大学物理第一章答案.docx
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大学物理第一章答案
1.5一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：
θ=2+4t3．求：
（1）t=2s时，它的法向加速度和切向加速度；
（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？
（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？
[解答]
（1）角速度为
ω=dθ/dt=12t2=48（rad·s-1），
法向加速度为
an=rω2=230.4（m·s-2）；
角加速度为
β=dω/dt=24t=48（rad·s-2），
切向加速度为
at=rβ=4.8（m·s-2）．
（2）总加速度为a=（at2+an2）1/2，
当at=a/2时，有4at2=at2+an2，即
．
由此得，
即，
解得．
所以
=3.154（rad）．
（3）当at=an时，可得rβ=rω2，
即24t=（12t2）2，
解得t=（1/6）1/3=0.55（s）．
1.7一个半径为R=1.0m的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体A．在重力作用下，物体A从静止开始匀加速地下降，在Δt=2.0s内下降的距离h=0.4m．求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度．
[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度．
由于，所以
at=2h/Δt2=0.2（m·s-2）．
物体下降3s末的速度为
v=att=0.6（m·s-1），
这也是边缘的线速度，因此法向加速度为
=0.36（m·s-2）．
1.8一升降机以加速度1.22m·s-2上升，当上升速度为2.44m·s-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m．计算：
（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；
（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．
[解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为
；
螺帽做竖直上抛运动，位移为
．
由题意得h=h1-h2，所以
，
解得时间为
=0.705（s）．
算得h2=-0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m．
[注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a+g，而初速度为零，可列方程
h=（a+g）t2/2，
由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离．
第一章质点运动学
1.1一质点沿直线运动，运动方程为x（t）=6t2-2t3．试求：
（1）第2s内的位移和平均速度；
（2）1s末及2s末的瞬时速度，第2s内的路程；
（3）1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度．
[解答]
（1）质点在第1s末的位移大小为
x
（1）=6×12-2×13=4（m）．
在第2s末的位移大小为
x
（2）=6×22-2×23=8（m）．
在第2s内的位移大小为
Δx=x
（2）–x
（1）=4（m），
经过的时间为Δt=1s，所以平均速度大小为
=Δx/Δt=4（m·s-1）．
（2）质点的瞬时速度大小为
v（t）=dx/dt=12t-6t2，
因此v
（1）=12×1-6×12=6（m·s-1），
v
（2）=12×2-6×22=0，
质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即Δs=Δx=4m．
（3）质点的瞬时加速度大小为
a（t）=dv/dt=12-12t，
因此1s末的瞬时加速度为
a
（1）=12-12×1=0，
第2s内的平均加速度为
=[v
（2）-v
（1）]/Δt=[0–6]/1=-6（m·s-2）．
[注意]第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．
1.2一质点作匀加速直线运动，在t=10s内走过路程s=30m，而其速度增为n=5倍．试证加速度为．
并由上述数据求出量值．
[证明]依题意得vt=nvo，
根据速度公式vt=vo+at，得
a=（n–1）vo/t，
（1）
根据速度与位移的关系式vt2=vo2+2as，得
a=（n2–1）vo2/2s，
（2）
（1）平方之后除以
（2）式证得
．
计算得加速度为
=0.4（m·s-2）．
1.3一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22.5°的夹角的初速度65m·s-1从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低70m，忽略空气阻力，且取g=10m·s-2．问：
（1）矿坑有多宽？
他飞越的时间多长？
（2）他在东边落地时的速度？
速度与水平面的夹角？
[解答]方法一：
分步法．
（1）夹角用θ表示，人和车（他）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为
vy0=v0sinθ=24.87（m·s-1）．
取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式
vt-v0=at，
这里的v0就是vy0，a=-g；当他达到最高点时，vt=0，所以上升到最高点的时间为
t1=vy0/g=2.49（s）．
再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式
vt2-v02=2as，
可得上升的最大高度为
h1=vy02/2g=30.94（m）．
他从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为
h2=h1+h=100.94（m）．
根据自由落体运动公式s=gt2/2，得下落的时间为
=4.49（s）．
因此他飞越的时间为
t=t1+t2=6.98（s）．
他飞越的水平速度为
vx0=v0cosθ=60.05（m·s-1），
所以矿坑的宽度为
x=vx0t=419.19（m）．
（2）根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为
vy=gt=69.8（m·s-1），
落地速度为
v=（vx2+vy2）1/2=92.08（m·s-1），
与水平方向的夹角为
φ=arctan（vy/vx）=49.30?
