第一章 回顾与思考 教案 2北师大版九年级上docWord文件下载.docx

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[生]我认为折叠后重合部分是等腰三角形．

[师]你能说一下理由吗?

[生]根据题意，可知△BED≌BCD（两个互相重合的图形是全等形）．

∴∠FBD＝∠CBD（全等三角形的对应角相等）．

又∵在矩形ABCD中，AD//BC，

∴∠FDB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）．

∴∠FBD＝∠FDB．

∴FB＝FD（等角对等边），

即△BFD（重合部分）是等腰三角形．

[师]很好!

我们发现用这一章所学的知识可以解释很多问题，接下来我们再来看一些题目．

Ⅱ．借助“练习”平台，复习巩固所学知识

[师]我们曾证过命题：

等腰三角形两底角的平分线相等，随后我们将此问题由特殊结论归纳为一般结论，即在△ABC中，如果AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，D、E分别为AC、AB上的点，那么BD＝CE．你能把这个命题改造一下，得到一个新命题吗?

请同学们在小组内讨论交流.

[生]新命题：

在△ABC中，如果∠ABD＝∠ACE，D、E分别是AC、AB上的点且BD＝CE，那么AB=AC．

[师]它是真命题还是假命题呢?

[生]是一个真命题．

[师]你能简单地说明推理过程吗?

[生]如图，在△ABD和△ACE中，

∵∠ABD=∠ACE，

∠A=∠A，BD＝CE，

∴△ABD≌△ACE

（AAS）．

∴AB=AC（全等三角形对应边相等）．

在△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，且D、E分别是AC、AB上的点，那么∠ABD=∠ACE．

[师）它是真命题还是假命题呢?

[生]是真命题．

如图，在△ABD和△ACE中，

AB=AC，BD＝CE，∠A=∠A，

∴△ABD≌△ACE（SSA）．

∴∠ABD＝∠ACE（全等三角形对应角相等）.

[生]这个同学推理有错误，因为有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，我认为上面的命题是假命题，以B为圆心，BD长为半，则B径作弧交AC于F点F＝BD．又∵BD=CE，∴BF＝CE，但∠BFA≠∠ACE．

[师]这位同学能抓住问题的关键去认真思考，得出了正确的结论，祝贺你!

这个命题确实是假命题，还能找到新命题吗?

[生]没有啦．

[师]我们可以把上面的问题归结成一个题目：

在△ABC中，有①AB＝AC，②∠ABD=∠ACD，③BD＝CE，如果由其中两个推出另一个，你可以得到几个命题，有哪些是真命题?

有哪些是假命题?

你还能提出类似的问题吗?

[生]我们类似地证明过：

等腰三角形两条腰上的中线相等，将此命题由特殊推广到一般情况，就得到了：

△ABC中，AB=AC，AD＝AF，那么BD＝CE．由此得到一个题目：

在△ABC中，有①AB＝AC，②AD=AE，③BD＝CE（D、E分别在AC、AB上）如果由其中两个推出另一个，你可以得到几个命题，有哪些是真命题?

[师]真不错!

下面就请同学们讨论

解答．

[生]可得到三个命题：

1．在△ABC中，①AB＝AC，②AD＝AE，那么③BD＝CE．

2．在△ABC中，②AD＝AE，③BD＝CE，那么①AB＝AC．

3．在△ABC中，①AB=AC，③BD＝CE，那么②AD=AE.

其中第1个是真命题，第2、3个是假命题．

[师]你能说明理由吗?

