部编人教版中考数学试题分类汇编精析30切线的性质和判定Word文档下载推荐.docx

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，则∠BOD等于（　　）

A．40°

B．50°

C．60°

D．80°

【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°

，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．

∵BC是⊙O的切线，

∴∠ABC=90°

∴∠A=90°

﹣∠ACB=40°

由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°

D．

5．（2020•泸州）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y=上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（　　）

A．3B．2C．D．

【分析】如图，直线y=x+2与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，先利用一次解析式得到D（0，2），C（﹣2，0），再利用勾股定理可计算出CD=4，则利用面积法可计算出OH=，连接OA，如图，利用切线的性质得OA⊥PA，则PA=，然后利用垂线段最短求PA的最小值．

如图，直线y=x+2与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，

当x=0时，y=x+2=2，则D（0，2），

当y=0时，x+2=0，解得x=﹣2，则C（﹣2，0），

∴CD==4，

∵OH•CD=OC•OD，

∴OH==，

连接OA，如图，

∴OA⊥PA，

∴PA==，

当OP的值最小时，PA的值最小，

而OP的最小值为OH的长，

∴PA的最小值为=．

6．（2020•泰安）如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°

，则∠ACB的度数为（　　）

D．70°

【分析】连接OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°

，从而得∠ABO=∠BAO=50°

，由内角和定理知∠AOB=80°

，根据圆周角定理可得答案．

如图，连接OA、OB，

∵BM是⊙O的切线，

∴∠OBM=90°

∵∠MBA=140°

∴∠ABO=50°

∵OA=OB，

∴∠ABO=∠BAO=50°

∴∠AOB=80°

∴∠ACB=∠AOB=40°

7．（2020•深圳）如图，一把直尺，60°

的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°

角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（　　）

A．3B．C．6D．

【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB=AC=3、∠OAB=60°

，根据OB=ABtan∠OAB可得答案．

设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，

由切线长定理知AB=AC=3，OA平分∠BAC，

∴∠OAB=60°

在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=3，

∴光盘的直径为6，

8．（2020•重庆）如图，△ABC中，∠A=30°

，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是（　　）

A．2B．C．D．

【分析】连接OD，得Rt△OAD，由∠A=30°

，AD=2，可求出OD、AO的长；

由BD平分∠ABC，OB=OD可得

OD与BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论．

连接OD

∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，

∴OD⊥AC

在Rt△AOD中，∵∠A=30°

，AD=2，

∴OD=OB=2，AO=4，

∴∠ODB=∠OBD，又∵BD平分∠ABC，

∴∠OBD=∠CBD

∴∠ODB=∠CBD

∴OD∥CB，

∴

即

∴CD=．

B．

9．（2020•湘西州）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（　　）

A．10B．8C．4D．4

【分析】由AB是圆的切线知AO⊥AB，结合CD∥AB知AO⊥CD，从而得出CE=4，Rt△COE中求得OE=3及AE=8，在Rt△ACE中利用勾股定理可得答案．

∵直线AB与⊙O相切于点A，

∴OA⊥AB，

又∵CD∥AB，

∴AO⊥CD，记垂足为E，

∵CD=8，

∴CE=DE=CD=4，

连接OC，则OC=OA=5，

在Rt△OCE中，OE===3，

∴AE=AO+OE=8，

则AC===4，

10．（2020•宜昌）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（　　）

A．30°

B．35°

C．40°

D．45°

【分析】由切线的性质知∠OCB=90°

，再根据平行线的性质得∠COD=90°

，最后由圆周角定理可得答案．

∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，

∴∠OCB=90°

∵OD∥AB，

∴∠COD=90°

∴∠CED=∠COD=45°

11．（2020•无锡）如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：

（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；

（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；

（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

【分析】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，先确定AG=DG，则GH垂直平分AD，则可判断点O在HG上，再根据HG⊥BC可判定BC与圆O相切；

