全等三角形解答题答案Word格式文档下载.docx
《全等三角形解答题答案Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《全等三角形解答题答案Word格式文档下载.docx(48页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
理由:
过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G,
则∠GAC=90°
∵∠ACB=45°
,∠AGC=90°
﹣∠ACB,
∴∠AGC=90°
﹣45°
=45°
∴∠ACB=∠AGC=45°
∴AC=AG,
∵∠DAG=∠FAC(同角的余角相等),AD=AF,
∴△GAD≌△CAF,
∴∠ACF=∠AGC=45°
∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°
+45°
=90°
,即CF⊥BC.
4.(2014•)
【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为:
在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后,对∠B进行分类,可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
【深入探究】
第一种情况:
当∠B是直角时,△ABC≌△DEF.
(1)如图①,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°
,根据 HL ,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二种情况:
当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF.
(2)如图②,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是钝角,求证:
△ABC≌△DEF.
第三种情况:
当∠B是锐角时,△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,请你用尺规在图③中作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹)
(4)∠B还要满足什么条件,就可以使△ABC≌△DEF?
请直接写出结论:
在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,若 ∠B≥∠A ,则△ABC≌△DEF.
【解答】
(1)解:
HL;
(2)证明:
如图,过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G,过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H,
∵∠ABC=∠DEF,且∠ABC、∠DEF都是钝角,
∴180°
﹣∠ABC=180°
﹣∠DEF,
即∠CBG=∠FEH,
在△CBG和△FEH中,
∴△CBG≌△FEH(AAS),
∴CG=FH,
在Rt△ACG和Rt△DFH中,
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL),
∴∠A=∠D,
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(AAS);
(3)解:
如图,△DEF和△ABC不全等;
(4)解:
若∠B≥∠A,则△ABC≌△DEF.
故答案为:
(1)HL;
(4)∠B≥∠A.
5.(2013•)如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°
,∠B=∠E=30°
.
(1)操作发现
如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:
①线段DE与AC的位置关系是 DE∥AC ;
②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是 S1=S2 .
(2)猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想
(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.
(3)拓展探究
已知∠ABC=60°
,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长.
【解答】解:
(1)①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上,
∴AC=CD,
﹣∠B=90°
﹣30°
=60°
∴△ACD是等边三角形,
∴∠ACD=60°
又∵∠CDE=∠BAC=60°
∴∠ACD=∠CDE,
∴DE∥AC;
②∵∠B=30°
,∠C=90°
∴CD=AC=
AB,
∴BD=AD=AC,
根据等边三角形的性质,△ACD的边AC、AD上的高相等,
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),
即S1=S2;
DE∥AC;
S1=S2;
(2)如图,∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到,
∴BC=CE,AC=CD,
∵∠ACN+∠BCN=90°
,∠DCM+∠BCN=180°
﹣90°
∴∠ACN=∠DCM,
∵在△ACN和△DCM中,
∴△ACN≌△DCM(AAS),
∴AN=DM,
(3)如图,过点D作DF1∥BE,易求四边形BEDF1是菱形,
所以BE=DF1,且BE、DF1上的高相等,
此时S△DCF1=S△BDE;
过点D作DF2⊥BD,
∵∠ABC=60°
,F1D∥BE,
∴∠F2F1D=∠ABC=60°
∵BF1=DF1,∠F1BD=
∠ABC=30°
,∠F2DB=90°
∴∠F1DF2=∠ABC=60°
∴△DF1F2是等边三角形,
∴DF1=DF2,
∵BD=CD,∠ABC=60°
,点D是角平分线上一点,
∴∠DBC=∠DCB=
×
60°
=30°
∴∠CDF1=180°
﹣∠BCD=180°
=150°
∠CDF2=360°
﹣150°
﹣60°
∴∠CDF1=∠CDF2,
∵在△CDF1和△CDF2中,
∴△CDF1≌△CDF2(SAS),
∴点F2也是所求的点,
,点D是角平分线上一点,DE∥AB,
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=
又∵BD=4,
∴BE=
4÷
cos30°
=2÷
=
∴BF1=
,BF2=BF1+F1F2=
+
故BF的长为
或
6.(2013•)已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.
(1)如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是 AE∥BF ,QE与QF的数量关系式 QE=QF ;
(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;
(3)如图3,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时
(2)中的结论是否成立?
