初中数学解题方法专题训练 化归转化思想方法研究及试题解析.docx
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初中数学解题方法专题训练化归转化思想方法研究及试题解析
专题13化归转化思想
【规律总结】
化归思想，将一个问题由难化易，由繁化简，由复杂化简单的过程称为化归，它是转化和归结的简称。
化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。
一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。
总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：
生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。
说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。
实现这种转化的方法有：
待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由抽象到具体等转化思想。
【典例分析】
例1、“一般的，如果二次函数的图像与x轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”判断方程实数根的情况
A.有三个实数根B.有两个实数根C.有一个实数根D.无实数根
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查利用函数的图像解方程的根，考查化归与转化思想，数形结合思想，属于中档题．
可先将方程转化为 ，由此设出两个函数关系式，在同一坐标系中画出两函数的图像，由图像的交点个数即可判断方程实数根的情况．
【解答】
解：
将原方程变形为，
设 ， ，
因为一元二次方程根的个数相当于二次函数与x轴交点的个数，
则方程根的个数相当于和交点的个数，
在坐标系中画出两个函数的图像如图所示：
可看出两个函数有一个交点，
故方程 有一个实数根，
即方程有一个实数根，
故选C．
例2、已知，那么的值是___________
【答案】9
【解析】
【分析】此题主要是考查化归思想和整体代入法求代数式的值，先把条件化为，
再把原式转化为含的式子，进行整体代入求值．
【解答】解：
因为，
所以．
原式
．
例3、阅读材料：
关于x的方程：
的解为：
可变形为的解为
的解为：
的解为：
根据以上材料解答下列问题：
方程的解为______________．
方程的解为______________．
解关于x的方程：
【答案】；
【解析】解：
方程的解为：
；
根据题意得；，，
解得：
．
故答案为：
；；
两边同时减2变形为，
解得：
，，
即，．
本题可根据给出的方程的解的概念，来求出所求的方程的解．
本题可根据给出的方程的解的概念，来求出所求的方程的解．
本题要求的方程和题目给出的例子中的方程形式不一致，可先将所求的方程进行变形．变成式子中的形式后再根据给出的规律进行求解．
本题考查了分式方程的解，要注意给出的例子中的方程与解的规律，还要注意套用列子中的规律时，要保证所求方程与例子中的方程的形式一致．
【好题演练】
一、选择题
1.关于a，b的方程组有无数组解，那么k的值是．
A.2B.1C.3D.不存在
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程组的解，属于基础题，关键是要理解方程组有无数组解的含义．由关于x，y的方程组有无数组解，两式相减求出关于a，b的等式，再根据题意判断即可．
【解答】
解：
得，，
方程组有无数组解，
，
，
故选A．
2.已知方程的两根分别为，则方程的根是
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了分式方程的解，解分式方程，涉及了转化思想和整体代入的数学方法，考查了学生的观察能力，属于中档题．
首先观察已知方程的特点，然后把方程变形成具有已知方程的特点的形式，从而得出所求方程的根．
【解答】
解：
方程可以写成的形式，
方程的两根分别为a、，
方程的两根的关系式为：
，，
即方程的根为：
或，
故方程的根为a，，
故选D．
3.如图，已知点，，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数的图象经过点点P从点A运动至点B的过程中，关于k值的变化：
甲说：
“当时，点P在点A位置时，k的值最小．”
乙说：
“当时，k的值先增大再减小．”
丙说：
“若要使k的值逐渐增大，n的取值范围是”
三个人的结论中，判断正确的是
A.甲和乙B.甲和丙C.乙和丙D.都正确
【答案】A
【解析】
【分析】
此题属于反比例函数的综合题，涉及的知识有：
待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
若，求出正确k的最大值与最小值即可判断甲、乙的结论；
把A与B坐标代入反比例解析式，并列出不等式，求出解集即可确定出n的范围．
【解答】
解：
当时，，
设线段AB所在直线的函数表达式为，
把和代入得：
解得：
则线段AB所在直线的函数表达式为；
，
，
当时，k取最小值，；
当时，k取最大值，，
故甲，乙的结论是正确的；
当时，，，符合k的值逐渐增大；
当时，线段AB所在直线的函数表达式为，
，
当时，k随x的增大而增大，则有，
此时；
当时，k随x的增大而增大，则有，
此时，
综上，若要使k的值逐渐增大，n的取值范围是．
故丙的结论是错误的，
则甲乙都是正确的，丙的结论是错误的，
故选A．
4.从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形如图，然后将剩余部分剪拼成一个矩形如图，上述操作能验证的等式是
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平方差公式的运用，解此题的关键是用代数式表示图形的面积，运用了转化思想，把实际问题转化成数学问题，并用数学式子表示出来．分别求出从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形后剩余部分的面积和拼成的长方形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项．
【解答】
解：
因为从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：