接着利用OG=OG可判断圆心O不是AC与BD的交点；

然后根据四边形AEFD为⊙O的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心．

连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，

∵G是BC的中点，

∴AG=DG，

∴GH垂直平分AD，

∴点O在HG上，

∵AD∥BC，

∴HG⊥BC，

∴BC与圆O相切；

∵OG=OG，

∴点O不是HG的中点，

∴圆心O不是AC与BD的交点；

而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，

∴AF与DE的交点是圆O的圆心；

∴

（1）错误，

（2）（3）正确．

C．

二．填空题（共14小题）

12．（2020•安徽）如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E．若点D是AB的中点，则∠DOE=　60　°

【分析】连接OA，根据菱形的性质得到△AOB是等边三角形，根据切线的性质求出∠AOD，同理计算即可．

∵四边形ABOC是菱形，

∴BA=BO，

∵AB与⊙O相切于点D，

∴OD⊥AB，

∵点D是AB的中点，

∴直线OD是线段AB的垂直平分线，

∴OA=OB，

∴△AOB是等边三角形，

∴∠AOD=∠AOB=30°

同理，∠AOE=30°

∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°

故答案为：

60．

13．（2020•连云港）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°

，则∠OCB=　44°

　．

【分析】首先连接OB，由点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，根据等角的余角相等，易证得∠CBP=∠CPB，利用等腰三角形的性质解答即可．

连接OB，

∴OB⊥BC，

∴∠OBA+∠CBP=90°

∵OC⊥OA，

∴∠A+∠APO=90°

∵OA=OB，∠OAB=22°

∴∠OAB=∠OBA=22°

∴∠APO=∠CBP=68°

∵∠APO=∠CPB，

∴∠CPB=∠ABP=68°

∴∠OCB=180°

﹣68°

=44°

44°

14．（2020•泰州）如图，△ABC中，∠ACB=90°

，sinA=，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°

得到△A'

B'

C，P为线段A′B'

上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为　或　．

【分析】分两种情形分别求解：

如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，

如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．

设PQ=PA′=r，

∵PQ∥CA′，

∴=，

∴r=．

如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，

∵△A′BT∽△ABC，

∴A′T=，

∴r=A′T=．

综上所述，⊙P的半径为或．

15．（2020•宁波）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　3或4　．

如图1中，当⊙P与直线CD相切时；

如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；

如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=m．

在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，

∴x2=42+（8﹣x）2，

∴x=5，

∴PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3．

如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．

∴PM=PK=CD=2BM，

∴BM=4，PM=8，

在Rt△PBM中，PB==4．

综上所述，BP的长为3或4．

16．（2020•台州）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°

，则∠D=　26　度．

【分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．

连接OC，

由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°

∵CD为⊙O的切线，

∴OC⊥CD，

∴∠D=90°

﹣∠COD=26°

26．

17．（2020•长沙）如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20°

，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB=　50　度．

【分析】由圆周角定理易求∠BOC的度数，再根据切线的性质定理可得∠OBC=90°

，进而可求出求出∠OCB的度°

°

∵∠A=20°

∴∠BOC=40°

∵BC是⊙O的切线，B为切点，

∴∠OBC=90°

﹣40°

=50°

50．

18．（2020•香坊区）如图，BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，且AB=AC，若CD=2，则OE的长为　　．

