高考数学一轮复习 第十二篇 概率随机变量及其分布 第7讲 正态分布教案 理 新人教版Word格式.docx

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2．（xx·

湖北）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（　　）．

A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2

解析　由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，

故P（0＜ξ＜2）＝0.3.故选C.

答案　C

3．（xx·

广东）已知随机变量X服从正态分布N（3,1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，则P（X＞4）等于（　　）．

A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585

解析　由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5－

P（2≤X≤4）＝0.5－

×

0.6826＝0.1587.故选B.

4．（xx·

山东）已知随机变量X服从正态分布N（0，σ2），若P（X>

2）＝0.023，则P（－2≤X≤2）等于（　　）．

A．0.477B．0.628C．0.954D．0.977

解析　P（－2≤X≤2）＝1－2P（X>

2）＝0.954.

5．设随机变量X服从正态分布N（2,9），若P（X>

c＋1）＝P（X<

c－1），则c等于（　　）．

A．1B．2C．3D．4

解析　∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图象关于x＝2对称，于是

＝2，∴c＝2.

考向一　正态曲线的性质

【例1】►若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为

（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；

（2）求正态总体在（－4,4]的概率．

[审题视点]要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．

解　

（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由

，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是

φμ，σ（x）＝

，x∈（－∞，＋∞）．

（2）P（－4<

X≤4）＝P（0－4<

X≤0＋4）

＝P（μ－σ<

X≤μ＋σ）＝0.6826.

解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．

【训练1】设两个正态分布N（μ1，σ

）（σ1＞0）和N（μ2，σ

）（σ2＞0）的密度函数图象如图所示，则有（　　）．

A．μ1＜μ2，σ1＜σ2

B．μ1＜μ2，σ1＞σ2

C．μ1＞μ2，σ1＜σ2

D．μ1＞μ2，σ1＞σ2

解析　根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：

正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；

σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；

反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A.

答案　A

考向二　服从正态分布的概率计算

【例2】►设X～N（1,22），试求

（1）P（－1<

X≤3）；

（2）P（3<

X≤5）；

（3）P（X≥5）．

[审题视点]将所求概率转化到（μ－σ，μ＋σ]．（μ－2σ，μ＋2σ]或[μ－3σ，μ＋3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．

解　∵X～N（1,22），∴μ＝1，σ＝2.

X≤3）＝P（1－2<

X≤1＋2）

（2）∵P（3<

X≤5）＝P（－3<

X≤－1），

∴P（3<

X≤5）＝

[P（－3<

X≤5）－P（－1<

X≤3）]

[P（1－4<

X≤1＋4）－P（1－2<

X≤1＋2）]

[P（μ－2σ<

X≤μ＋2σ）－P（μ－σ<

X≤μ＋σ）]

（0.9544－0.6826）

＝0.1359.

（3）∵P（X≥5）＝P（X≤－3），

∴P（X≥5）＝

[1－P（－3<

X≤5）]

[1－P（1－4<

X≤1＋4）]

[1－P（μ－2σ<

X≤μ＋2σ）]

（1－0.9544）＝0.0228.

求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．

【训练2】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝________.

解析　由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1－0.3＝0.7.

答案　0.7

考向三　正态分布的应用

【例3】►xx年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．

[审题视点]根据正态密度曲线的对称性求解．

解　由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1200×

0.15＝180辆．

服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）时必然有

＝μ，这是解决正态分布类试题的一个重要结论．

【训练3】工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N

，问在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间（3,5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？

