全等三角形解答题答案Word格式文档下载.docx

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理由：

过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，

则∠GAC=90°

∵∠ACB=45°

，∠AGC=90°

﹣∠ACB，

∴∠AGC=90°

﹣45°

=45°

∴∠ACB=∠AGC=45°

∴AC=AG，

∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，

∴△GAD≌△CAF，

∴∠ACF=∠AGC=45°

∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°

+45°

=90°

，即CF⊥BC．

4．（2014•）

【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．

【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示为：

在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．

【深入探究】

第一种情况：

当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．

（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°

，根据　HL　，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第二种情况：

当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．

（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：

△ABC≌△DEF．

第三种情况：

当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．

（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）

（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？

请直接写出结论：

在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若　∠B≥∠A　，则△ABC≌△DEF．

【解答】

（1）解：

HL；

（2）证明：

如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，

∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，

∴180°

﹣∠ABC=180°

﹣∠DEF，

即∠CBG=∠FEH，

在△CBG和△FEH中，

∴△CBG≌△FEH（AAS），

∴CG=FH，

在Rt△ACG和Rt△DFH中，

∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），

∴∠A=∠D，

在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（AAS）；

（3）解：

如图，△DEF和△ABC不全等；

（4）解：

若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．

故答案为：

（1）HL；

（4）∠B≥∠A．

5．（2013•）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°

，∠B=∠E=30°

．

（1）操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是　DE∥AC　；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是　S1=S2　．

（2）猜想论证

当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想

（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°

，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．

【解答】解：

（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，

∴AC=CD，

﹣∠B=90°

﹣30°

=60°

∴△ACD是等边三角形，

∴∠ACD=60°

又∵∠CDE=∠BAC=60°

∴∠ACD=∠CDE，

∴DE∥AC；

②∵∠B=30°

，∠C=90°

∴CD=AC=

AB，

∴BD=AD=AC，

根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），

即S1=S2；

DE∥AC；

S1=S2；

（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，

∴BC=CE，AC=CD，

∵∠ACN+∠BCN=90°

，∠DCM+∠BCN=180°

﹣90°

∴∠ACN=∠DCM，

∵在△ACN和△DCM中，

∴△ACN≌△DCM（AAS），

∴AN=DM，

（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，

所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，

此时S△DCF1=S△BDE；

过点D作DF2⊥BD，

∵∠ABC=60°

，F1D∥BE，

∴∠F2F1D=∠ABC=60°

∵BF1=DF1，∠F1BD=

∠ABC=30°

，∠F2DB=90°

∴∠F1DF2=∠ABC=60°

∴△DF1F2是等边三角形，

∴DF1=DF2，

∵BD=CD，∠ABC=60°

，点D是角平分线上一点，

∴∠DBC=∠DCB=

×

60°

=30°

∴∠CDF1=180°

﹣∠BCD=180°

=150°

∠CDF2=360°

﹣150°

﹣60°

∴∠CDF1=∠CDF2，

∵在△CDF1和△CDF2中，

∴△CDF1≌△CDF2（SAS），

∴点F2也是所求的点，

，点D是角平分线上一点，DE∥AB，

∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=

又∵BD=4，

∴BE=

4÷

cos30°

=2÷

=

∴BF1=

，BF2=BF1+F1F2=

+

故BF的长为

或

6．（2013•）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　AE∥BF　，QE与QF的数量关系式　QE=QF　；

