数学文全国I大联考八Word文档格式.docx

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B.8π+8

C.2π+8

D.6π+8

8.已知函数f（x）=,则有

A.函数f（x）的图象关于直线x=对称

B.函数f（x）的图象关于点（,0）对称

C.函数f（x）为偶函数

D.函数f（x）在区间（0,π）内单调递减

9.执行如图所示的程序框图,若f（x）=3x2-1,取g=,则输出的值为

A.

B.

C.

D.

10.点Q（x,y）是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点,若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,则的最大值是

A.B.

C.D.

11.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P（2,0）的直线交抛物线于A,B两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点C,D,设直线AB,CD的斜率分别为k1,k2,则等于

A.B.C.1D.2

12.设函数f（x）=ex（sinx-cosx）（0≤x≤2014π）,则函数f（x）的各极小值之和为

A.-B.-

C.-D.-

第Ⅱ卷

二、填空题:

本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上.

13.向量a、b满足|a|=1,|a-b|=,a与b的夹角为60°

则|b|=　　▲　　. 

14.某产品在某零售摊位上的零售价x（元）与每天的销售量y（个）统计如下表:

x

16

17

18

19

y

50

41

34

31

据上表可得回归直线方程=x+中的b=-4,据此模型预计零售价定为15元时,

销售量为　　▲　　. 

15.等差数列{an}的公差为d,关于x的不等式x2+（a1-）x+c≥0的解集为[0,22],则使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是　　▲　　. 

16.表面积为60π的球面上有四点S,A,B,C且△ABC是等边三角形,球心O到平面ABC的距离为,若平面SAB⊥平面ABC,则棱锥S-ABC体积的最大值为　　▲　　. 

三、解答题:

本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

如图,在△ABC中,B=,BC=2,点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC,E为垂足.

（1）若△BCD的面积为,求CD的长;

（2）若ED=,求角A的大小.

18.（本小题满分12分）

某种零件质量标准分为1,2,3,4,5五个等级.现从一批该零件中随机抽取20个,对其等级进行统计分析,得到频率分布表如下:

等级

1

2

3

4

5

频率

0.05

m

0.15

0.35

n

（1）在抽取的20个零件中,等级为5的恰好有2个,求m,n;

（2）在

（1）的条件下,从等级为3和5的所有零件中,任意抽取2个,求抽取的2个零件等级恰好相同的概率.

19.（本小题满分12分）

如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=AD=1,E、F分别为PD、AC上的动点,且==λ（0<

λ<

1）.

（1）若λ=,求证:

EF∥平面PAB;

（2）求三棱锥E-FCD体积的最大值.

20.（本小题满分12分）

定义:

若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的.如图,椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆,并且相交于上下两个顶点.椭圆C1:

+=1（a>

b>

0）的长轴长是4,椭圆C2:

+=1（m>

n>

0）短轴长是1,点F1,F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点.

（1）求椭圆C1,C2的方程;

（2）过F1且倾斜角为30°

的直线交椭圆C2于点M,N,求△F2MN的面积.

21.（本小题满分12分）

设函数f（x）=（x-1）ex-kx2（其中k∈R）.

（1）当k=1时,求函数f（x）的单调区间;

（2）当k∈（,1]时,求函数f（x）在[0,k]上的最大值M.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1:

几何证明选讲

如图,☉O的半径OB垂直于直径AC,M为AO上一点,BM的延长线交☉O于N,过N点的切线交CA的延长线于P.

（1）求证:

PM2=PA·

PC;

（2）若☉O的半径为2,OA=OM,求MN的长.

23.（本小题满分10分）选修4-4:

坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是（t是参数）.

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;

（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.

24.（本小题满分10分）选修4-5:

不等式选讲

已知函数f（x）=log2（|x-1|+|x+2|-a）.

（1）当a=7时,求函数f（x）的定义域;

（2）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R,求实数a的取值范围.

参　考　答　案

1.A　因为B={x|x2≤4}={x|-2≤x≤2},所以

RB=（-∞,-2）∪（2,+∞）,

则（

RB）∩A=（2,+∞）.

2.D　∵a-i与2+bi互为共轭复数,则a=2,b=1,∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i.

3.D　因为n=3÷

=13.

4.A　“lgx,lgy,lgz成等差数列”⇔2lgy=lgx+lgz⇒y2=xz,但y2=xz/⇒2lgy=lgx+lgz,∴选A.

5.B　∵α是第三象限的角,∴cosα=-,

∴===-.

6.B　将点P代入可得3b2-a2=2a2b2,再由PF1⊥PF2可得×

=-1.

∴c2=2,根据c2=a2+b2可解得=.

7.C　由三视图可知该几何体上面为两个半圆柱,下面为一个长方体,所以其体积为π×

12×

2+2×

4×

1=2π+8.