解　∵X～N

，∴μ＝4，σ＝

∴不属于区间（3,5]的概率为

P（X≤3）＋P（X＞5）＝1－P（3＜X≤5）

＝1－P（4－1＜X≤4＋1）

＝1－P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）

＝1－0.9974＝0.0026≈0.003，

∴1000×

0.003＝3（个），

即不属于区间（3,5]这个尺寸范围的零件大约有3个．

阅卷报告19——正态分布中概率计算错误

【问题诊断】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．

【防范措施】对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．

【示例】►已知某次数学考试的成绩服从正态分布N（116，64），则成绩在140分以上的考生所占的百分比为（　　）．

A．0.3%B．0.23%

C．1.5%D．0.15%

错因　

（1）不能正确得出该正态分布的两个参数μ，σ导致计算无从下手．

（2）对正态分布中随机变量在三个区间内取值的概率数值记忆不准，导致计算出错．

实录　同学甲　A　同学乙　B　同学丙　C

正解　依题意，μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140，而服从正态分布的随机变量在（μ－3σ，μ＋3σ）内取值的概率约为0.997，所以成绩在区间（92,140）内的考生所占百分比约为99.7%，从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为

＝0.15%.故选D.

答案　D

【试一试】在正态分布N

中，数值落在（－∞，－1）∪（1，＋∞）内的概率为（　　）．

A．0.097B．0.046

C．0.03D．0.0026

解析　∵μ＝0，σ＝

，∴P（x＜－1或x＞1）＝1－P（－1≤x≤1）＝1－P（μ－3σ≤x≤μ＋3σ）＝1－0.9974＝0.0026.

答案　D　　

2019-2020年高考数学一轮复习第十五章圆锥曲线与方程15.1椭圆讲义

（1）设椭圆的半焦距为c.

因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,所以=,=8,解得a=2,c=1,于是b==,

因此椭圆E的标准方程是+=1.

（2）由

（1）知,F1（-1,0）,F2（1,0）.

设P（x0,y0）,因为P为第一象限的点,故x0>

0,y0>

0.

当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符.

当x0≠1时,直线PF1的斜率为,直线PF2的斜率为.

因为l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直线l1的斜率为-,直线l2的斜率为-,

从而直线l1的方程:

y=-（x+1）,①

直线l2的方程:

y=-（x-1）.②

由①②,解得x=-x0,y=,

所以Q.

因为点Q在椭圆上,由对称性,得=±

y0,即-=1或+=1.

又P在椭圆E上,故+=1.

由

解得x0=,y0=;

无解.

因此点P的坐标为.

考纲解读

考点

内容解读

要求

五年高考统计

常考题型

预测热度

xx

1.椭圆的定义和标准方程

椭圆的标准方程

B

18题

16分

填空题

解答题

★★★

2.椭圆的性质

椭圆的性质及应用

12题

5分

17题

14分

10题

分析解读　　椭圆的标准方程和几何性质是江苏高考的必考内容,重点考查椭圆方程的求解,椭圆离心率的求法,在解答题中对运算化简能力的要求比较高.

五年高考

考点一　椭圆的定义和标准方程

1.（xx大纲全国改编,6,5分）已知椭圆C:

+=1（a>

b>

0）的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为　　　　. 

答案　+=1

2.（xx福建改编,9,5分）设P,Q分别为圆x2+（y-6）2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是　　　　. 

答案　6

3.（xx课标全国Ⅰ理改编,10,5分）已知椭圆E:

0）的右焦点为F（3,0）,过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为（1,-1）,则E的方程为　　　　. 

4.（xx课标全国Ⅰ,20,12分）已知椭圆C:

0）,四点P1（1,1）,P2（0,1）,P3,P4中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程;

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:

l过定点.

解析　

（1）由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.

又由+>

+知,C不经过点P1,所以点P2在C上.

因此

解得

故C的方程为+y2=1.

（2）证明:

设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.

如果l与x轴垂直,设l:

x=t,由题设知t≠0,且|t|<

2,可得A,B的坐标分别为,.

则k1+k2=-=-1,得t=2,不符合题设.

从而可设l:

y=kx+m（m≠1）.将y=kx+m代入+y2=1得

（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0.

由题设可知Δ=16（4k2-m2+1）>

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则x1+x2=-,x1x2=.