请画出图形并给予证明.
(1)AE∥BF,QE=QF,
理由是:
如图1,∵Q为AB中点,
∴AQ=BQ,
∵BF⊥CP,AE⊥CP,
∴BF∥AE,∠BFQ=∠AEQ=90°
在△BFQ和△AEQ中
∴△BFQ≌△AEQ(AAS),
∴QE=QF,
AE∥BF;
QE=QF.
(2)QE=QF,
证明:
如图2,延长FQ交AE于D,
∵Q为AB中点,
∴BF∥AE,
∴∠QAD=∠FBQ,
在△FBQ和△DAQ中
∴△FBQ≌△DAQ(ASA),
∴QF=QD,
∵AE⊥CP,
∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线,
∴QE=QF=QD,
即QE=QF.
(3)
(2)中的结论仍然成立,
如图3,
延长EQ、FB交于D,
∴∠1=∠D,
在△AQE和△BQD中,
∴△AQE≌△BQD(AAS),
∴QE=QD,
∵BF⊥CP,
∴FQ是斜边DE上的中线,
∴QE=QF.
7.(2013•区校级模拟)如图,△ADE的顶点D在△ABC的BC边上,且∠ABD=∠ADB,∠BAD=∠CAE,AC=AE.
求证:
BC=DE.
∵∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD,
∵∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,
即∠BAC=∠DAE,
∵在△ABC和△ADE中,
∴△ABC≌△ADE(SAS),
∴BC=DE.
8.(2013•庐阳区校级模拟)如图,将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起(图1).△ABD不动,
(1)若将△ACE绕点A逆时针旋转,连接DE,M是DE的中点,连接MB、MC(图2),证明:
MB=MC.
(2)若将图1中的CE向上平移,∠CAE不变,连接DE,M是DE的中点,连接MB、MC(图3),判断并直接写出MB、MC的数量关系.
(3)在
(2)中,若∠CAE的大小改变(图4),其他条件不变,则
(2)中的MB、MC的数量关系还成立吗?
说明理由.
(1)如图2,连接AM,由已知得△ABD≌△ACE,
∴AD=AE,AB=AC,∠BAD=∠CAE,
∵MD=ME,
∴∠MAD=∠MAE,
∴∠MAD﹣∠BAD=∠MAE﹣∠CAE,
即∠BAM=∠CAM,
在△ABM和△ACM中,
∴△ABM≌△ACM(SAS),
∴MB=MC;
(2)MB=MC.
理由如下:
如图3,延长DB、AE相交于E′,延长EC交AD于F,
∴BD=BE′,CE=CF,
∵M是ED的中点,B是DE′的中点,
∴MB∥AE′,
∴∠MBC=∠CAE,
同理:
MC∥AD,
∴∠BCM=∠BAD,
∴∠MBC=∠BCM,
(3)MB=MC还成立.
如图4,延长BM交CE于F,
∵CE∥BD,
∴∠MDB=∠MEF,∠MBD=∠MFE,
又∵M是DE的中点,
∴MD=ME,
在△MDB和△MEF中,
∴△MDB≌△MEF(AAS),
∴MB=MF,
∵∠ACE=90°
∴∠BCF=90°
∴MB=MC.
9.(2012•昌平区模拟)
(1)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°
,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=
∠BAD.
EF=BE+FD;
(2)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°
∠BAD,
(1)中的结论是否仍然成立?
(3)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°
,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=
若成立,请证明;
若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.
(1)延长EB到G,使BG=DF,连接AG.
∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°
,AB=AD,
∴△ABG≌△ADF.
∴AG=AF,∠1=∠2.
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=
∴∠GAE=∠EAF.
又AE=AE,
∴△AEG≌△AEF.
∴EG=EF.
∵EG=BE+BG.
∴EF=BE+FD
(2)
(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立.
(3)结论EF=BE+FD不成立,应当是EF=BE﹣FD.
在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.
∵∠B+∠ADC=180°
,∠ADF+∠ADC=180°
∴∠B=∠ADF.
∵AB=AD,
∴∠BAG=∠DAF,AG=AF.
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD
=∠EAF=
∵AE=AE,
∴EG=EF
∵EG=BE﹣BG
∴EF=BE﹣FD.