[生]可以，如图△ABC，

我们先来看第1个命题：

在△ABD和△ACE中

∵AB＝AC，∠A=∠A，

AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．

∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．

对于第2个命题，可以这样推理：

在△BAD和△CAE

中，BD=CE，AE＝AD，

但△BAD和△CAE不全

等，因此AB≠AC．

第3个命题也是假命题，由前面的推理可知．

（上面两个题目都是开放性题目，对于培养大学生的逻辑推理能力和创新、反思的意识是一个很好的途径，可以引导学生提出更多的问题）

[师]下面我们再来看几个题目：

多媒体演示，

[例1]已知：

如图，BD、

CE是△ABC的高，且BD＝CE，

求证：

△ABC是等腰三角形．

分析：

要证AB＝AC，可用三角形全等，也可以用“等角对等边”．

证法一：

在△ABD和△ACE中，

∵∠AEC＝∠ADB=90°

，

又∵BD＝CE，∠A＝∠A，

∴Rt△ABD≌Rt△ACE（AAS）

∴AB＝AC（全等三角形的对应边相等）．

证法二：

在Rt△BDC和Rt△CEB中，

∵BD＝CE，BC＝BC，

∴Rt△BDC≌Rt△CEB（HL定理）．

∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）．

∴AB＝AC（等角对等边），

即△ABC是等腰三角形．

[例2]（2003年青海）已

知：

如图，CE⊥AB于点E，

BD⊥AC于点D，BD、CE交

于点O；

且AO平分∠BAC

OB＝OC．

证明OB＝OC，可用全等三角形来证明；

如△ABO≌△ACO或△BEO≌△COD．

∵AO平分∠BAC，BD⊥AC，CE⊥AB，

∴OE＝OD（角平分线上的点到角两边的距离相等）．

在Rt△BEO和Rt△COD中，

∵∠1＝∠2，OD＝OE．

∴Rt△BEO≌Rt△COD（ASA）．

∴OB＝OC（全等三角形的对应边相等）．

∵AO平分∠BAC，

∴BAO＝∠CAO．

在Rt△AEO和Rt△ADO中，∠3＝∠4（等角的余角相等）．

又∵∠1＝∠2，

∴∠AOB＝∠AOC．

又∵AO＝AO，∠BAO＝∠CAO，

∴△AOB≌△AOC（ASA）．

∴OB=OC（全等三角形的对应边相等）．

[例3]（2003年上海）在△ABC中，∠A:

∠B:

∠C＝1:

2:

3，CD⊥AB于点D,若BC＝a，求AD的长．

根据题意可先由∠A:

∠C＝1：

2：

3来判断△ABC的形状．

解：

∵∠A:

3

可设∠A＝x，∠B＝2x，∠C=3x，则

x+2x+3x＝180°

∵x＝30°

则∠A＝30°

，∠B=60°

，∠C＝90°

（如图）．

在Rt△ABC中，∠A＝30°

，BC＝a．

∴AB＝2a（在直角三角形中，30°

角所对的边等于斜边的一半）．

在Rt△BCD中，∠B=60°

．

∴∠DCB＝30°

∴BD=

BC＝

a（在直角三角形中30°

∴AD=AB-BD＝2a-

a＝

a．

[例4]（2003年广东广州）

如图，∠E＝∠F＝90°

，∠B

＝∠C，AE＝AF，给出下列结

论：

①∠1＝∠2，②BE＝CF；

③△ACN≌△ABM；

④CD＝DN．其中正确的结论是.

解析：

应填写①②③．

理由：

∵∠E＝∠F＝90°

，∠B＝∠C，AE＝AF.

∴Rt△AEB≌Rt△AFC（AAS）．

∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）．

∴①正确．

∴BE＝CF（全等三角形的对应边相等）．

∴②正确．

∴AC＝AB（全等三角形对应边相等）．

又∴∠B＝∠C，∠CAN=∠BAM，

∴△ACN≌△ABM（ASA）．

∴③正确．

而结论④无法推出是错误结论．

[例5]已知线段a，求作以a

为底，以20为高的等腰三角形．

作法：

（1）作线段AB=a;

（2）作线段AB的垂直平分线l，交AB于点D：

（3）在l上作线段DC，使DC＝2a，

（4）连结AB、AC；

ABC就是所求的等腰三角形（如图所示）．

[例6]如图，已知∠AOB，B为OB边上一点，求作一点P，使P到OA、OB的距离相等，并且OP=PB．

由于OP=PB，根据“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知点P在线段OB的垂直平分线上，而点P又到OA、OB的距离相等，根据“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”，可知点P在∠AOB的平分线上，即P为OB的垂直平分线与∠AOB的角平分线的交点．

（1）作线段OB的垂直平分线l

（2）作∠AOB的角平分线OC交l于点P.

则点P为所求点．

Ⅲ．随堂练习

（多媒体演示）

已知：

如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD

求证：

DB=DE．

证明：

∵△ABC是等边三角形．

∴∠A＝∠ABC＝∠ACB=60°

（等边三角形的三个内角相等，且都等于60°

）．

又∵BD是中线，

∴BD平分∠ABC（“三线合一”）．

∴∠DBE＝30°

∴∠DCE＝120°

又∵DC＝CE，

∴∠E＝30°

∴∠DBE＝∠E=30°

∴DB＝DE（等角对等边）．

思考：

如果把BD改为△ABC的角平分线或高，能否得出同样结论?