而k1+k2=+

=+

=,

由题设k1+k2=-1,故（2k+1）x1x2+（m-1）（x1+x2）=0.

即（2k+1）·

+（m-1）·

=0.

解得k=-.

当且仅当m>

-1时,Δ>

0,于是l:

y=-x+m,

即y+1=-（x-2）,

所以l过定点（2,-1）.

5.（xx天津文,20,14分）已知椭圆+=1（a>

0）的左焦点为F（-c,0）,右顶点为A,点E的坐标为（0,c）,△EFA的面积为.

（1）求椭圆的离心率;

（2）设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.

（i）求直线FP的斜率;

（ii）求椭圆的方程.

解析　

（1）设椭圆的离心率为e.由已知,可得（c+a）c=.

又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.

又因为0<

e<

1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.

（2）（i）依题意,设直线FP的方程为x=my-c（m>

0）,则直线FP的斜率为.

由

（1）知a=2c,可得直线AE的方程为+=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有+=,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.

（ii）由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为+=1.

由（i）得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得消去y,

整理得7x2+6cx-13c2=0,

解得x=-（舍去）,或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|==,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=-=c.

由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.

因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·

tan∠QFN=×

=,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得-=3c,整理得c2=2c,又由c>

0,得c=2.

所以,椭圆的方程为+=1.

6.（xx山东,21,14分）已知椭圆C:

0）的长轴长为4,焦距为2.

（1）求椭圆C的方程;

（2）过动点M（0,m）（m>

0）的直线交x轴于点N,交C于点A,P（P在第一象限）,且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.

（i）设直线PM,QM的斜率分别为k,k'

证明为定值;

（ii）求直线AB的斜率的最小值.

解析　

（1）设椭圆的半焦距为c.

由题意知2a=4,2c=2,

所以a=2,b==.

所以椭圆C的方程为+=1.

（2）（i）证明:

设P（x0,y0）（x0>

0）.

由M（0,m）,可得P（x0,2m）,Q（x0,-2m）.

所以直线PM的斜率k==,

直线QM的斜率k'

==-.

此时=-3.所以为定值-3.

（ii）设A（x1,y1）,B（x2,y2）.

直线PA的方程为y=kx+m,

直线QB的方程为y=-3kx+m.

联立

整理得（2k2+1）x2+4mkx+2m2-4=0.

由x0x1=,

可得x1=.

所以y1=kx1+m=+m.

同理x2=,y2=+m.

所以x2-x1=-=,

y2-y1=+m--m=,

所以kAB===.

由m>

0,x0>

0,可知k>

0,

所以6k+≥2,等号当且仅当k=时取得.

此时=,即m=,符合题意.

所以直线AB的斜率的最小值为.

7.（xx北京,19,14分）已知椭圆C:

+=1过A（2,0）,B（0,1）两点.

（1）求椭圆C的方程及离心率;

（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:

四边形ABNM的面积为定值.

解析　

（1）由题意得,a=2,b=1.

所以椭圆C的方程为+y2=1.（3分）

又c==,

所以离心率e==.（5分）

（2）设P（x0,y0）（x0<

0,y0<

0）,则+4=4.（6分）

又A（2,0）,B（0,1）,

所以,直线PA的方程为y=（x-2）.

令x=0,得yM=-,从而|BM|=1-yM=1+.（9分）

直线PB的方程为y=x+1.

令y=0,得xN=-,

从而|AN|=2-xN=2+.（12分）

所以四边形ABNM的面积

S=|AN|·

|BM|

=

==2.

从而四边形ABNM的面积为定值.（14分）

8.（xx江苏,18,16分）如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1（a>

0）的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程;

（2）过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.

解析　

（1）由题意,得=且c+=3,

解得a=,c=1,则b=1,

所以椭圆的标准方程为+y2=1.

（2）当AB⊥x轴时,AB=,又CP=3,不合题意.