【分析】根据题意，利用三角形全等和切线的性质、中位线，直角三角形中30°

角所对的直角边与斜边的关系、垂径定理可以求得OE的长．

连接OA、AD，如右图所示，

∵BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，

∴∠DAB=90°

，∠OAC=90°

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△ACO和△BAD中，

∴△ACO≌△BAD（ASA），

∴AO=AD，

∵AO=OD，

∴AO=OD=AD，

∴△AOD是等边三角形，

∴∠ADO=∠DAO=60°

∴∠B=∠C=30°

，∠OAE=30°

，∠DAC=30°

∴AD=DC，

∵CD=2，

∴AD=2，

∴点O为AD的中点，OE∥AD，OE⊥AB，

∴OE=，

19．（2020•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为　　．

【分析】先利用勾股定理求出AB=10，进而求出CD=BD=5，再求出CF=4，进而求出DF=3，再判断出FG⊥BD，利用面积即可得出结论．

如图，

在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=10，

∴点D是AB中点，

∴CD=BD=AB=5，

连接DF，

∵CD是⊙O的直径，

∴∠CFD=90°

∴BF=CF=BC=4，

∴DF==3，

连接OF，

∵OC=OD，CF=BF，

∴OF∥AB，

∴∠OFC=∠B，

∵FG是⊙O的切线，

∴∠OFG=90°

∴∠OFC+∠BFG=90°

∴∠BFG+∠B=90°

∴FG⊥AB，

∴S△BDF=DF×

BF=BD×

FG，

∴FG===，

故答案为．

20．（2020•包头）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在上（不与点B，C重合），连接BE，CE．若∠D=40°

，则∠BEC=　115　度．

【分析】连接OC，根据切线的性质求出∠DCO，求出∠COB，即可求出答案．

∵DC切⊙O于C，

∴∠DCO=90°

∵∠D=40°

∴∠COB=∠D+∠DCO=130°

∴的度数是130°

∴的度数是360°

﹣130°

=230°

∴∠BEC==115°

115．

21．（2020•湘潭）如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A=30°

，则∠AOB=　60°

【分析】根据切线的性质得到∠OBA=90°

，根据直角三角形的性质计算即可．

∵AB是⊙O的切线，

∴∠OBA=90°

∴∠AOB=90°

﹣∠A=60°

60°

22．（2020•徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D．若∠C=18°

，则∠CDA=　126　度．

【分析】连接OD，构造直角三角形，利用OA=OD，可求得∠ODA=36°

，从而根据∠CDA=∠CDO+∠ODA计算求解．

连接OD，则∠ODC=90°

，∠COD=72°

；

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠A=∠COD=36°

∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°

+36°

=126°

23．（2020•青岛）如图，Rt△ABC，∠B=90°

，∠C=30°

，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以

OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是　﹣π　．

【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案．

∵∠B=90°

∴∠A=60°

∵OA=OF，

∴△AOF是等边三角形，

∴∠COF=120°

∵OA=2，

∴扇形OGF的面积为：

=

∵OA为半径的圆与CB相切于点E，

∴∠OEC=90°

∴OC=2OE=4，

∴AC=OC+OA=6，

∴AB=AC=3，

∴由勾股定理可知：

BC=3

∴△ABC的面积为：

×

3×

3=

∵△OAF的面积为：

2×

=，

∴阴影部分面积为：

﹣﹣π=﹣π

﹣π

24．（2020•广东）如图，矩形ABCD中，BC=4，CD=2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为　π　．（结果保留π）

【分析】连接OE，如图，利用切线的性质得OD=2，OE⊥BC，易得四边形OECD为正方形，先利用扇形面积公式，利用S正方形OECD﹣S扇形EOD计算由弧DE、线段EC、CD所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积．

连接OE，如图，

∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，

∴OD=2，OE⊥BC，

易得四边形OECD为正方形，

∴由弧DE、线段EC、CD所围成的面积=S正方形OECD﹣S扇形EOD=22﹣=4﹣π，

∴阴影部分的面积=×

4﹣（4﹣π）=π．

故答案为π．

25．（2020•南京）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C

旋转，使所得矩形A′B′C′D′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点

F，则CF的长为　4　．

【分析】连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′=∠B′CD′=90°

、AB=CD=5、BC=B′C=4，从而得出四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形且OE=OD=OC=2.5，继而求得CG=B′E=OH===2，根据垂径定理可得CF的长．

