平面几何100题20版.docx

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平面几何100题20版

61.设ω是△ABC的外接圆，ΓA是与线段AB、AC相切且与ω内切的圆，Γ

B是与线段BA、

BC相切且与ω内切的圆，ΓC是与线段CA、CB相切且与ω内切的圆．设过B、C且与Γ

A

相切的圆（不同于ω）切ΓA于X，过C、A且与ΓB相切的圆（不同于ω）切ΓB于Y，过A、

B且与ΓC相切的圆（不同于ω）切ΓC于Z．证明：

AX、BY、CZ三线共点．

62.设⊙I是△ABC的内切圆，⊙u、⊙v、⊙w分别是过点B和点C且与⊙I相切的圆、过点

A和点C且与⊙I相切的圆、过点B和点A且与⊙I相切的圆．设P、Q、R、S、T、U分别

是⊙w与BC、⊙v与BC、⊙v与AB、⊙u与AB、⊙u与CA、⊙w与AC的交点（均不同

于A、B、C）．I1、I2分别是△ARQ、△BST的内心，类似定义I3、I4、I5、I6．IA是△AST∠

SAT内的旁心，类似定义IB、IC．求证∶△IAI2I3、△IBI6I1、△ICI4I5的欧拉线共点．

63.以凸四边形ABCD为边长向外作正方形AE1E2B、BF1F2C、CG1G2D、DH1H2A．连接AF1、

BG1、CH1、DE1交出四边形A'B'C'D'，连接DF2、AG2、BH2、CE2交出四边形A''B''C''D''．证

明∶A'A''、B'B''、C'C''、D'D''交出的四边形是正方形．

64.圆内接四边形ABCD中，直线AC、BD交于E，直线AB、CD交于F，直线BC、DA交

于G．设△ABE的外接圆与直线CB交于B、P两点，△ADE的外接圆与直线CD交于D、

Q两点．设直线FP、GQ交于点M，证明∶AM⊥AC．

65.设⊙X、⊙Y、⊙Z分别为△ABC∠BAC、∠ABC、∠BCA内的旁切圆，D、E、F、G、H、

I分别是⊙Z与AC、⊙Z与BC、⊙X与AB、⊙X与AC、⊙Y与BC、⊙Y与AB的切点．FD、

GI交于J，IE、HF交于K，EG、DH交于L，设M、N、O、P、Q、R分别是KL、LJ、JK、

BC、CA、AB的中点．证明∶直线MP、NQ、OR三线共点．

66.已知凸六边形ABCDEF既有外接圆又有内切圆，记△ABC、△BCD、△CDE、△DEF、

△EFA、△FAB的内切圆分别为ωb、ωc、ωd、ωe、ωf、ωa.lAB表示ωb、ωa的另一条外公切

线（不为AB），类似定义lBC、lCD、lDE、lEF、lFA.设lFA与lAB的交点为A1，类似定义B1、C1、

D1、E1、F1．若六边形A1B1C1D1E1F1为凸六边形，证明：

该六边形的对角线共点．

67.已知圆弧Γ1、Γ2、Γ3均过点A、C，且在直线AC同侧，Γ2在Γ1与Γ3之间，B是线段

AC上一点，由B引三条射线h1、h2、h3，与Γ1、Γ2、Γ3在直线AC的同侧，且h2在h1与h3之间．设hi与Γj（i,j=1,2,3）的交点为Vij.由线段VijVil、VkjVkl及弧VijVkj、弧VilVkl构成的曲

