平衡问题探骊Word文件下载.docx

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Ｃ′Ｍ′ｃｏｓ（α－β）＋ＮＭ（α－β/２）＞ＣＭ，

在微扰的情况下，α、β都是小量，故有如下很好的近似

Ｒｃｏｓ（α－β）＋ｒβ（α－β/２）＞Ｒ，

即ｒβ（α－β/２）＞Ｒ［１－ｃｏｓ（α－β）］＝２Ｒｓｉｎ2（α－β/２）．

利用小角度的情况下，ｓｉｎα≈α，ｓｉｎβ≈β，且注意到ｒβ＝ｂα，则有

ｒβ（α－β/２）＞２Ｒ（（α－β）/２）2，整理得ｒ＜（ｂＲ/Ｒ－ｂ）．

由题给条件知Ｒ＞ｌ－ａ，故有

ｒ＜（ｂＲ/Ｒ－ｂ）＝（ｂ/１－（ｂ/Ｒ））＜（ｂ/１－（ｂ/ｌ－ａ））＝ｂ（ｌ－ａ）/（ｌ－ａ－ｂ）．

这就是说，碗的球半径尺寸不能太大，应满足条件为ｒ＜ｂ（ｌ－ａ）/（ｌ－ａ－ｂ）．

解法二考察质心位置侧移量

欲满足蛋保持稳定平衡的条件，重力对支持点N的力矩应可使蛋返回原处，故应有

Ｃ′Ｍ′ｓｉｎ（α－β）＜ＭＮ，

即R（α－β）＜ｒβ．

将Ｒ＞ｌ－ａ，ｒβ＝ｂα代入上式整理即得

ｒ＜（ｂ（ｌ－ａ）/ｌ－ａ－ｂ）．

例2如图3-３所示，杆长ｌ＝ａ＋ｂ，质心在Ｃ点，杆的Ａ、Ｂ两端分别支于互相垂直的两个光滑斜面上而处于平衡．试问在图示位置时，此杆的平衡是稳定平衡、随遇平衡还是不稳定平衡?

并证明之．

图3-3

分析与解杆AB受两斜面支持力及重力这三个不共点的力作用，我们常称之为“三力杆”．非平行力作用下的“三力杆”要处于平衡，三力作用线必汇交，在图3-３中，三力交汇点O与杆AB的质心C连线是竖直的．我们来研究一下杆平衡时的几何位置有什么特点：

设右斜面与水平成α角，杆与右斜面成φ0角，在图3-３的△ＢＯＣ中，根据正弦定理有（ｂ/sinα）＝（（ａ＋ｂ）sinφ0/sin（φ0＋９０°

－α）），由此式求得杆平衡时与右斜面夹角满足ｔａｎφ0＝（ｂｃｏｓα/ａsinα）．下面来证明这根“偏心杆”在此位置的平衡是不稳定平衡．

证法一考察质心位置高低．如图3-４所示，当杆与斜面夹角为φ时，质心C的高度以ｙ表示，则

ｙ＝（ａ＋ｂ）ｃｏｓφｓｉｎα－ｂｓｉｎ（α－φ）

＝ａｓｉｎαｃｏｓα＋ｂｃｏｓαｓｉｎφ

＝

cos[φ－arctan（ｂcosα/ａsinα）]．

即ｙ＝

ｃｏｓ（φ－φ0），显见，当φ＝φ0时，杆质心C的高度有最大值ｙ＝

，杆的位置稍有偏离，质心高度就降低，故属于不稳定平衡．

图3-4

证法二考察质心对杆的瞬时转动中心的侧移量．

如图3-5所示，当杆的两端沿斜面移动时，整根杆的转动中心也在变化．φ＝φ0时，O为杆的瞬时转动中心，重力作用线过O点，力矩为零；

当杆转过一小角度，φ＝φ1时，转动中心变成O′，质心位置为C′，比较O′和C′在x轴上投影坐标ｘ与ｘ′之大小，从而确定重力对O′的力矩对杆的作用效果．

图3-5

由图3-５所示关系得

ｘ＝（ａ＋ｂ）ｃｏｓ（φ1＋α）；

ｘ′＝αｃｏｓφ1ｃｏｓα－ｂｓｉｎφ1ｓｉｎα，

则ｘ－ｘ′＝ｂｃｏｓφ1ｃｏｓα－ａｓｉｎφ1ｓｉｎα

ｓｉｎ（φ0－φ1）．

因φ1＞φ0，故有ｘ小于ｘ′，即重力将对瞬时转动中心O′构成一负力矩，使杆继续顺时针转动而远离原平衡位置，可见，杆在两光滑斜面间如图3-３所示位置的平衡是不稳定平衡．