10.(2009•)将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放,其中∠ACB=∠DEB=90°
,∠A=∠D=30°
,点E落在AB上,DE所在直线交AC所在直线于点F.
(1)求证:
AF+EF=DE;
(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α,且0°
<α<60°
,其它条件不变,请在图②中画出变换后的图形,并直接写出你在
(1)中猜想的结论是否仍然成立;
(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β,且60°
<β<180°
,其它条件不变,如图③.你认为
(1)中猜想的结论还成立吗?
若成立,写出证明过程;
若不成立,请写出AF、EF与DE之间的关系,并说明理由.
(1)证明:
连接BF(如图①),
∵△ABC≌△DBE(已知),
∴BC=BE,AC=DE.
∵∠ACB=∠DEB=90°
∴∠BCF=∠BEF=90°
∵BF=BF,
∴Rt△BFC≌Rt△BFE.
∴CF=EF.
又∵AF+CF=AC,
∴AF+EF=DE.
(2)解:
画出正确图形如图②
∴
(1)中的结论AF+EF=DE仍然成立;
(3)不成立.
连接BF,
∵△ABC≌△DBE,
∴BC=BE,
∴△BCF和△BEF是直角三角形,
在Rt△BCF和Rt△BEF中,
∴△BCF≌△BEF(HL),
∴CF=EF;
∴AC=DE,
∴AF=AC+FC=DE+EF.
11.(2015•)如图,已知∠ABC=90°
,D是直线AB上的点,AD=BC.
(1)如图1,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DC、DF、CF,判断△CDF的形状并证明;
(2)如图2,E是直线BC上一点,且CE=BD,直线AE、CD相交于点P,∠APD的度数是一个固定的值吗?
若是,请求出它的度数;
若不是,请说明理由.
(1)△CDF是等腰直角三角形,理由如下:
∵AF⊥AD,∠ABC=90°
∴∠FAD=∠DBC,
在△FAD与△DBC中,
∴△FAD≌△DBC(SAS),
∴FD=DC,
∴△CDF是等腰三角形,
∵△FAD≌△DBC,
∴∠FDA=∠DCB,
∵∠BDC+∠DCB=90°
∴∠BDC+∠FDA=90°
∴△CDF是等腰直角三角形;
(2)作AF⊥AB于A,使AF=BD,连结DF,CF,如图,
∴△CDF是等腰直角三角形,
∴∠FCD=45°
∵AF∥CE,且AF=CE,
∴四边形AFCE是平行四边形,
∴AE∥CF,
∴∠APD=∠FCD=45°
12.(2016•)已知四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥AD,连接AC,过点A作AE⊥AC,且使AE=AC,连接BE,过A作AH⊥CD于H交BE于F.
(1)如图1,当E在CD的延长线上时,求证:
①△ABC≌△ADE;
②BF=EF;
(2)如图2,当E不在CD的延长线上时,BF=EF还成立吗?
请证明你的结论.
(1)①如图1,
∵AB⊥AD,AE⊥AC,
∴∠BAD=90°
,∠CAE=90°
∴∠1=∠2,
在△ABC和△ADE中,
∴△ABC≌△ADE(SAS);
②如图1,
∵△ABC≌△ADE,
∴∠AEC=∠3,
在Rt△ACE中,∠ACE+∠AEC=90°
∴∠BCE=90°
∵AH⊥CD,AE=AC,
∴CH=HE,
∵∠AHE=∠BCE=90°
∴BC∥FH,
∴
=1,
∴BF=EF;
(2)结论仍然成立,理由是:
如图2所示,过E作MN⊥AH,交BA、CD延长线于M、N,
∵∠CAE=90°
,∠BAD=90°
∴∠1+∠2=90°
,∠1+∠CAD=90°
∴∠2=∠CAD,
∵MN∥AH,
∴∠3=∠HAE,
∵∠ACH+∠CAH=90°
,∠CAH+∠HAE=90°
∴∠ACH=∠HAE,
∴∠3=∠ACH,
在△MAE和△DAC中,
∴△MAE≌△DAC(ASA),
∴AM=AD,
∴AB=AM,
∵AF∥ME,
∴BF=EF.
13.(2015春•鄄城县期末)如图1,△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且点B,C在AE的异侧,BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E.
(1)BD=DE+CE成立吗?