（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时

（2）中的结论是否成立？

请画出图形并给予证明．

（1）AE∥BF，QE=QF，

理由是：

如图1，∵Q为AB中点，

∴AQ=BQ，

∵BF⊥CP，AE⊥CP，

∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ=90°

在△BFQ和△AEQ中

∴△BFQ≌△AEQ（AAS），

∴QE=QF，

AE∥BF；

QE=QF．

（2）QE=QF，

证明：

如图2，延长FQ交AE于D，

∵Q为AB中点，

∴BF∥AE，

∴∠QAD=∠FBQ，

在△FBQ和△DAQ中

∴△FBQ≌△DAQ（ASA），

∴QF=QD，

∵AE⊥CP，

∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，

∴QE=QF=QD，

即QE=QF．

（3）

（2）中的结论仍然成立，

如图3，

延长EQ、FB交于D，

∴∠1=∠D，

在△AQE和△BQD中，

∴△AQE≌△BQD（AAS），

∴QE=QD，

∵BF⊥CP，

∴FQ是斜边DE上的中线，

∴QE=QF．

7．（2013•区校级模拟）如图，△ADE的顶点D在△ABC的BC边上，且∠ABD=∠ADB，∠BAD=∠CAE，AC=AE．

求证：

BC=DE．

∵∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD，

∵∠BAD=∠CAE，

∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，

即∠BAC=∠DAE，

∵在△ABC和△ADE中，

∴△ABC≌△ADE（SAS），

∴BC=DE．

8．（2013•庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，

（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：

MB=MC．

（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．

（3）在

（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则

（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？

说明理由．

（1）如图2，连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，

∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE，

∵MD=ME，

∴∠MAD=∠MAE，

∴∠MAD﹣∠BAD=∠MAE﹣∠CAE，

即∠BAM=∠CAM，

在△ABM和△ACM中，

∴△ABM≌△ACM（SAS），

∴MB=MC；

（2）MB=MC．

理由如下：

如图3，延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，

∴BD=BE′，CE=CF，

∵M是ED的中点，B是DE′的中点，

∴MB∥AE′，

∴∠MBC=∠CAE，

同理：

MC∥AD，

∴∠BCM=∠BAD，

∴∠MBC=∠BCM，

（3）MB=MC还成立．

如图4，延长BM交CE于F，

∵CE∥BD，

∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，

又∵M是DE的中点，

∴MD=ME，

在△MDB和△MEF中，

∴△MDB≌△MEF（AAS），

∴MB=MF，

∵∠ACE=90°

∴∠BCF=90°

∴MB=MC．

9．（2012•昌平区模拟）

（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°

，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=

∠BAD．

EF=BE+FD；

（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°

∠BAD，

（1）中的结论是否仍然成立？

（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°

，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=

若成立，请证明；

若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．

∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°

，AB=AD，

∴△ABG≌△ADF．

∴AG=AF，∠1=∠2．

∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=

∴∠GAE=∠EAF．

又AE=AE，

∴△AEG≌△AEF．

∴EG=EF．

∵EG=BE+BG．

∴EF=BE+FD

（2）

（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．

（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE﹣FD．

在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．

∵∠B+∠ADC=180°

，∠ADF+∠ADC=180°

∴∠B=∠ADF．

∵AB=AD，

∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．

∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD

=∠EAF=

∵AE=AE，

∴EG=EF

∵EG=BE﹣BG

∴EF=BE﹣FD．

10．（2009•）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°

，∠A=∠D=30°

，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．

（1）求证：

AF+EF=DE；

（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°

＜α＜60°

，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在

（1）中猜想的结论是否仍然成立；

（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°

＜β＜180°

，其它条件不变，如图③．你认为

（1）中猜想的结论还成立吗？

若成立，写出证明过程；

若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．

（1）证明：

连接BF（如图①），

∵△ABC≌△DBE（已知），

∴BC=BE，AC=DE．

∵∠ACB=∠DEB=90°

∴∠BCF=∠BEF=90°

∵BF=BF，

∴Rt△BFC≌Rt△BFE．

∴CF=EF．

又∵AF+CF=AC，

∴AF+EF=DE．

（2）解：

画出正确图形如图②

∴

（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立；

（3）不成立．

连接BF，

∵△ABC≌△DBE，

∴BC=BE，

∴△BCF和△BEF是直角三角形，

在Rt△BCF和Rt△BEF中，

∴△BCF≌△BEF（HL），

∴CF=EF；

∴AC=DE，

∴AF=AC+FC=DE+EF．

11．（2015•）如图，已知∠ABC=90°

，D是直线AB上的点，AD=BC．

（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；

（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？

若是，请求出它的度数；

若不是，请说明理由．

（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下：

∵AF⊥AD，∠ABC=90°

∴∠FAD=∠DBC，

在△FAD与△DBC中，

∴△FAD≌△DBC（SAS），

∴FD=DC，

∴△CDF是等腰三角形，

∵△FAD≌△DBC，

∴∠FDA=∠DCB，

∵∠BDC+∠DCB=90°

∴∠BDC+∠FDA=90°

∴△CDF是等腰直角三角形；

（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，如图，

∴△CDF是等腰直角三角形，

∴∠FCD=45°

∵AF∥CE，且AF=CE，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∴AE∥CF，

∴∠APD=∠FCD=45°

12．（2016•）已知四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE=AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F．

