四垂径定理:
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧
推论1：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：
此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB是直径②AB⊥CD③CE=DE④⑤
推论2：
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：
在⊙O中，∵AB∥CD
五圆心角定理
六圆周角定理
圆周角定理：
同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半
即：
∵∠AOB和∠ACB是所对的圆心角和圆周角
∴∠AOB=2∠ACB
圆周角定理的推论：
推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧
即：
在⊙O中，∵∠C、∠D都是所对的圆周角
∴∠C=∠D
推论2：
半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径
即：
在⊙O中，∵AB是直径或∵∠C=90°
∴∠C=90°∴AB是直径
推论3：
三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
即：
在△ABC中，∵OC=OA=OB
∴△ABC是直角三角形或∠C=90°
注：
此推论实是初二年级几何中矩形的推论：
在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
七圆内接四边形
圆的内接四边形定理：
圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：
在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四边形
∴∠C+∠BAD=180°B+∠D=180°
∠DAE=∠C
八切线的性质与判定定理
（1）判定定理：
过半径外端且垂直于半径的直线是切线
两个条件：
过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：
∵MN⊥OA且MN过半径OA外端
∴MN是⊙O的切线
（2）性质定理：
切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：
过圆心垂直于切线的直线必过切点
推论2：
过切点垂直于切线的直线必过圆心
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：
过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件
∵MN是切线
∴MN⊥OA
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：
∵PA、PB是的两条切线
∴PA=PB
PO平分∠BPA
九圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在Rt△BOD中进行，OD:
BD:
OB=
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt△OAE中进行，OE :
AE:
OA=
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt△OAB中进行，AB:
OB:
OA=
十、圆的有关概念
1、三角形的外接圆、外心。
→用到：
线段的垂直平分线及性质
2、三角形的内切圆、内心。
→用到：
角的平分线及性质
3、圆的对称性。
→
十一、圆的有关线的长和面积。
1、圆的周长、弧长
C=2
r,l=
2、圆的面积、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积
S圆=
r2，
S扇形=
S圆锥=
3、求面积的方法
直接法→由面积公式直接得到
间接法→即：
割补法（和差法）→进行等量代换
十二、侧面展开图：
①圆柱侧面展开图是形,它的长是底面的,高是这个圆柱的；
②圆锥侧面展开图是形，它的半径是这个圆锥的，它的弧长是这个圆锥的底面的。
十三、正多边形计算的解题思路：
正多边形
等腰三角形
直角三角形。
可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形，再用解直角三角形的知识进行求解。
1．下面所给几何体的俯视图是（）
2．若右图是某个几何体的三视图，则该几何体是（）
A．长方体
B．三棱柱
C．圆柱
D．圆台
3．如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65
cm2，扇形的弧长为10
cm，则圆锥母线长是（）
A．5cmB．10cm
C．12cmD．13cm
4．如图，在△ABC中，AB=AC，AB=8，BC=12，分别以
AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．半径为r的圆内接正三角形的边长为.（结果可保留根号）
6.下列结论正确的是（）
A、长度相等的两条弧是等弧
B、相等的圆心角所对的弧相等
C、圆是轴对称图形
D、平分弦的直线垂直于弦
7、如图2，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，
若OA=5cm，下面四个结论中可能正确的是（）
A、AB=12cmB、OC=6cm
C、MN=8cmD、AC=2.5cm
8、下列命题正确的个数（）
①三角形的内心一定在三角形的内部，外心在三角形的外部
②三角形的内心是三角形三边中垂线的交点，所以它到三角形三个顶点的距离相等
③三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等
④等边三角形的内心和外心是同一个点
A、1个B、2个C、3个D、4个
9．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，过点D作DF⊥AB于点E，交⊙O于点F，已知OE＝1cm，DF＝4cm．
（1）求⊙O的半径；
（2）求切线CD的长
10、等腰直角三角形ABC的腰长为5，D是斜边上AB的中点，则以D为圆心、---------------
为半径的圆经过A、B、C；以D为圆心，2.5为半径的圆与直线-------------相切,当半径为
-------------------时，⊙O与AC、BC、AB都相交；当半径为----------------时，⊙O与AC、BC、AB都相切。
11、在⊙O的直径CB的延长线上取一点A，AP切⊙O于P，且∠APB=300，AB=
则CP=---------------------------------.
12、在Rt△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4，若以C为圆心，R为半径的圆与斜边AB
只有一个公共交点，则R的取值范围是--------------------------------------------------
13．如图24—A—5，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（）
A．5B．7C．8D．10
14．已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC的内切圆的半径为（）
A．
B．
C．2D．3
15．如图24—A—9，AB、AC与⊙O相切于点B、C，∠A=50゜，P为⊙O上异于B、C的一个动点，则∠BPC的度数为。
16．一个圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积是。
17．如图24—A—13，AD、BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，
求证：
AB=CD。
18．如图24—B—2，若等边△A1B1C1内接于等边△ABC的内切圆，则
的值为（）
A．
B．
C．
D．
19．若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别是S1、S2、S3，则下列关系成立的是（）
A．S1=S2=S3B．S1>S2>S3C．S1S3>S1
20．如图24—B—14，在⊙O中，直径CD与弦AB相交于点E，若BE=3，AE=4，DE=2，则⊙O的半径是。
21．（2005·潍坊）如图24—B—15，正方形ABCD的边长为1，点E为AB的中点，以E为圆心，1为半径作圆，分别交AD、BC于M、N两点，与DC切于点P，则图中阴影部分的面积是。
22．如图24—B—18，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD。
（1）P是优弧CAD上一点（不与C、D重合），求证：
∠CPD=∠COB；
（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？
请证明你的结论。
23．已知：
△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF。
（1）如图24—A—15，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）：
①；②；③。
（2）如图24—A—16，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：
EF是⊙O的切线。
24．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE.
（1）DE与半圆O相切吗？
若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
（2）若AD、AB的长是方程x2－10x+24=0的两个根，求直角边BC的长。
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上一点（除端点外），过三点A，B，P作⊙O．
（1）指出圆心O的位置；
（2）当AP＝3时，判断CD与⊙O的位置关系；
（3）当CD与⊙O相切时，求BC被⊙O截得的弦长．
26．已知,如图,⊙D交y轴于A、B,交x轴于C，过C的直线：
y=－2
x－8与y轴交于P.
（1）求证：
PC是⊙D的切线;
（2）判断在直线PC上是否存在点E
，使得S△EOC=4S△CDO，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
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