，
且拼成的长方形的面积是：
，
根据剩余部分的面积相等得：
，
故选B．
5.从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形如图，然后将剩余部分剪拼成一个矩形如图，上述操作所能验证的等式是
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平方差公式的运用，解此题的关键是用代数式表示图形的面积，运用了转化思想，把实际问题转化成数学问题，并用数学式子表示出来．分别求出从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形后剩余部分的面积和拼成的长方形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项．
【解答】
解：
因为从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：
，
且拼成的长方形的面积是：
，
根据剩余部分的面积相等得：
，
故选B．
6.如图，已知，，则五边形ABCDE的面积为．
A.7
B.6
C.5
D.4
【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式和转化思想．首先延长DE至F，使，连AC，AD，AF，可得≌，然后再证得≌，可将五边形ABCDE的面积转化为两个的面积，最后根据三角形的面积公式求出结论即可．
【解答】
解：
延长DE至F，使，连AC，AD，AF，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
在与中，
，
≌，
五边形ABCDE的面积是：
．
故选D．
二、填空题
7.小明在解方程时采用了下面的方法：
由
，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解．请你学习小明的方法，解方程，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次根式在解方程中的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是在解决实际问题的过程中能熟练应用有关二次根式的概念、性质和运算的方法首先把根式有理化，然后分别求出根式和它的有理化因式的值是多少；再根据求出的根式和它的有理化因式的值，求出方程的解是多少即可．
【解答】
解：
．
．
．
．
．
．
经检验都是原方程的解，
故答案为．
8.如图所示，在中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、点E在点N的左侧若，，设周长为m，则m的取值范围为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、三角形内角和定理、大边对大角、勾股定理及其应用．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，解题时由DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得，，即可得周长等于BC的长，，，由三角形三边关系即可求得，然后由三角形内角和定理，即可求得，则，当时由勾股定理易得，由“大角对大边”易得，进而可得周长的范围．
【解答】
解、MN是边AB、AC的垂直平分线，
，，
，
，，
，，
，
，，
，
，
当时由勾股定理易得，由“大角对大边”易得，
综上可知，
即，
故答案为．
9.如图，在中，，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，的平分线交CE于Q，当时，_________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点。
延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得，根据两直线平行，内错角相等可得，再根据角平分线的定义可得，从而得到，根据等角对等边可得，求出，再根据求出，然后根据和相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【解答】
解：
如图，延长BQ交射线EF于M，
、F分别是AB、AC的中点，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
由得，∽，
，
，
即．
故答案为：
12．
10.三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法。
甲说：
“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：
“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：
“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是__________
【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，整体思想，转化化归思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可．
【解答】
解：
方程组的解是
方程组 可化为
故答案为．
11.如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP，交BC于点K，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的最值的求法，关键是构造相似三角形，把线段的比值的最大值转化为二次函数的最大值进行解答，体现了转化思想．
过P作，与BC交于点Q，则三角形相似得，设 ，从而得关于t的解析式，再根据二次函数的性质求得最大值．
【解答】
解：
过P作，与BC交于点Q，如图，
二次函数的图象与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C，
，，，
设直线BC的解析式为：
，
则
直线BC的解析式为：
，
设 ，则，
，
，
∽，
，
，
当时，有最大值为，
故答案为：
．
12.如图，P是长方形ABCD内一动点，，，且，则的
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