边四边形记为VijVkjVklVil,若存在一个圆与其两条线段和两条弧均相切，则称这个圆为这个

曲边四边形的内切圆．证明：

若曲边四边形V11V21V22V12、V12V22V23V13、V21V31V32V22

均有内切圆，则曲边四边形V22V32V33V23也有内切圆．

68.设△ABC的内心为I，⊙I分别切边BC，CA，AB于点D、E、F，设AI与DE、DF交于

点M、N，以MN为直径的圆交BC于P、Q．已知△APQ的外接圆与⊙I切于R，△ABC

的外接圆与九点圆切于Fe,设RFe与DE、DF分别交于点M'、N'．以M'N'为直径的圆交BC

于点P'、Q'．证明：

△AP'Q'的外接圆与⊙I的根轴平分线段BC．

69.设I是△ABC的内心，∠BAC、∠ABC、∠BCA的内角平分线分别交对边于点D、E、F．记

H是△DEF垂心．证明：

IH与△ABC的欧拉线平行．

70.设⊙O、⊙P、⊙Q分别是△ABC∠BAC、∠CBA、∠ACB内的旁切圆，G、H、I、J、K、

L分别是⊙P与AB、⊙Q与AC、⊙Q与BC、⊙O与AB、⊙O与AC、⊙P与BC的切点．证

明∶△JKD、△LGE、△HIF、△ABC的欧拉线共点．

71.△ABC中，O为外心，K为△ABC九点圆圆心关于△ABC的等角共轭点.K在BC、CA、

AB上的射影分别为D、E、F，H是△DEF垂心.证明：

O、K、H共线.

72.已知H、I分别为△ABC垂心、内心，D、E、F分别在射线AH、BH、CH上，且AD=BE=CF=2r,

这里r是△ABC的内切圆半径.证明：

I也为△DEF内心.

73.已知B、I1、I2、C是⊙M上顺次四点，BI1与CI2交于A，△I1I2M的外接圆与AB、AC

再次交于M1、M2，点O'满足M1O'∥CI1，M2O'∥BI2．X、Y为△ABC的一组等角共轭点，

D、E分别在AB、AC上使得XD∥CI1、XE∥BI2，N为△BMC外接圆弧BC（不含M）的中

点，XN与△BMC外接圆的另一个交点为F．证明：

X、Y、O'共线当且仅当△DEF外接圆与

△I1I2M的外接圆相切．

74.设△ABC∠BAC内的旁切圆切AB、AC于G、F，∠ABC内的旁切圆⊙P切AB、AC于E、

N，∠ACB内的旁切圆⊙Q切AB、AC于M、D．直线DE、MN分别交⊙Q于H、J，交⊙P

于I、K．HC、BI交于X，JF、KG交于Y，证明∶∠BAX＝∠CAY．

75.△ABC的内切圆⊙I切BC于D，连接AD交⊙I于J，K在JD上且DK=AJ，若BJ⊥CJ，

证明：

I、K关于△JBC等角共轭.

76.O为△ABC外心，BC、CA上的旁切圆切点分别是X、Y，AX、BY交于点N.圆Γ1切BA、CA延长线于E、D使得AD=AE=BC，类似地定义Γ2、Γ3.⊙U为与Γ

1、Γ2、Γ3均外切的

圆，证明:

N、O、U共线.

77.△ABC内切圆⊙I切BC于D，∠ACB内的旁切圆⊙P分别切BC、AB、CA于E、F、G，

∠ABC内的旁切圆⊙Q分别切BC、CA、AB于H、J、K，CF与⊙P交于F、M两点，BJ与

⊙Q交于J、N两点.证明:

MJ、NF、AD共点.

78.P为圆外切四边形ABCD内任意一点，AP、DP分别交BC于N、M.证明:

△APD、△MPN、

△ABN、△CDM四个三角形的内心共圆.

