锐角三角函数概述.docx

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锐角三角函数概述

锐角三角函数

知识网络结构图

专题总结及应用

一、知识性专题

专题1：

锐角三角函数的定义

【专题解读】锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主．

例1如图28－123所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是（）

A．sinA＝B．tanA＝

C．cosB＝D．tanB＝

专题2特殊角的三角函数值

【专题解读】要熟记特殊角的三角函数值．

例4计算|－3|＋2cos45°－（－1）0．

例5计算－＋＋（－1）2007－cos60°．

例6计算|－|＋（cos60°－tan30°）0＋．

例7计算－（π－3.14）0－|1－tan60°|－.

专题3锐角三角函数与相关知识的综合运用

【专题解读】锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查综合运用知识解决问题的能力.

例8如图28－124所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，E为AC边的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝．

（1）求线段DC的长；

（2）求tan∠EDC的值.

例9如图28－125所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC.

（1）求证AC＝BD；

（2）若sinC＝，BC＝12，求AD的长．

例10如图28－126所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝30＋30，求AB的长．

专题4用锐角三角函数解决实际问题

【专题解读】加强数学与实际生活的联系，提高数学的应用意识，培养应用数学的能力是当今数学改革的方向，围绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑测量问题、高度测量问题等，解决各类应用问题时要注意把握各类图形的特征及解法．

例11如图28－127所示，小山上有一棵树，现有一测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚的水平地面上测出小树顶端A到水平地面上的距离AB．

（1）画出测量示意图；

（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；

（3）根据

（2）中的数据计算AB．

例12如图28－129所示，一条小船从港口A出发，沿北偏东40°方向航行20海里后到达B处，然后又沿北偏西30°方向航行10海里后到达C处，则此时小船距港口A多少海里?

（结果保留整数，提示：

sin40°≈0.6428，cos40°≈0.7660，tan40°≈0．8391，≈1.732）

例13如图28－131所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得∠CAD＝45°，又在距A处60米远的B处测得∠CBA＝30°，请你根据这些数据算出河宽是多少?

（结果保留小数点后两位）

例14如图28－132所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边（岸边可以看成是直线）向前跑到C点再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米/秒．若∠BAD＝45°，∠BCD＝60°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B．（参考数据≈1.4，≈1.7）

例15如图28－133所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在它的北偏东60°方向上，该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若货船继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险?

试说明理由．

例16如图28－134所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距8米的A，B两处测得D点和C点的仰角分别为45°和60°，且A，B，F三点在一条直线上，若BE＝15米，求这块广告牌的高度．（≈1.73，结果保留整数）

例17如图28－135所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD＝2.5m，坝高4m，背水坡的坡度是1：

1，迎水坡的坡度是1：

1.5，求坝底宽BC.

例18如图28－136所示，山顶建有一座铁塔，塔高CD＝30m，某人在点A处测得塔底C的仰角为20°，塔顶D的仰角为23°，求此人距CD的水平距离AB．（参考数据：

sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364，sin23°≈0.391，cos23°≈0.921，tan23°≈0.424）

二、规律方法专题

专题5公式法

【专题解读】本章的公式很多，熟练掌握公式是解决问题的关键．

例19当0°＜α＜90°时，求的值．

三、思想方法专题

专题6类比思想

【专题解读】求方程中未知数的过程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的过程叫做解直角三角形，因此对解直角三角形的概念的理解可类比解方程的概念．我们可以像解方程（组）一样求直角三角形中的未知元素．

例20在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，解这个直角三角形．

例21如图28－137所示，已知∠α的终边OP⊥AB，直线AB的方程为y＝－x＋，则cosα等于（）

A．B．

C．D．

专题8分类讨论思想

【专题解读】当结果不能确定，且有多种情况时，对每一种可能的情况都要进行讨论．

例22一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向上还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30km，B，C间的距离是60km．要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，求交叉口P与加油站A的距离．（结果可保留根号）

专题9转化思想

【专题解读】本章中的转化思想主要应用在把直角三角形的线段比转化为三角函数值、把实际问题转化为数学问题、把斜三角形问题转化为直角三角形问题等．

例23如图28－139所示，某校教学楼的后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，BC∥AD，斜坡AB的长为22m，坡角∠BAD＝68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．

（1）求改造前坡顶与地面的距离；

（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC改到F点处，则BF至少是多少米?

（结果保留小数点后一位，参考数据：

sin68°≈0.9272，cos68°≈0.3746，tan68°≈2.4751，sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918）

例24如图28－140所示，A，B两城市相距100km．现计划在这两座城市中间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区．为什么?

（参考数据：

≈1.732，≈1.414）

例25小鹃学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：

“如图28－141所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上．已知α＝36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（结果保留整数；参考数据：

sin36°≈0．6，cos36°≈0．8，tan36°≈0.7）

例26如图28－142所示，某居民楼I高20米，窗户朝南．该楼内一楼住户的窗台离地面距离CM为2米，窗户CD高1．8米．现计划在I楼的正南方距1楼30米处新建一居民楼Ⅱ．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I楼所有住户的采光，新建Ⅱ楼最高只能盖多少米?

中考真题精选

一、选择题

1.如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.

2.如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（　　）

A．B．C．D．

3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=，BC=2，则sin∠ACD的值为（　　）

A．B．C．D．

4.在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=．则下列关系式中不成立的是（　　）

A．tanA•cotA=1B．sinA=tanA•cosAC．cosA=cotA•sinAD．tan2A+cot2A=1

5.在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则cosB=（）

A．B．C．D．

6.sin45°的值等于（　　）

A.B.C.D.1

7.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2，则tan∠CAD的值是（　　）

A、2B、C、D、

8.如果△ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是（）

A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形

C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是锐角三角形

9.如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（　　）

A、B、

C、D、

10.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为（）

A．B．C．D．

11点M（－sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（）

A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）

12.如图，已知：

45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（　　）

A、sinA=cosAB、sinA＞cosA

C、sinA＞tanAD、sinA＜cosA

13.如图是教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=，则边BC的长为（　　）

A、30cmB、20cmC、10cmD、5cm

14.若∠α的余角是30°，则cosα的值是（　　）

A、B、C、D、

【相关链接】特殊角三角函数值：

sin30°=，cos30°=，tan30°=，cot30°=；

sin45°=，cos45°=，tan45°=1，cot45°=1；

sin60°=，cos60°=，tan60°=，cot60°=．

互余角的性质：

两角互余其和等于90度．

15.若∠α的余角是30°，则cosα的值是（　　）

A．B．C．D．

16.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3,AC=4，

则sinA的值为（）．

A．B．

C．D．

17.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则∠A的余弦值是

A.B.C.D.

18.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（　　）

A．2B．C．D．

19.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA的值是（　　）A、B、C、D、

20．如图，在矩形ABCD