为什么?
(2)若直线AE绕点A旋转到如图2位置时,其他条件不变,BD与DE,CE关系如何?
请说明理由.
(1)BD=DE+CE成立,
,BD⊥AE,CE⊥AE,
∴∠BDA=∠AEC=90°
∵∠ABD+∠BAE=90°
,∠CAE+∠BAE=90°
∴∠ABD=∠CAE,
∵AB=AC,
在△ABD和△CAE中,
∴△ABD≌△CAE(AAS),
∴BD=AE,AD=CE,
∵AE=AD+DE,
∴BD=DE+CE;
(2)BD=DE﹣CE;
∴∠ABD+∠DAB=∠DEB+∠CAE,
∴AD+AE=BD+CE,
∵DE=BD+CE,
∴BD=DE﹣CE.
14.(2015秋•微山县期末)已知:
在△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,点D是AB的中点,点E是AB边上一点.
(1)直线BF垂直于CE于点F,交CD于点G(如图1).求证:
AE=CG;
(2)直线AH垂直于CE,垂足为H,交CD的延长线于点M(如图2).那么图中是否存在与AM相等的线段?
若存在,请写出来并证明;
若不存在,请说明理由.
(1)∵点D是AB的中点,AC=BC,∠ACB=90°
∴CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=45°
,∠CAD=∠CBD=45°
∴∠CAE=∠BCG.
∵BF⊥CE,
∴∠CBG+∠BCF=90°
∵∠ACE+∠BCF=90°
∴∠ACE=∠CBG.
在△AEC和△CGB中,
∴△AEC≌△CGB(ASA).
∴AE=CG.
(2)图中存在与AM相等的线段,AM=CE.
∵CH⊥HM,CD⊥ED,
∴∠CMA+∠MCH=90°
,∠BEC+∠MCH=90°
∴∠CMA=∠BEC.
∵AC=BC,∠ACM=∠CBE=45°
在△CAM和△BCE中,
∴△CAM≌△BCE(AAS).
∴AM=CE.
15.(2015秋•丰润区期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,E为AC边的中点,过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D,CG平分∠ACB交BD于点G,F为AB边上一点,连接CF,且∠ACF=∠CBG.求证:
(1)AF=CG;
(2)DG=CF;
(3)直接写出CF与DE的数量关系.
(1)∵∠ACB=90°
,AC=BC,CG平分∠ACB,
∴∠CAF=∠CBA=45°
,∠BCG=∠ACG=45°
∴∠BCG=∠CAF=45°
∵∠CBG=∠ACF,AC=BC
∴△BCG≌△CAF,
∴BG=CF;
(2)连接AG,如图1所示:
在△ACG与△BCG中,
∴△ACG≌△BCG,
∴AG=BG,
∴∠GBA=∠GAB,
∵AD⊥AB
∴∠D=90°
﹣∠GBA=90°
﹣∠GAB=∠GAD,
∴AG=DG.
∵由
(1)BG=CF,
∴DG=CF;
(3)如图2,延长CG交AB于H,
∵CG平分∠ACB,AC=BC,
∴CH⊥AB,CH平分AB,
∵AD⊥AB,
∴AD∥CG,
∴∠D=∠EGC,
在△ADE与△CGE中,
∴△ADE≌△CGE(AAS),
∴DE=GE,
即DG=2DE,
∵AD∥CG,CH平分AB,
∴DG=BG,
∵△AFC≌△CBG,
∴CF=BG,
∴CF=2DE.
16.(2015秋•期末)如图,在△ABC中,AB=AC,D、A、E在直线m上,∠ADB=∠AEC=∠BAC.
DE=DB+EC;
(2)若∠BAC=120°
,AF平分∠BAC,且AF=AB,连接FD、FE,请判断△DEF的形状,并写出证明过程.
∵∠ADB=∠AEC=∠BAC,
∴∠ADB+∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠BAC+∠EAC=180°
∴∠ABD=∠EAC,
在△ABD与△ACE中,
∴△ABD≌△AEC,
∴BD=AE,
∵DE=AD+AE,
∴DE=DB+EC;
(2)△DEF为等边三角形
∵△ABF和△ACF均为等边三角形
∴BF=AF=AB=AC=CF,∠BAF=∠CAF=∠ABF=60°
∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=12