各种处于稳定平衡状态的物体，其稳定程度不同；

处于不稳定平衡状态的物体，也可以通过改变平衡条件使之达到稳定平衡状态，如问题1中的那个熟鸡蛋，以蛋尖端直立于水平面时是不稳定平衡，但置于尺寸合适的球形碗内就可以达到稳定平衡．在生产、生活中有许多实际问题，需要控制物体的平衡条件，提高物体的稳度，我们来例析一二．

例3如图3-６所示，课桌面与水平面夹角成α，在桌面上放一支正六棱柱形铅笔，欲使铅笔既不向下滚动、又不向下滑动．试求：

（1）在此情况下铅笔与桌面的静摩擦因数μ．

（2）铅笔的轴与斜面母线（斜面与水平面的交线）应成多大的角度φ放置？

图3-6

分析与解根据日常我们学习生活的经验，我们在倾斜桌面上放一枝六棱柱形铅笔，当笔杆垂直于斜面母线时，最不易滚下来而会先发生滑动．事实上，当放置在斜面上的铅笔恰能处于平衡时，必有ｍｇｓｉｎα＝ｆ＝μｍｇｃｏｓα，式中f为最大静摩擦力，ｍ为铅笔质量．则μ＝ｔａｎα，即静摩擦因数恰等于斜面倾角的正切值．若μ＞ｔａｎα，放置在斜面上的笔无论以怎样的φ角放置，总不会因发生滑动而破坏平衡．

但是，还有一个向下滚动的问题存在．就“稳度”而言，当φ角为某一临界值φ0时，重力作用线超出斜面对铅笔的支持面，则铅笔会在重力矩作用下离开原平衡位置而滚下来．现在来求这个φ0角．

如图3-７所示，阴影部分表示笔与桌接触面，正六边形表示笔的横截面，C为铅笔的质心，它在斜面上的投影为O，重力作用线从接触面A“擦边而过”．由图示几何关系可知：

ＯＣ＝ａｓｉｎ６０°

，ａ为正六边形边长，ＯＢ＝（ａ/２），∠ＡＣＯ＝α，∠ＢＯＡ＝φ0（注意：

ＯＡ垂直于母线，OB垂直于棱线），在临界状态下（ＯＢ/ｃｏｓφ0）＝ＯＣｔａｎα，故φ0＝ａｒｃｃｏｓ[（１/

）ｃｏｔα]．

图3－7

只要重力作用线落在阴影区内，即有

（ａ/２ｃｏｓφ）≥ａｓｉｎ６０°

ｔａｎα，

ｃｏｓφ≤（１/

）ｃｏｔα

笔就不会滚动，故放置笔时，应使铅笔的轴与斜面母线所成的角φ＞ａｒｃｃｏｓ[（１/

例4如图3-８所示，建造屋顶边缘时，用长度为Ｌ的长方形砖块，一块压着下面一块并伸出砖长的（1/8），如果不用水泥粘紧，则最多可以堆几层同样的砖刚好不翻倒?

这样的几层砖最多可使屋檐“飞”出多长?

图3-８

分析与解一块砖的重心就在（Ｌ/２）处，叠放一块砖后，由于伸出（Ｌ/８），两砖总长（９/８）Ｌ，共同重心在总长的一半处．设有ｎ块相同砖叠放，每块均伸出（Ｌ/８），则总长为Ｌ＋（ｎ－１）（Ｌ/８），而总重心在总长度的中间．要使飞檐平衡，ｎ块砖所受总重力作用线不能超出墙壁的支面，即

