停止运动后被追上．

（2）若追赶者先做加速运动后做匀速运动，一定要判断是在加速过程中追上还是匀速过程中追上．

（3）判断是否追尾，是比较后面减速运动的物体与前面物体速度相等时的位置关系，而不是比较减速到0时的位置关系．

　在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件．

[审题指导]　两车不相撞的临界条件是A车追上B车时其速度与B车相等．

[解析]　法一：

临界条件法

设两车运动速度相等时，所用时间为t，

由v0－（2a）t＝at得，t＝

①

A车位移：

xA＝v0t－

（2a）t2

B车位移：

xB＝

at2

两车不相撞的条件：

xB＋x≥xA

即：

at2＋x≥v0t－at2②

联立①②得：

v0≤

.

法二：

二次函数极值法

设两车运动了时间t，则

xA＝v0t－at2

两车不相撞需要满足

Δx＝xB＋x－xA＝

at2－v0t＋x≥0

则Δxmin＝

≥0

解得v0≤

法三：

图象法

利用速度－时间图象求解，先作A、B两车的速度－时间图象，其图象如图所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有vt＝v0－2at，

对B车有vt＝at

以上两式联立解得t＝

经时间t两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离x，它可用图中的阴影面积来表示，由图象可知x＝

v0t＝

v0·

＝

，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤

法四：

相对运动法

巧选参考系求解．以B车为参考系，A车的初速度为v0，加速度为a′＝－2a－a＝－3a.A车追上B车且刚好不相撞的条件是：

v＝0，这一过程A车相对于B车的位移为x，由运动学公式v2－v

＝2ax得：

02－v

＝2·

（－3a）·

x

所以v0＝

故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤

[答案]　v0≤

图象法在追及、相遇问题中的应用总结

（1）速度小者追速度大者

类型

图象

说明

匀加速追匀速

①t＝t0以前，后面物体与前面物体间距离增大；

②t＝t0时，两物体相距最远为x0＋Δx；

③t＝t0以后，后面物体与前面物体间距离减小；

④能追上且只能相遇一次.

注：

x0为开始时两物体间的距离

匀速追匀减速

匀加速追匀减速

（2）速度大者追速度小者

匀减速追匀速

开始追时，后面物体与前面物体间距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：

①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件；

②若Δx<

x0，则不能追上，此时两物体间最小距离为x0－Δx；

③若Δx>

x0，则相遇两次，设t1时刻Δx1＝x0两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇.

x0是开始时两物体间的距离

匀速追匀加速

匀减速追匀加速

考向1　追及、相遇中的临界与极值问题

1．足球比赛中，经常使用“边路突破、下底传中”的战术，即攻方队员带球沿边线前进，到底线附近进行传中．如图，某足球场长90m、宽60m，攻方前锋在中线处将足球沿边线向前踢出，足球在地面上的运动可视为初速度为12m/s的匀减速直线运动，减速过程的加速度大小为2m/s2.

（1）足球从开始减速到停下来的位移为多大？

（2）若足球开始做匀减速直线运动的同时，该前锋队员沿边线向前追赶足球，该队员的启动过程可视为初速度为零、加速度为2m/s2的匀加速直线运动，他能达到的最大速度为8m/s，则该前锋队员经过多长时间才能追上足球？

（1）设足球初速度大小为v0，加速度大小为a1，足球做匀减速直线运动的时间为t1，位移为x1，则有v0＝a1t1，x1＝

t1，代入数据可得t1＝6s，x1＝36m.

（2）

设前锋队员的加速度大小为a2，最大速度为vm，前锋队员加速到最大速度所用时间为t2、位移为x2，则有vm＝a2t2，x2＝

t2，代入数据可解得t2＝4s，x2＝16m．前锋队员加速到最大速度时，足球的位移x′1＝v0t2－

a1t

＝32m，故此时队员没有追上足球．之后前锋队员做匀速直线运动，到足球停止运动时，设前锋队员匀速运动的位移为

x3，则有x3＝vm（t1－t2），解得x3＝16m．由于x1>

x2＋x3，故当足球停止运动时，前锋队员仍没有追上足球，设前锋队员又运动了t3时间才追上足球，如图，则有x1－（x2＋x3）＝vmt3，代入数据解得t3＝0.5s．故前锋队员追上足球所用的总时间t＝t1＋t3＝6.5s.

