初三下册圆的知识点Word文档下载推荐.docx
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r点C在圆内
点在圆上d=r点B在圆上
点在此圆外d>
r点A在圆外
2直线与圆的位置关系:
直线与圆相离d>
r无交点
直线与圆相切d=r有一个交点
直线与圆相交d<
r有两个交点
3圆与圆的位置关系:
外离(图1)无交点d>
R+r
外切(图2)有一个交点d=R+r
相交(图3)有两个交点R-r<
d<
内切(图4)有一个交点d=R-r
内含(图5)无交点d<
R-r
四垂径定理:
垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧
推论1:
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理,简称2推3定理:
此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:
①AB是直径②AB⊥CD③CE=DE④⑤
推论2:
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即:
在⊙O中,∵AB∥CD
五圆心角定理
六圆周角定理
圆周角定理:
同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半
即:
∵∠AOB和∠ACB是所对的圆心角和圆周角
∴∠AOB=2∠ACB
圆周角定理的推论:
同弧或等弧所对的圆周角相等;
同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧
在⊙O中,∵∠C、∠D都是所对的圆周角
∴∠C=∠D
半圆或直径所对的圆周角是直角;
圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径
在⊙O中,∵AB是直径或∵∠C=90°
∴∠C=90°
∴AB是直径
推论3:
三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形
在△ABC中,∵OC=OA=OB
∴△ABC是直角三角形或∠C=90°
注:
此推论实是初二年级几何中矩形的推论:
在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
七圆内接四边形
圆的内接四边形定理:
圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。
在⊙O中,∵四边形ABCD是内接四边形
∴∠C+∠BAD=180°
B+∠D=180°
∠DAE=∠C
八切线的性质与判定定理
(1)判定定理:
过半径外端且垂直于半径的直线是切线
两个条件:
过半径外端且垂直半径,二者缺一不可
∵MN⊥OA且MN过半径OA外端
∴MN是⊙O的切线
(2)性质定理:
切线垂直于过切点的半径(如上图)
推论1:
过圆心垂直于切线的直线必过切点
推论2:
过切点垂直于切线的直线必过圆心
以上三个定理及推论也称二推一定理:
过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件
∵MN是切线
∴MN⊥OA
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
∵PA、PB是的两条切线
∴PA=PB
PO平分∠BPA
九圆内正多边形的计算
(1)正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形,有关计算在Rt△BOD中进行,OD:
BD:
OB=
(2)正四边形
同理,四边形的有关计算在Rt△OAE中进行,OE
:
AE:
OA=
(3)正六边形
同理,六边形的有关计算在Rt△OAB中进行,AB:
OB:
十、圆的有关概念
1、三角形的外接圆、外心。
→用到:
线段的垂直平分线及性质
2、三角形的内切圆、内心。
角的平分线及性质
3、圆的对称性。
→
十一、圆的有关线的长和面积。
1、圆的周长、弧长
C=2
r,l=
2、圆的面积、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积
S圆=
r2,
S扇形=
S圆锥=
3、求面积的方法
直接法→由面积公式直接得到
间接法→即:
割补法(和差法)→进行等量代换
十二、侧面展开图:
①圆柱侧面展开图是形,它的长是底面的,高是这个圆柱的;
②圆锥侧面展开图是形,它的半径是这个圆锥的,它的弧长是这个圆锥的底面的。
十三、正多边形计算的解题思路:
正多边形
等腰三角形
直角三角形。
可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形,再用解直角三角形的知识进行求解。
1.下面所给几何体的俯视图是()
2.若右图是某个几何体的三视图,则该几何体是()
A.长方体
B.三棱柱
C.圆柱
D.圆台
3.如图,已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65
cm2,扇形的弧长为10
cm,则圆锥母线长是()
A.5cmB.10cm
C.12cmD.13cm
4.如图,在△ABC中,AB=AC,AB=8,BC=12,分别以
AB、AC为直径作半圆,则图中阴影部分的面积是( )
A.
B.
C.
D.