当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k（x-1）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,

将直线AB的方程代入椭圆方程,得（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0,则x1,2=,C的坐标为,且AB===.

若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意.

从而k≠0,故直线PC的方程为y+=-,

则P点的坐标为,

从而PC=.

因为PC=2AB,所以=,

解得k=±

1.

此时直线AB的方程为y=x-1或y=-x+1.

9.（xx安徽,20,13分）设椭圆E的方程为+=1（a>

0）,点O为坐标原点,点A的坐标为（a,0）,点B的坐标为（0,b）,点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.

（1）求E的离心率e;

（2）设点C的坐标为（0,-b）,N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.

解析　

（1）由题设条件知,点M的坐标为,

因为kOM=,所以=.

所以a=b,c==2b.故e==.

（2）由题设条件和

（1）的计算结果可得,直线AB的方程为+=1,点N的坐标为.

设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则线段NS的中点T的坐标为.因为点T在直线AB上,且kNS·

kAB=-1,所以有

解得b=3.

所以a=3,故椭圆E的方程为+=1.

10.（xx课标Ⅰ,20,12分）已知点A（0,-2）,椭圆E:

0）的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.

（1）求E的方程;

（2）设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.

解析　

（1）设F（c,0）,由条件知,=,得c=.

又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.

故E的方程为+y2=1.

（2）当l⊥x轴时不合题意,故设l:

y=kx-2,P（x1,y1）,Q（x2,y2）.

将y=kx-2代入+y2=1得（1+4k2）x2-16kx+12=0.

当Δ=16（4k2-3）>

0,即k2>

时,x1,2=.

从而|PQ|=|x1-x2|=.

又点O到直线PQ的距离d=,

所以△OPQ的面积

S△OPQ=d·

|PQ|=.

设=t,则t>

0,S△OPQ==.

因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±

时等号成立,且满足Δ>

所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.

教师用书专用（11—17）

11.（xx天津,19,14分）设椭圆+=1（a>

）的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程;

（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上）,垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.

解析　

（1）设F（c,0）,由+=,即+=,可得a2-c2=3c2,

又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.

（2）设直线l的斜率为k（k≠0）,

则直线l的方程为y=k（x-2）.

设B（xB,yB）,由方程组消去y,

整理得（4k2+3）x2-16k2x+16k2-12=0.

解得x=2,或x=,由题意得xB=,从而yB=.

由

（1）知,F（1,0）,设H（0,yH）,有=（-1,yH）,=.

由BF⊥HF,得·

=0,所以+=0,解得yH=.

因此直线MH的方程为y=-x+.

设M（xM,yM）,由方程组消去y,

解得xM=.

在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即（xM-2）2+=+,化简得xM=1,即=1,解得k=-,或k=.

所以,直线l的斜率为-或.

12.（xx福建,18,13分）已知椭圆E:

0）过点（0,）,且离心率e=.

（1）求椭圆E的方程;

（2）设直线l:

x=my-1（m∈R）交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.

解析　解法一:

（1）由已知得

所以椭圆E的方程为+=1.

（2）设点A（x1,y1）,B（x2,y2）,AB的中点为H（x0,y0）.

由得（m2+2）y2-2my-3=0,

所以y1+y2=,y1y2=-,从而y0=.

所以|GH|2=+=+=（m2+1）+my0+.

==

==（1+m2）（-y1y2）,

故|GH|2-=my0+（1+m2）y1y2+=-+=>

0,所以|GH|>

故点G在以AB为直径的圆外.

解法二:

（1）同解法一.

（2）设点A（x1,y1）,B（x2,y2）,则=,

=.

所以y1+y2=,y1y2=-,

从而·

=+y1y2=+y1y2=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+

=++=>

所以cos<

>

>

0.又,不共线,所以∠AGB为锐角.

13.（xx山东,20,13分）平面直角坐标系