（Ｌ/２）［Ｌ＋（ｎ－１）（Ｌ/８）］≤（7/８）Ｌ，故ｎ≤７．

图3-９

如图3-９所示，最上面第1块砖要处于平衡而不翻倒，它的重力作用线不能超出其下第2块砖的边线，所以第1块砖能伸出的最大长度为（Ｌ/２）；

第1块砖和第2块砖合在一起总长度为（３Ｌ/２），重心在中间，即距第2块砖边线（Ｌ/４），第2块砖放在第3块砖上时最多伸出（Ｌ/４）．现在来看三块砖的重心位置：

设三块砖重心C3距第3块砖边缘ｘ，由力矩平衡关系知2Ｇｘ＝Ｇ（（Ｌ/２）－ｘ），解得ｘ＝（Ｌ/６），所以第3块砖只能比下一块砖边线伸出（Ｌ/６），不难递推，第ｎ块砖伸出量的通式是ｘn＝Ｌ/（２ｎ），那么七块砖均以最大量伸出，“七级飞檐”最多能飞出的长度为s＝（１＋（１/２）＋（１/３）＋…＋（１/７））（Ｌ/２）．

小试身手

１．如图3-１０所示，一矩形导电线圈可绕其中心轴O转动，它处于与轴垂直的匀强磁场中，在磁场的作用下，线框开始转动，最后静止的平面位置是图中的（）

图3-10

２．图3-１１中每一系统的两个球都用一跨过滑轮的线连接起来，问每一种情况各属哪种平衡?

图3-11

３．如图3-１２所示装置，它是由一个长L的木钉、从木钉上端向左右斜伸出两个下垂的、长为ｌ的细木杆，以及在木杆的末端装有质量同为ｍ的小球而组成．木钉及木杆的质量可忽略，木杆与木钉间夹角为α，此装置放在硬质木柱上，则ｌ、Ｌ、α间应当满足______________关系才能使木钉由垂直位置稍微偏斜后，此装置能以O点为支点摆动而不致倾倒．

图3-12

图3-13

４．如图3-13所示，长度为2Ｌ、粗细均匀的杆，一端靠在铅直的墙上，而另一端靠在不动的光滑面上．为了使杆即使没有摩擦仍能在任意位置处于平衡，试写出这个表面的横截线的函数表达式y（ｘ）（杆总是位于垂直于墙面的竖直平面内）．

５．如图3-１４所示，两个质量分别为ｍ1和ｍ2的小环能沿着一光滑的轻绳滑动．绳的两端固定于直杆的两端，杆与水平线成角度θ．在此杆上又套一轻小环，绳穿过轻环并使ｍ1、ｍ2在其两边．设环与直杆的接触是光滑的，当系统平衡时，直杆与轻环两边的绳夹角为φ．试证：

ｔａｎθ/ｔａｎφ＝（ｍ2－ｍ1）/（ｍ1＋ｍ2）．

图3-１４

图3-１５

６．一根质量为ｍ的均匀杆，长为L，处于竖直的位置，一端可绕固定的水平轴转动，如图3-１５所示．有两根水平弹簧，劲度系数相同，把杆的上端拴住，如图所示，问弹簧的劲度系数ｋ为何值时才能使杆处于稳定平衡?

７．如图3-１６所示，一块厚ｄ的木板位于半径为R的圆柱上，板的重心刚好在圆柱的轴上方．板与圆柱的摩擦因数为μ．试求板可以处于稳定平衡状态的条件．

图3-１6

图3-１7

８．用均匀材料制成的浮子，具有两个半径均为R的球冠围成的外形，像一粒豆子，如图3-１７所示．浮子的厚度ｈ＜２Ｒ，质量为ｍ1．沿浮子对称轴向浮子插入一细辐条，穿过整个厚度．辐条长ｌ＞ｈ，质量为ｍ2．当将浮子辐条向上地浸于水中时，浮子只有少部分没于水中．浮子的状态是稳定的吗?

９．如图3-１８所示，儿童玩具不倒翁高ｈ＝21cm，质量ｍ＝300ｇ，相对轴ＫＤ对称分布．不倒翁的下部是半径Ｒ＝６ｃｍ的半球面，如果不倒翁放在与水平面成角度α＝３０°

的粗糙面上，当它的轴KD与竖直方向倾角β＝４５°

，则处于稳定平衡状态．为了使它在水平面上失去稳定平衡，试问最少需在头顶K处加多少塑泥?