5.半径为r的圆内接正三角形的边长为.(结果可保留根号)
6.下列结论正确的是()
A、长度相等的两条弧是等弧
B、相等的圆心角所对的弧相等
C、圆是轴对称图形
D、平分弦的直线垂直于弦
7、如图2,⊙O的弦AB垂直于直径MN,C为垂足,
若OA=5cm,下面四个结论中可能正确的是()
A、AB=12cmB、OC=6cm
C、MN=8cmD、AC=2.5cm
8、下列命题正确的个数()
①三角形的内心一定在三角形的内部,外心在三角形的外部
②三角形的内心是三角形三边中垂线的交点,所以它到三角形三个顶点的距离相等
③三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点,它到三角形三边的距离相等
④等边三角形的内心和外心是同一个点
A、1个B、2个C、3个D、4个
9.(8分)如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD切⊙O于点D,过点D作DF⊥AB于点E,交⊙O于点F,已知OE=1cm,DF=4cm.
(1)求⊙O的半径;
(2)求切线CD的长
10、等腰直角三角形ABC的腰长为5,D是斜边上AB的中点,则以D为圆心、---------------
为半径的圆经过A、B、C;
以D为圆心,2.5为半径的圆与直线-------------相切,当半径为
-------------------时,⊙O与AC、BC、AB都相交;
当半径为----------------时,⊙O与AC、BC、AB都相切。
11、在⊙O的直径CB的延长线上取一点A,AP切⊙O于P,且∠APB=300,AB=
则CP=---------------------------------.
12、在Rt△ABC中,∠C=900,AC=3,BC=4,若以C为圆心,R为半径的圆与斜边AB
只有一个公共交点,则R的取值范围是--------------------------------------------------
13.如图24—A—5,P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B,CD切⊙O于点E,分别交PA、PB于点C、D,若PA=5,则△PCD的周长为()
A.5B.7C.8D.10
14.已知在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,那么△ABC的内切圆的半径为()
A.
B.
C.2D.3
15.如图24—A—9,AB、AC与⊙O相切于点B、C,∠A=50゜,P为⊙O上异于B、C的一个动点,则∠BPC的度数为。
16.一个圆锥的底面半径为3,高为4,则圆锥的侧面积是。
17.如图24—A—13,AD、BC是⊙O的两条弦,且AD=BC,
求证:
AB=CD。
18.如图24—B—2,若等边△A1B1C1内接于等边△ABC的内切圆,则
的值为()
D.
19.若正三角形、正方形、正六边形的周长相等,它们的面积分别是S1、S2、S3,则下列关系成立的是()
A.S1=S2=S3B.S1>
S2>
S3C.S1<
S2<
S3D.S2>
S3>
S1
20.如图24—B—14,在⊙O中,直径CD与弦AB相交于点E,若BE=3,AE=4,DE=2,则⊙O的半径是。
21.(2005·
潍坊)如图24—B—15,正方形ABCD的边长为1,点E为AB的中点,以E为圆心,1为半径作圆,分别交AD、BC于M、N两点,与DC切于点P,则图中阴影部分的面积是。
22.如图24—B—18,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD。
(1)P是优弧CAD上一点(不与C、D重合),求证:
∠CPD=∠COB;
(2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合)时,∠CP′D与∠COB有什么数量关系?
请证明你的结论。
23.已知:
△ABC内接于⊙O,过点A作直线EF。
(1)如图24—A—15,AB为直径,要使EF为⊙O的切线,还需添加的条件是(只需写出三种情况):
①;
②;
③。
(2)如图24—A—16,AB是非直径的弦,∠CAE=∠B,求证:
EF是⊙O的切线。
24.如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O,与斜边AC交于D,E是BC边上的中点,连结DE.
(1)DE与半圆O相切吗?
若相切,请给出证明;
若不相切,请说明理由;
(2)若AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根,求直角边BC的长。
25.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是边AD上一点(除端点外),过三点A,B,P作⊙O.
(1)指出圆心O的位置;
(2)当AP=3时,判断CD与⊙O的位置关系;
(3)当CD与⊙O相切时,求BC被⊙O截得的弦长.
26.已知,如图,⊙D交y轴于A、B,交x轴于C,过C的直线:
y=-2
x-8与y轴交于P.
(1)求证:
PC是⊙D的切线;
(2)判断在直线PC上是否存在点E
,使得S△EOC=4S△CDO,若存在,求出点E的坐标;
若不存在,请说明理由.