答案：

见解析

考向2　追及、相遇中的“抛体模型”

2．以v0＝20m/s的速度竖直上抛一小球，2s后以相同的初速度在同一点竖直上抛另一小球．g取10m/s2，则两球相碰处离出发点的高度是（　　）

A．10m　　　　　　　　B．15m

C．20mD．不会相碰

选B.法一：

设第二个小球抛出后经t时间与第一个小球相遇，根据位移相等有

v0（t＋2s）－

g（t＋2s）2＝v0t－

gt2

解得t＝1s

代入位移公式h＝v0t－

gt2，解得h＝15m.

因为第二个小球抛出时，第一个小球恰开始自由下落（到达最高点），根据速度对称，上升阶段与下降阶段经过同一位置的速度大小相等、方向相反，有－[v0－g（t＋2s）]＝v0－gt，解得t＝1s，代入位移公式，解得h＝15m.

挖掘临界状态是解决追及、相遇问题的关键

两物体要相撞但还没相撞的状态是追及、相遇问题的临界状态．速度相等是两物体间距离最大或最小、相撞或不相撞的临界条件．相遇的物体必然存在两个关系：

一是相遇位置与各物体的初始位置之间存在一定的位移关系，二是相遇物体的运动时间也存在一定的关系．要使物体相遇就必须同时满足相应的位移关系和运动时间关系．　

1．甲、乙、丙三辆汽车同时以相同的速度v0经过某一路标，此后甲一直做匀速直线运动，乙先加速后减速，丙先减速后加速，它们经过下一个路标时的速度仍为v0，则（　　）

A．甲车先经过下一个路标

B．乙车先经过下一个路标

C．丙车先经过下一个路标

D．无法判断谁先经过下一个路标

选B.由题意画出v－t图象如图所示，由于甲、乙、丙在此过程中位移相同，故由图可得乙车所用时间最短．

2.

（高考全国卷Ⅱ）甲、乙两汽车在一

平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图象如图所示．在这段时间内（　　）

A．汽车甲的平均速度比乙的大

B．汽车乙的平均速度等于

C．甲、乙两汽车的位移相同

D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大

选A.根据v－t图象下方的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙，选项C错误；

根据v＝

得，汽车甲的平均速度v甲大于汽车乙的平均速度v乙，选项A正确；

汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于

，选项B错误；

由于v－t图象的斜率大小反映了加速度的大小，所以汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误．

3．一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a－t图象如图所示．下列v－t图象中，可能正确描述此物体运动的是（　　）

选D.由题图可知，在0～

时间内a＝a0＞0，若v0≥0，物体做匀加速运动；

若v0＜0，物体做匀减速运动，故B、C皆错误．由于在T～2T时间内a＝－a0，故物体做匀减速运动且图线斜率的绝对值与0～

时间内相同，故A错误、D正确．

4．甲、乙两车相距x0＝40.5m，同时沿平直公路做直线运动，甲车在前，以初速度v1＝16.0m/s，加速度a1＝2.0m/s2做匀减速直线运动，乙车在后，以初速度v2＝4.0m/s，加速度a2＝1.0m/s2与甲同向做匀加速直线运动．求：

（1）甲、乙两车相遇前相距的最大距离；

（2）乙车追上甲车经历的时间．

（1）甲、乙两车速度相等时距离最大．设时间为t1时，两车的速度相等，则：

v1－a1t1＝v2＋a2t1

即16.0－2t1＝4.0＋t1，解得：

t1＝4.0s

对甲车：

x1＝v1t1－

＝48.0m

对乙车：

x2＝v2t1＋

a2t

＝24.0m

故甲、乙两车相遇前相距的最大距离为：

xmax＝x0＋x1－x2＝64.5m.