连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，

则∠OEB′=∠OHB′=90°

∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，

∴∠B′=∠B′CD′=90°

，AB=CD=5、BC=B′C=4，

∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE=OD=OC=2.5，

∴B′H=OE=2.5，

∴CH=B′C﹣B′H=1.5，

∴CG=B′E=OH===2，

∵四边形EB′CG是矩形，

∴∠OGC=90°

，即OG⊥CD′，

∴CF=2CG=4，

4．

三．解答题（共25小题）

26．（2020•柯桥区模拟）如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．

（1）求证：

CB平分∠ACE；

（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．

【分析】

（1）证明：

如图1，连接OB，由AB是⊙0的切线，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1=∠3，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，通过等量代换得到结果．

（2）如图2，连接BD通过△DBC∽△CBE，得到比例式，列方程可得结果．

【解答】

如图1，连接OB，

∵AB是⊙0的切线，

∴OB⊥AB，

∵CE丄AB，

∴OB∥CE，

∴∠1=∠3，

∵OB=OC，

∴∠1=∠2

∴∠2=∠3，

∴CB平分∠ACE；

（2）如图2，连接BD，

∴∠E=90°

∴BC===5，

∴∠DBC=90°

∴∠E=∠DBC，

∴△DBC∽△CBE，

∴，

∴BC2=CD•CE，

∴CD==，

∴OC==，

∴⊙O的半径=．

27．（2020•天津）已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°

（I）如图①，若D为的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；

（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．

（Ⅰ）根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得∠ABC和∠ABD的大小；

（Ⅱ）根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得∠OCD的大小．

（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°

∴∠ACB=90°

∴∠ABC=∠ACB﹣∠BAC=90°

﹣38°

=52°

∵D为的中点，∠AOB=180°

∴∠AOD=90°

∴∠ACD=45°

（Ⅱ）连接OD，

∵DP切⊙O于点D，

∴OD⊥DP，即∠ODP=90°

由DP∥AC，又∠BAC=38°

∴∠P=∠BAC=38°

∵∠AOD是△ODP的一个外角，

∴∠AOD=∠P+∠ODP=128°

∴∠ACD=64°

∵OC=OA，∠BAC=38°

∴∠OCA=∠BAC=38°

∴∠OCD=∠ACD﹣∠OCA=64°

=26°

28．（2020•荆门）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于F，FM⊥AB于H，分别交⊙O、AC于M、N，连接MB，BC．

AC平分∠DAE；

（2）若cosM=，BE=1，①求⊙O的半径；

②求FN的长．

（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥DE，则判断OC∥AD得到∠1=∠3，加上∠2=∠3，从而得到∠1=∠2；

（2）①利用圆周角定理和垂径定理得到=，则∠COE=∠FAB，所以∠FAB=∠M=∠COE，设⊙O的半径为r，然后在Rt△OCE中利用余弦的定义得到=，从而解方程求出r即可；

②连接BF，如图，先在Rt△AFB中利用余弦定义计算出AF=，再计算出OC=3，接着证明△AFN∽△AEC，然后利用相似比可计算出FN的长．

连接OC，如图，

∵直线DE与⊙O相切于点C，

∴OC⊥DE，

又∵AD⊥DE，

∴OC∥AD．

∴∠1=∠3

∵OA=OC，

∴∠1=∠2，

∴AC平方∠DAE；

（2）解：

①∵AB为直径，

∴∠AFB=90°

而DE⊥AD，

∴BF∥DE，

∴OC⊥BF，

∴∠COE=∠FAB，

而∠FAB=∠M，

∴∠COE=∠M，

设⊙O的半径为r，

在Rt△OCE中，cos∠COE==，即=，解得r=4，

即⊙O的半径为4；

②连接BF，如图，

在Rt△AFB中，cos∠FAB=，

∴AF=8×

=

在Rt△OCE中，OE=5，OC=4，

∴CE=3，

∵AB⊥FM，

∴∠5=∠4，

∵FB∥DE，

∴∠5=∠E=∠4，

∵=，

∴△AFN∽△AEC，

∴=，即=，

∴FN=．

29．（2020•随州）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．

MD=MC；

（2）若⊙O的半径为5，AC=4