8.B　∵f（x）===-tanx,

∴函数f（x）不是轴对称图形,∴A不正确;

∵函数f（x）为奇函数,∴C不正确;

∵函数在区间（0,π）不单调,∴D不正确;

∵函数f（x）的对称中心为（,0）,k∈Z,

∴函数f（x）的图象关于点（,0）对称,B正确.

9.A　因为f（0）=-1<

0,f

（1）=2>

0,第一次执行循环体f（）=-1=-<

0,a=,b-a=1-=>

;

第二次执行循环体f（）=-1=>

0,b=,b-a=>

第三次执行循环体f（）=-1=>

第四次执行循环体f（）=-<

0,a=,b-a=<

所以输出=.

10.C　由题意,最优解应在线段AC上取到,故x+ay=0应与直线AC平行,∵kAC==1,∴-=1,得a=-1,则=表示点P（-1,0）与可行域内的点Q（x,y）连线的斜率,由图得,当Q（x,y）=C（4,2）时,取得最大值,最大值是=.

11.B　设直线AB的方程为y=k1（x-2）,联立得k1y2-4y-8k1=0,设A（x1,y1）,B（x2,y2）,直线AC的方程为y=（x-1）,联立,得y2-y-=0,

则y1yc=-4,故yc=,同理yD=,故k2====2k1,故=.

12.D　由f'

（x）=2exsinx=0⇒sinx=0得,x=0,π,2π,3π,4π,…,2014π.

经检验函数f（x）极小值点为:

2π,4π,…,2014π,

所以,所求各极小值之和为-（e2π+e4π+e6π+…+e2014π）=-.

13.　由|a-b|=得:

a2-2a·

b+b2=,1-2|b|cos60°

+|b|2=,|b|=.

14.49　由表中数据计算得=17.5,=39,

∵b=-4,∴a=-b=39+4×

17.5=109,

∴回归直线方程为y=109-4x,∴当x=15时,y=109-4×

15=49.

15.11　∵关于x的不等式x2+（a1-）x+c≥0的解集为[0,22],

∴22=,且<

0即a1=-d>

0,则a11=a1+10d>

0,a12=a1+11d<

0.

故使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是11.

16.27　由题意画出几何体的图形如图:

因为球的表面积为60π,所以球半径为,由于平面SAB⊥平面ABC,所以点S在平面ABC上的射影D落在AB上,由于OO'

⊥平面ABC,SD⊥平面ABC,即有OO'

∥SD,当D为AB的中点时,SD最大,棱锥S-ABC的体积最大.

由于OC=,OO'

=,则CO'

=2,DO'

=,则△ABC是边长为6的正三角形,

故△ABC的面积为:

S=×

62=9.在直角梯形SDO'

O中,作OE⊥SD于点E,OE=DO'

=,DE=OO'

=,SD=DE+SE=+=3,即有三棱锥S-ABC体积V=Sh=×

9×

3=27.

17.解:

（1）由已知得S△BCD=BC·

BD·

sinB=,又BC=2,sinB=,∴BD=,cosB=.

在△BCD中,由余弦定理得

CD2=BC2+BD2-2BC·

cosB=22+（）2-2×

2×

×

=.∴CD=.6分

（2）∵CD=AD==,在△BCD中,由正弦定理得=,又∠BDC=2A,得=,解得cosA=,所以A=.12分

18.解:

（1）由频率分布表得0.05+m+0.15+0.35+n=1,即m+n=0.45,由抽取的20个零件中,等级为5的恰有2个,得n==0.1.所以m=0.45-0.1=0.35.6分

（2）由

（1）得,等级为3的零件有3个,记作x1、x2、x3,等级为5的零件有2个,记作y1、y2,从x1、x2、x3、y1、y2中任意抽取2个零件,所有可能的结果为:

（x1,x2）,（x1,x3）,（x1,y1）,（x1,y2）,（x2,x3）,（x2,y1）,（x2,y2）,（x3,y1）,（x3,y2）,（y1,y2）共计10种.记事件A为“从零件x1,x2,x3,y1,y2中任取2件,其等级相等”,则A包含的基本事件为（x1,x2）,（x1,x3）,（x2,x3）,（y1,y2）共4个,故所求概率为P（A）==0.4.12分

19.解:

（1）分别取PA和AB中点M、N,连接MN、ME、NF,

则NF􀱀

AD,ME􀱀

AD,所以NF􀱀

ME,∴四边形MEFN为平行四边形.