（2）甲车运动的时间t2＝

＝8.0s

在甲车运动时间内，甲车位移：

x′1＝

t2＝64.0m

乙车位移：

x′2＝v2t2＋

＝64.0m

故甲车停止时，甲、乙两车仍相距x0＝40.5m，甲车停止时，乙车的速度：

v′2＝v2＋a2t2＝12.0m/s，故x0＝v′2t3＋

即40.5＝12.0t3＋

t

，解得：

t3＝3.0s

乙车追上甲车的时间：

t＝t2＋t3＝11.0s.

（1）64.5m　

（2）11.0s

一、单项选择题

1.

如图所示为一质点做直线运动的v－t图象，下列说法正确的是（　　）

A．在18～22s时间内，质点的位移为24m

B．18s时质点速度反向

C．整个过程中，E点处质点离出发点最远

D．整个过程中，CE段的加速度最大

选D.在18～20s时间内，质点的位移为12m，在20～22s时间内，质点的位移为－12m，则在18～22s时间内，质点的位移为0，A错误．由题图看出，在0～20s时间内，速度均为正值，质点沿正方向运动，在20～22s时间内速度为负值，质点沿负方向运动，所以整个过程中，D点对应时刻离出发点最远，B、C错误．由题图看出，CE段图线斜率的绝对值最大，则CE段对应过程的加速度最大，D正确．

2．（2015·

高考广东卷）甲、乙两人同时同地出发骑自行车做直线运动，前1小时内的位移－时间图象如图所示．下列表述正确的是（　　）

A．0.2～0.5小时内，甲的加速度比乙的大

B．0.2～0.5小时内，甲的速度比乙的大

C．0.6～0.8小时内，甲的位移比乙的小

D．0.8小时内，甲、乙骑行的路程相等

选B.在0.2～0.5小时内，位移－时间图象是倾斜的直线，则物体做匀速直线运动，所以在0.2～0.5小时内，甲、乙两人的加速度都为零，选项A错误；

位移－时间图象的斜率绝对值大小反映了物体运动速度的大小，斜率绝对值越大，速度越大，故0.2～0.5小时内甲的速度大于乙的速度，选项B正确；

由位移－时间图象可知，0.6～0.8小时内甲的位移大于乙的位移，选项C错误；

由位移－时间图象可知，0.8小时内甲、乙往返运动过程中，甲运动的路程大于乙运动的路程，选项D错误．

3．（2017·

河北正定调研）

据英国《每日邮报》报道，27名跳水运动员参加了科索沃年度高空跳水比赛．自某运动员离开跳台开始计时，在t2时刻运动员以速度v2落水，选向下为正方向，其速度随时间变化的规律如图所示，下列结论正确的是（　　）

A．该运动员在0～t2时间内加速度大小先减小后增大，加速度的方向不变

B．该运动员在t2～t3时间内加速度大小逐渐减小，处于失重状态

C．在0～t2时间内，平均速度

1＝

D．在t2～t3时间内，平均速度

2＝

选C.由题中图象可知，在0～t2时间内运动员的加速度一直不变，A项错误．在t2～t3时间内图线上各点切线的斜率的大小逐渐减小，则加速度大小逐渐减小，运动员减速下落处于超重状态，B项错误．在0～t2时间内为匀变速直线运动，所以平均速度

，C项正确．在t2～t3时间内，由图线与t轴所围面积表示位移可知，此时间内的平均速度

2<

，D项错误．

4．（2017·

河南八市重点高中联考）如图甲、乙所示为某物体在0～t时间内运动的x－t图象和v－t图象，由图可知，在0～t时间内（　　）

A．物体做的是曲线运动

B．物体做加速度越来越小的运动

C．甲图中

时刻，图线的斜率为

D．x1－x0>

选C.运动图象（包括位移图象、速度图象、加速度图象）都是用来描述直线运动的，无论运动图象是直线还是曲线，物体都是做直线运动，都不能说物体做的是曲线运动，选项A错误．根据速度图象的斜率表示加速度可知，物体做匀减速直线运动，选项B错误．根据乙图可知，在