79.设⊙I是△ABC的内切圆，△BCD外接圆⊙O1、△CAE外接圆⊙O2、△ABF外接圆⊙O3分别与⊙I内切于点D、E、F．GH与ST、JK与NP、LM与QR分别是⊙O2与⊙O3、⊙O

1

与⊙O2、⊙O3与⊙O1的外公切线（L、N、R、K在⊙O1上，P、H、J、S在⊙O

2上，G、Q、

T、M在⊙O3上，GH、TS与A分别在BC的同侧、异侧，LM、RQ与B分别在AC的同侧、

异侧，JK、YM与C分别在AB的同侧、异侧）．设△GHF、△JKE、△LMD外接圆分别为

ω1、ω2、ω3，X、Y、Z分别是ω2与ω3、ω1与ω3、ω1与ω2的交点且X、A在BC异侧，Y、C在BA异侧，Z、B在AC异侧．证明∶S△KSX•S△MNY•S△HQZ＝S△LTX•S△GPY•S

△RJZ．

80.圆外切四边形ABCD中两点P、Q满足∠DPA+∠BPC=∠DQA+∠BQC,I1、I2、I3、I4、I11、

I22、I33、I44分别是△PAB、△PBC、△PCD、△PDA、△QAB、△QBC、△QCD、△QDA

的内心.证明:

I1、I2、I3、I4共圆当且仅当I11、I22、I33、I44共圆.

81.△ABC的内切圆分别切AC、AB于E、F.P、Q分别为边AC、AB上的旁切圆切点.点M

为BC中点，PQ、EF交于R.设△ABC九点圆与内切圆切于K，证明:

M、R、K共线.

82.凸四边形ABCD中，△ABC、△BCD、△CDA、△DAB的内心分别为ID、IA、IB、IC，∠

BAC与∠BDC的角平分线交于点E，∠ABD与∠ACD的角平分线交于点F，线段IDIA、IBIC、

EF的中点分别为X、Y、Z.证明:

X、Y、Z三点共线.

83.设ω1、ω2分别是过A、C且与△ABC内切圆内切于J的圆与过B、A且与△ABC内切圆

内切于K的圆.设Q、R分别是ω1、ω2与BC的交点，ω1与AB交于P，ω2与AC交于S,X

是△CSR∠C内的旁心，Y是△BPQ∠B内的旁心，M是△BSR的内心，N是△CPQ的内心.

证明:

四边形XYMN是矩形.

84.设圆Γ过B，C且与△ABC的内切圆⊙I内切于点J，延长AJ交BC于K，交Γ于L.证明:

（KB/KC）

2=（LB/LC）3.

85.⊙I、⊙J、⊙K与⊙O外切于X、Y、Z，EH、FL、MG分别是⊙I与⊙K、⊙I与⊙J、⊙J

与⊙K的外公切线且均与⊙O相交，并且E、F、G、H、L、M均为切点.HG与ML、EF与

HG、EF与ML分别交于点U、V、W.证明:

YW·XV·ZU=WX·VZ·UY.

86.设I、O分别是△ABC的内心、外心，U、V分别为⊙O与⊙I的外位似中心与内位似中心，

设E、F、Y、Z分别是BI与AC、CI与AB、BO与AC、CO与AB的交点.证明：

U、E、F

共线的充要条件是V、Y、Z共线.

87.设P、Q是△ABC的一对等角共轭点且△ABC的重心G与P、Q共线.D、E、F分别是AP

与BC、BP与AC、CP与AB的交点，AQ、BQ、CQ分别与△ABC外接圆再次交于点X、Y、

Z，证明：

△ADX、△BEY、△CFZ外接圆有公共的根轴.

88.给定△ABC，证明：

在△ABC所在平面内存在唯一的一点P，使得△ABC、△PAB、

△PBC、△PCA的欧拉线互相平行.

89.设N为△ABC的九点圆圆心，N在BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F，R为N

关于△DEF的等角共轭点，X是△AEF的九点圆圆心.证明：

RX垂直于BC.

90.设O、Ia、Ib、Ic分别是△ABC的外心、∠BAC内的旁心、∠ABC内的旁心、∠BCA内的旁心.设与⊙I

b、⊙Ic外切且与⊙O内切的圆与⊙O切于X，类似定义Y、Z.证明：

AX、

BY、CZ三线共点.

91.O为△ABC外心，P、Q为△ABC的一对等角共轭点.设D、E、F分别为AP与BC、

BP与CA、CP与AB的交点.设一条