∴EF∥MN,又EF⊄平面PAB,MN⊂平面PAB,∴EF∥平面PAB.4分

（2）在平面PAD内作EH⊥AD于H,

因为侧棱PA⊥底面ABCD,

所以平面PAD⊥底面ABCD,且平面PAD∩底面ABCD=AD,

所以EH⊥平面ADC,所以EH∥PA.7分

（或平面PAD中,PA⊥AD,EH⊥AD,所以EH∥PA亦可）

因为=λ,（0<

1）,所以=λ,EH=λ·

PA=λ.

==1-λ,S△DFC=（1-λ）S△ADC=,10分

VE-DFC=·

λ·

=（0<

∴VE-DFC的最大值为.12分

20.解:

（1）设椭圆C1的半焦距为c,椭圆C2的半焦距为c'

.由已知a=2,b=m,n=.

∵椭圆C1与椭圆C2的离心率相等,即=,

∴=,即=,

∴=,即bm=b2=an=1,∴b=m=1,

∴椭圆C1的方程是+y2=1,椭圆C2的方程是y2+=1.6分

（2）因为直线的倾斜角为30°

故可设直线的方程为x=y-.

联立,得y2+4（y-）2-1=0,即13y2-24y+11=0,

设M（x1,y1）,N（x2,y2）,

则y1+y2=,y1y2=,∴|MN|=2|y1-y2|=.

又△F2MN的高即为点F2到直线l:

x-y+=0的距离h==,

∴△F2MN的面积S=|MN|h=×

=.12分

21.解:

（1）当k=1时,

f（x）=（x-1）ex-x2,f'

（x）=ex+（x-1）ex-2x=xex-2x=x（ex-2）.

令f'

（x）=0,得x1=0,x2=ln2,

当x变化时,f'

（x）,f（x）的变化如下表:

（-∞,0）

（0,ln2）

ln2

（ln2,+∞）

f'

（x）

+

-

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

由上表可知,函数f（x）的递减区间为（0,ln2）,递增区间为（-∞,0）,（ln2,+∞）.6分

（2）f'

（x）=ex+（x-1）ex-2kx=xex-2kx=x（ex-2k）,令f'

（x）=0,得x1=0,x2=ln（2k）,

令g（k）=ln（2k）-k=ln2+lnk-k,则g'

（k）=-1=>

0,所以g（k）在（,1]上递增,

所以g（k）≤ln2-1=ln2-lne<

0,从而ln（2k）<

k,所以ln（2k）∈[0,k],

所以当x∈（0,ln（2k））时,f'

（x）<

0;

当x∈（ln（2k）,+∞）时,f'

（x）>

所以M=max{f（0）,f（k）}=max{-1,（k-1）ek-k3}.

令h（k）=（k-1）ek-k3+1,则h'

（k）=k（ek-3k）,令φ（k）=ek-3k,则φ'

（k）=ek-3<

e-3<

0,

所以φ（k）在（,1]上递减,而φ（）·

φ

（1）=（-）（e-3）<

所以存在x0∈（,1]使得φ（x0）=0,且当k∈（,x0）时,φ（k）>

当k∈（x0,1）时,φ（k）<

0.所以φ（k）在（,x0）上单调递增,在（x0,1）上单调递减.

因为h（）=-+>

0,h

（1）=0,所以h（k）≥0在（,1]上恒成立,当且仅当k=1时取得“=”.

综上,函数f（x）在[0,k]上的最大值M=（k-1）ek-k3.12分

22.证明:

（1）连结ON,则ON⊥PN,且△OBN为等腰三角形,则∠OBN=∠ONB,

∵∠PMN=∠OMB=90°

-∠OBN,∠PNM=90°

-∠ONB,

∴∠PMN=∠PNM,∴PM=PN,根据切割线定理,有PN2=PA·

PC,

∴PM2=PA·

PC.5分

（2）OM=2,在Rt△BOM中,BM==4.

延长BO交☉O于点D,连结DN.

由条件易知△BOM∽△BND,于是=,

即=,∴BN=6,∴MN=BN-BM=6-4=2.10分

23.解:

（1）由ρ=4cosθ得（x-2）2+y2=4.4分

（2）将代入圆的方程得（tcosα-1）2+（tsinα）2=4,

化简得t2-2tcosα-3=0,

设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则

∴|AB|=|t1-t2|===,

∴4cos2α=2,cosα=±

α=或.10分

24.解:

（1）由题设知:

|x-1|+|x+2|>

7,由绝对值的几何意义可得x<

-4或x>

3,从而函数f（x）的定义域为（-∞,-4）∪（3,+∞）.5分

（2）不等式f（x）≥3,即|x-1|+|x+2|≥a+8,∵x∈R时,恒有

|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3,8分

∵不等式|x-1|+|x+2|≥a+8解集是R,∴a+8≤3,即a≤-5.

∴实数a的取值范围是（-∞,-5].10分