时刻，物体速度为

.而位移图象斜率表示速度，由此可知，甲图中在

，选项C正确．根据甲图，物体是从坐标x0位置出发沿x轴运动，t时刻运动到坐标为x1位置，位移为x＝x1－x0.根据乙图，速度图象的面积表示位移可知，位移x＝

，即x1－x0＝

，选项D错误．

5．（2017·

济南调研）某同学欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为x，从着陆到停下来所用的时间为t，实际上，飞机的速度越大，所受的阻力越大，则飞机着陆时的速度应是（　　）

A．v＝

　　　　　　B．v＝

C．v＞

D．

＜v＜

选C.由题意知，当飞机的速度减小时，所受的阻力减小，因而它的加速度会逐渐变小，画出相应的v－t图象大致如图所示．根据图象的意义可知，实线与坐标轴包围的面积为x，虚线（匀减速运动）下方的“面积”表示的位移为：

t.应有：

t＞x，所以v＞

，所以选项C正确．

二、多项选择题

6.

在同一地点，甲、乙两物体同时沿同一方向做直线运动的速度－时间图象如图所示，对0～6s过程，下列说法正确的是（　　）

A．两物体两次相遇的时刻是2s末和6s末

B．4～6s甲在乙后面

C．两物体相距最远的时刻是2s末

D．乙物体先向前运动2s，随后向后运动

选AB.在v－t图象中图线与横坐标围成的面积大小与物体发生的位移大小相等，由题图可知当t＝2s和t＝6s时，两图线与横坐标围成面积相等，说明两物体发生的位移相等，由于两物体同时从同一地点沿同一方向做直线运动，因此两物体两次相遇的时刻是2s末和6s末，故A正确；

开始运动时，乙的初速度为零，甲在前面，在t＝2s时，两物体相遇，此时乙的速度大于甲的速度，此后乙在前面，甲匀速运动开始追乙，乙做匀减速运动，当t＝6s时，甲、乙再次相遇，因此在2～6s内，甲在乙后面，故B正确；

由题图可知，两物体相距最远时刻出现在甲追乙阶段，即当两物体的速度相等时，甲、乙相距最远，此时t＝4s，故C错误；

整个过程中乙物体一直向前运动，先加速后减速，故D错误．

7．某同学在学习了运动学知识后，绘出了一个沿直线运动的物体的位移x、速度v、加速度a随时间变化的图象如图所示，若该物体在t＝0时刻，初速度为零，则下列图象中表示该物体在6s内位移一定不为零的是（　　）

选BCD.题图A，根据图象可知，物体6s内的位移x＝0－0＝0；

题图B，速度－时间图线与坐标轴围成的面积表示位移，则物体6s内位移为正；

题图C，物体0～1s内加速度不变，做匀加速直线运动，1～2s内加速度方向改变，大小不变，向正方向做匀减速直线运动，2s末速度为零，在一个周期内速度的方向不变，则物体6s内位移不为零；

题图D，物体在0～1s内，向正方向做匀加速直线运动，1～2s内加速度方向改变，大小不变，向正方向做匀减速直线运动，2s末速度为零，2～3s内向负方向做匀加速直线运动，运动的方向发生变化，3～4s内向负方向做匀减速直线运动.4s末位移为零，6s末位移等于2s末位移，不为零，故选项B、C、D符合题意．

8.

一个物体沿直线运动，从t＝0时刻开始，物体的

－t的图象如图所示，图线与纵横坐标轴的交点分别为0.5m/s和－1s，由此可知（　　）

A．物体做匀加速直线运动

B．物体做变加速直线运动

C．物体的初速度大小