Ⅳ．课时小结

这节课我们安排了有关等腰三角形、直角三角形的一些例题、练习题，目的在于复习、巩固本章所学的知识，提高同学们的逻辑推理能力和数学符号语言的表达能力．

Ⅴ．课后作业

复习题B组

Ⅵ．活动与探究

（2003年上海）将两块三角

板如图放置，其中∠C＝∠EDB

＝90°

，∠A＝45°

，∠E＝30°

AB＝DE=6，求重叠部分四边形DBCF

的面积．

[过程]四边形DBCF是不规则的四边形，求它的面积需转化为比较规则的图形面积的和或差，观察图形，不难发现S重叠部分四边形DBCF＝S△ABC-S△AFD．因此只需求S△ABC和S△AFD的大小即可．

[结果]S△ABC＝

×

6×

3＝9，

在Rt△DEB中，DE=6，∠E＝30°

设DB＝x，则BE=2x，

∴（2x）2＝x+36，

3x2=36，

x2＝12，

x=2

即DB＝2

∴AD＝6-2

在Rt△AFD中，∠A＝45°

∴△AFD是等腰直角三角形．

∴．SAFD=

（6-2

）2-24-12

.

∴．S重叠部分四边形DBCF＝9-（24-12

）=12

-15．

板书设计

回顾与思考

（二）

一、提出问题——关于折叠

二、探究课本中的命题，使课本中命题得到

进一步的扩展和引申

1．已知△ABC中，①AB＝AC，

②∠ABD＝∠ACE③BD＝CE，由其中任意两个条件可推出另一个，你可以得到几个新命题，并判断它们的真假．

2．已知△ABC中，①AB＝AC，②AD＝AE，③BD＝CE，由其中任意两个条件可推出另一个，你可以得到几个新命题，并判断它们的真假．

三、例题（略）

四、练习（图）

备课资料

本章检测题

一、填空题

1．（2003年福建福州）等腰三角形的一个底角是80°

，那么顶角是度.

答案：

20°

2．如图，CD平分

∠ACD，AE//DC交BC

的延长线于点E，若

∠ACE＝80°

，则∠CAE

＝度．

50°

3．（2003年新疆）如图，点F、C在线段BE上，且∠1＝∠2，BC＝EF，若要使△ABC≌

△DEF，则还需补充的一个条件是.

AC＝DF或∠A＝∠D或∠B＝∠E等

4．等腰三角形的两条边长为6和7，那么这个三角形的周长为.

19或20

5．如图，在△ABC中，

AB＝AC，∠C＝80°

，MN是

AB的垂直平分线，那么∠NBC

=.

60°

6．如果△ABC的三边长a，b，c满足（a+2b-60）2+｜b-18｜+｜c-30｜＝0，则△ABC

是.

直角三角形

7．正三角形的边长是acm，则它的高等于.

a

8．若在△ABC中，AB＝5cm，BC＝6cm，BC边上的中线AD＝4cm，则∠ADC的度数是度．

90°

二、选择题

9．（2003年福建厦门）在△ABC中，I是三条角平分线的交点，∠BIC=130°

，则∠A的度数是（）

A．40°

B．50°

C．65°

D．80°

D

10．如图，D在AB

上，E在AC上，且∠B

＝∠C，那么补充下列

一个条件后，仍无法判

定△ABE≌△ACD的

是（）

A．AD＝AE

B．∠AEB＝∠ADC

C．BE＝CD

D．AB＝AC

B

11．（2003年山东

烟台）如图，△ABC中，

AD⊥BC于D，BE⊥AC于

E，AD交BE于F，若BF

＝AC，那么∠ABC的大小

B.45°

C．50°

D．60°

12．已知直角三角形中，30°

角所对的直角边长是2厘米，则斜边长是（）

A．2厘米B．4厘米

C.6厘米D．8厘米

13．如图，点C是

∠MON平分线上一点，CA

⊥ON，CB⊥OM，点A、B分

别为垂足，AB与OC相交于

点D，则下列关系成立的个

数是（）

①∠CAB＝∠CBA②AD=DB③∠AOB＝2∠CBD④OC垂直平分AB于点D⑤四边形OACB的面积等于

OC·

AB

A．1B．2C.3D．4

14．△ABC中，∠C＝90°

，∠A＝30°

，BD是角平分线且交AC于D点，若BD＝2，则

AB的长是（）

A．4B．

C．2

D．2

C

三、解答题

15．如图，在四边形ABCD中，AC＝2，CD＝1，∠A＝60°

，∠B=∠D＝90°

，求四边形ABCD的面积．

16．如图，在△ABC中，∠A＝90°

，AE为BC边上的中线，AH⊥BC于H，且∠1＝∠2＝∠3，BC＝6cm，求AB的长．

过点E作EF⊥AC于F，可求得AB＝3cm．

四、证明题

17．在△ABC中，∠A=2∠B，AB=2AC．

∠ACB＝90°

作∠A的平分线AD，过点D作DE⊥AB于E．

18．已知：

如图，△ABC中，∠A＝100°

，AB＝AC，CD为∠C的平分线，求证：

BC＝DC+AD．

方法一（补短法）：

延长CD到F，使DF＝AD，连结FB

方法二（补长法）：

在CB上截取CF＝CD，连结DF．