，
方向斜向下．
方法二：
一步法．取向上的方向为正，他在竖直方向的位移为y=vy0t-gt2/2，移项得时间的一元二次方程
，
解得
．
这里y=-70m，根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为
t=6.98（s）．
由此可以求解其他问题．
1.4一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即dv/dt=-kv2，k为常数．
（1）试证在关闭发动机后，船在t时刻的速度大小为；
（2）试证在时间t内，船行驶的距离为．
[证明]
（1）分离变量得，
积分，
可得．
（2）公式可化为，
由于v=dx/dt，所以
积分．
因此．证毕．
[讨论]当力是速度的函数时，即f=f（v），根据牛顿第二定律得f=ma．
由于a=d2x/dt2，
而dx/dt=v，
所以a=dv/dt，
分离变量得方程
，
解方程即可求解．
在本题中，k已经包括了质点的质量．如果阻力与速度反向、大小与船速的n次方成正比，则
dv/dt=-kvn．
（1）如果n=1，则得
，
积分得
lnv=-kt+C．
当t=0时，v=v0，所以C=lnv0，因此
lnv/v0=-kt，
得速度为
v=v0e-kt．
而dv=v0e-ktdt，积分得
．
当t=0时，x=0，所以C`=v0/k，因此
．
（2）如果n≠1，则得，积分得
．
当t=0时，v=v0，所以，因此
．
如果n=2，就是本题的结果．
如果n≠2，可得
，
读者不妨自证．
1.5一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：
θ=2+4t3．求：
（1）t=2s时，它的法向加速度和切向加速度；
（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？
（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？
[解答]
（1）角速度为
ω=dθ/dt=12t2=48（rad·s-1），
法向加速度为
an=rω2=230.4（m·s-2）；
角加速度为
β=dω/dt=24t=48（rad·s-2），
切向加速度为
at=rβ=4.8（m·s-2）．
（2）总加速度为a=（at2+an2）1/2，
当at=a/2时，有4at2=at2+an2，即
．
由此得，
即，
解得．
所以
=3.154（rad）．
（3）当at=an时，可得rβ=rω2，
即24t=（12t2）2，
解得t=（1/6）1/3=0.55（s）．
1.6一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v=300m·s-1，方向与水平线夹角为30°而斜向下，此后飞机的加速度为a=20m·s-2，方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？
在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？
[解答]建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为
v0x=v0cosθ，
v0y=v0sinθ．
加速度的大小为
ax=acosα，
ay=asinα．
运动方程为
，
．
即，
．
令y=0，解得飞机回到原来高度时的时间为
t=0（舍去）；（s）．
将t代入x的方程求得x=9000m．
[注意]选择不同的坐标系，例如x方向沿着a的方向或者沿着v0的方向，也能求出相同的结果．
1.7一个半径为R=1.0m的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体A．在重力作用下，物体A从静止开始匀加速地下降，在Δt=2.0s内下降的距离h=0.4m．求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度．
[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度．
由于，所以
at=2h/Δt2=0.2（m·s-2）．
物体下降3s末的速度为
v=att=0.6（m·s-1），
这也是边缘的线速度，因此法向加速度为
=0.36（m·s-2）．
1.8一升降机以加速度1.22m·s-2上升，当上升速度为2.44m·s-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m．计算：
（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；
（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．
[解答
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