（1）如图1，当E在CD的延长线上时，求证：

①△ABC≌△ADE；

②BF=EF；

（2）如图2，当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗？

请证明你的结论．

（1）①如图1，

∵AB⊥AD，AE⊥AC，

∴∠BAD=90°

，∠CAE=90°

∴∠1=∠2，

在△ABC和△ADE中，

∴△ABC≌△ADE（SAS）；

②如图1，

∵△ABC≌△ADE，

∴∠AEC=∠3，

在Rt△ACE中，∠ACE+∠AEC=90°

∴∠BCE=90°

∵AH⊥CD，AE=AC，

∴CH=HE，

∵∠AHE=∠BCE=90°

∴BC∥FH，

∴

=1，

∴BF=EF；

（2）结论仍然成立，理由是：

如图2所示，过E作MN⊥AH，交BA、CD延长线于M、N，

∵∠CAE=90°

，∠BAD=90°

∴∠1+∠2=90°

，∠1+∠CAD=90°

∴∠2=∠CAD，

∵MN∥AH，

∴∠3=∠HAE，

∵∠ACH+∠CAH=90°

，∠CAH+∠HAE=90°

∴∠ACH=∠HAE，

∴∠3=∠ACH，

在△MAE和△DAC中，

∴△MAE≌△DAC（ASA），

∴AM=AD，

∴AB=AM，

∵AF∥ME，

∴BF=EF．

13．（2015春•鄄城县期末）如图1，△ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．

（1）BD=DE+CE成立吗？

为什么？

（2）若直线AE绕点A旋转到如图2位置时，其他条件不变，BD与DE，CE关系如何？

请说明理由．

（1）BD=DE+CE成立，

，BD⊥AE，CE⊥AE，

∴∠BDA=∠AEC=90°

∵∠ABD+∠BAE=90°

，∠CAE+∠BAE=90°

∴∠ABD=∠CAE，

∵AB=AC，

在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，AD=CE，

∵AE=AD+DE，

∴BD=DE+CE；

（2）BD=DE﹣CE；

∴∠ABD+∠DAB=∠DEB+∠CAE，

∴AD+AE=BD+CE，

∵DE=BD+CE，

∴BD=DE﹣CE．

14．（2015秋•微山县期末）已知：

在△ABC中，∠ACB=90°

，AC=BC，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．

（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图1）．求证：

AE=CG；

（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2）．那么图中是否存在与AM相等的线段？

若存在，请写出来并证明；

若不存在，请说明理由．

（1）∵点D是AB的中点，AC=BC，∠ACB=90°

∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°

，∠CAD=∠CBD=45°

∴∠CAE=∠BCG．

∵BF⊥CE，

∴∠CBG+∠BCF=90°

∵∠ACE+∠BCF=90°

∴∠ACE=∠CBG．

在△AEC和△CGB中，

∴△AEC≌△CGB（ASA）．

∴AE=CG．

（2）图中存在与AM相等的线段，AM=CE．

∵CH⊥HM，CD⊥ED，

∴∠CMA+∠MCH=90°

，∠BEC+∠MCH=90°

∴∠CMA=∠BEC．

∵AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°

在△CAM和△BCE中，

∴△CAM≌△BCE（AAS）．

∴AM=CE．

15．（2015秋•丰润区期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°

，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：

（1）AF=CG；

（2）DG=CF；

（3）直接写出CF与DE的数量关系．

（1）∵∠ACB=90°

，AC=BC，CG平分∠ACB，

∴∠CAF=∠CBA=45°

，∠BCG=∠ACG=45°

∴∠BCG=∠CAF=45°

∵∠CBG=∠ACF，AC=BC

∴△BCG≌△CAF，

∴BG=CF；

（2）连接AG，如图1所示：

在△ACG与△BCG中，

∴△ACG≌△BCG，

∴AG=BG，

∴∠GBA=∠GAB，

∵AD⊥AB

∴∠D=90°

﹣∠GBA=90°

﹣∠GAB=∠GAD，

∴AG=DG．

∵由

（1）BG=CF，

∴DG=CF；

（3）如图2，延长CG交AB于H，

∵CG平分∠ACB，AC=BC，

∴CH⊥AB，CH平分AB，

∵AD⊥AB，

∴AD∥CG，

∴∠D=∠EGC，

在△ADE与△CGE中，

∴△ADE≌△CGE（AAS），

∴DE=GE，

即DG=2DE，

∵AD∥CG，CH平分AB，

∴DG=BG，

∵△AFC≌△CBG，

∴CF=BG，

∴CF=2DE．

16．（2015秋•期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D、A、E在直线m上，∠ADB=∠AEC=∠BAC．

DE=DB+EC；

（2）若∠BAC=120°

，AF平分∠BAC，且AF=AB，连接FD、FE，请判断△DEF的形状，并写出证明过程．

∵∠ADB=∠AEC=∠BAC，

∴∠ADB+∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠BAC+∠EAC=180°

∴∠ABD=∠EAC，

在△ABD与△ACE中，

∴△ABD≌△AEC，

∴BD=AE，

∵DE=AD+AE，

∴DE=DB+EC；

（2）△DEF为等边三角形

∵△ABF和△ACF均为等边三角形

∴BF=AF=AB=AC=CF，∠BAF=∠CAF=∠ABF=60°

∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=12