图3-１８

１０．有一长为0.2ｍ、截面积为2ｃｍ2的均匀细棒，密度为5×

102ｋｇ／ｍ3．

（1）在细棒下端钉上一小铁片（不计体积），让细棒竖立在水面，若细棒露出水面部分的长为０．０２ｍ，则小铁片质量为多少?

（2）不拿去浸在水中的小铁片，在上端要截去多少长度，恰好使上端与水面齐平?

（3）要使细棒竖在水面是稳定平衡，下端小铁片至少要多重?

１１．两个相同长方体处于如图3-１９所示位置．问当α角为多少时它们才可能平衡?

长方体与水平面间摩擦因数为μ，长方体长ｂ宽ａ．长方体间无摩擦．

图3-１９

图3-２０

１２．如图3-２０所示，在互相垂直的斜面上放置一匀质杆AB，设各接触面的摩擦角均为φ（μ＝ｔａｎφ），求平衡时杆ＡＢ与斜面ＡＯ交角θ的范围．已知斜面BO与水平面交角为α．

１３．4个半径均为R的光滑球静止于一个水平放置的半球形碗内．该4球球心恰在同一个水平面上，现将相同的第5个球放在前述4球之上，而此系统仍能维持平衡，求碗的半径为多少?

参考解答

１．Ｂ２．随遇平衡稳定平衡不稳定平衡

３．ｌｃｏｓα≥Ｌ

４．因为杆是随遇平衡，重心始终在ｘ轴上，上端点坐标为ｘ＝０，下端点坐标满足ｘ2＋（２ｙ）2＝（２Ｌ）2.

５．同一绳上张力处处相同设为ＦT，ｍ1、ｍ2受力且平衡如图答3-１所示，则ＦT＝（ｍ1ｇ）/[２ｓｉｎ（φ－θ）]＝（ｍ2ｇ）/[２ｓｉｎ（φ＋θ）]，

整理可得证．

图答3-１

６．要成稳定平衡，应令杆偏离平衡位置一小角度Δθ时，弹力矩大于重力矩，

即2ｋ（Ｌ·

Δθ）·

Ｌ≥ｍｇ（Ｌ/２）·

Δθ，

故ｋ＞（ｍｇ）/（４Ｌ）．

图答3-２

7.如图答３-２所示，板从原位置（ａ为板下沿）偏转一小角度α到毗邻位置（ａ′为板下沿），与圆柱面切点从M移至M′，

＝Ｒα，均匀板重心从Ｃ移至Ｃ′，稳定平衡条件是Ｃ′位置高于C，则有

Ｒｃｏｓα＋αRｓｉｎα＋（ｄ/２）ｃｏｓα＞Ｒ＋（ｄ/２），

α很小时，有ｓｉｎα≈α，得ｄ＜２Ｒ，且α＜ａｒｃｔａｎμ．

８．整体重心位置设为C，如图答3-３所示，ｌC＝（ｈ/２）＋ｍ2/（ｍ1＋ｍ2）（（1/２）－（ｈ/２）），偏转小角度Δθ，浮心位置不变，呈何种稳定视重心侧移后与浮心的位置关系：

图3-３

若ｌC＝Ｒ，ｍ1/ｍ2＝（ｌ－２Ｒ）/（２Ｒ－ｈ）时为稳定平衡；

若ｌC＞Ｒ，ｍ1/ｍ2＜（ｌ－２Ｒ）/（２Ｒ－ｈ）时为不稳定平衡；

若ｌC＜Ｒ，ｍ1/ｍ2＞（ｌ－２Ｒ）/（２Ｒ－ｈ）时为稳定平衡．

９．整体重心设为Ｏ′，在斜面上时重力作用线过D′，如图答3-4所示，ＯＤ′与竖直方向成α角，在△ＯＤ′Ｏ′中，有

Ｒ/ｓｉｎβ＝ＯＯ′/ｓｉｎα，

得ＯＯ′＝３

ｃｍ；

在水平面时要成稳定平衡，至少要

ＯＯ′·

ｍ＝Δｍ·

（ｈ－Ｒ），

解得Δｍ＝84ｇ．

图答3-4

图答3-５

１０．

（1）小铁片质量ｍ＝16ｇ（２）截去Δｘ＝4ｃｍ（３）应使浮心与质心重合或在质心之上，则

[Ｍ//（Ｍ＋ｍ）]·

（1/2）≤（Ｍ＋ｍ）/（2ρ水S），解得ｍmin＝8ｇ．

１１．受力情况如图答3-５所示，当α＞ａｒｃｔａｎ（ａ/ｂ）＝θ时，系统可能平衡，否则右块会右翻；

当α足够大，ｆ＝μＧ时，右块满足

μＧ·

ｂｃｏｓα＝Ｇ·

（

/２）ｓｉｎ（α－θ），

故α＝ｔａｎ-1（２μ＋（ａ/ｂ））；

左块应满足μＧ·

（ａ/２）＝Ｇ·

可得ｓｉｎ（α－θ）＝（ａ/

）＝ｓｉｎθ，

ｔａｎ（α/２）＝（ａ/ｂ），α＝２arctan（ａ/ｂ）；

综上可得，

ａｒｃｔａｎ（ａ/ｂ）＜α＜ｍｉｎ｛ａｒｃｔａｎ（２μ＋（ａ/ｂ）），２ａｒｃｔａｎ（ａ/ｂ）｝

图答3-６

１２．如图答3-６甲、乙、丙图分别表示杆与ＡＯ边所成角度θ＝α、θ＜α、θ＞α的情况，由甲图可知杆处于不稳定平衡，此时Ａ、Ｂ两处静摩擦力可均为零；

受一微扰，若杆向ＡＯ边移动，θ角递减，如图乙所示，Ａ、Ｂ两处约束力同时达摩擦角φ0（μ＝ｔａｎφ0）时，有

∠ＡＯ′Ｂ＝９０°

，

∵Ｏ′Ｇ＜ＡＧ，

∴９０°

－φ0－θ＝９０°

＋φ0－α，

得θ＝α－２φ0．

若φ＞φ0，考虑A处约束力达摩擦角时，有

∠Ｏ″ＡＧ＝９０°

－φ－θ，∠ＡＯ″Ｇ＝９０°

＋φ－α，

∵Ｏ″Ｇ＜ＡＧ，

－φ－θ＜９０°

得θ＞α－２φ．

同样考虑Ｂ处约束力达摩擦角时，有

∠

ＢＧ＝θ＋φ，∠Ｂ

Ｇ＝θ＋α－（θ＋φ）＝α－φ，

∵

Ｇ＞ＢＧ，

∴θ＋φ＞α－φ，亦得θ＞α－２φ．

若向BO边移动，θ角递增，如图丙，A、B两处约束力同时达摩擦角φ0时，有

，θ＝α＋２φ0，若φ＞φ0，考虑A处约束力达摩擦角时，则有

＋φ－θ，∠ＡＯ″Ｇ＝９０°

－φ－α，

∵Ｏ″Ｇ＞ＡＧ，

＋φ－θ＞９０°

－φ－α，

得θ＜α＋２φ．

ＢＧ＝θ－φ，∠Ｂ

Ｇ＝θ＋α－（θ－φ）＝α＋φ，

∵

Ｇ＜ＢＧ，

∴θ－φ＜α＋φ，

亦得θ＜α＋２φ．

综上得结论为α－２φ≤θ≤α＋２φ．

图答3-７

１３．设碗半径为ｒ，五球球心在棱长为2R的正四棱锥顶点，下四球与碗切于P，下四球接触而无挤压，球在碗中方位如图答3-7，上球对每个下球压力设为N，N＝（Ｇ/４）·

，碗对下球支持力设为T，方向与竖直方向成α角，则有（Ｎ/ｓｉｎα）＝（Ｇ/ｓｉｎ（４５°

－α）），得ｔａｎα＝（１/５），由丙图所示几何关系有（ｒ－Ｒ/ｓｉｎ４５°

）＝（２Ｒ/ｓｉｎα），得ｒmax＝（１＋２

）Ｒ，ｒ增大，平衡被破坏，ｒ减小，五球方位不变，但下四球间有挤压，及至ｒ最小时，下四球恰切于碗边，如丙图所示，此时ｒmin＝ｒmaxｓｉｎα＝（２

＋１/

）Ｒ，综上可得，碗半径应为（１＋２

）Ｒ≥ｒ≥（２

+1/

）Ｒ．（待续）