选修22 导数和应用典型例题.docx

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选修22导数和应用典型例题

第一章导数及其应用

1.1变化率与导数

【知识点归纳】

1.平均变化率：

2.瞬时速度：

3.导数及导函数的概念：

4.导数的几何意义：

拓展知识：

5.平均变化率的几何意义：

6.导数与切线的关系：

【典型例题】

题型一求平均变化率：

例1.已知函数的图像上一点（1,1）及其邻近一点，则=_______.

变式训练：

1.以速度竖直向上抛出一物体，t秒时的高度为，求物体在到这段时间的平均速度.

2.求正弦函数在和附近的平均变化率，并比较他们的大小.

题型二实际问题中的瞬时速度

例2已知质点M按规律做直线运动（位移单位：

cm，时间单位：

s）

（1）当时，求；

（2）当时，求；

（3）求质点M在t=2时的瞬时速度.

题型三求函数的导数及导函数的值

例3求函数在处的导数.

题型四曲线的切线问题

例4

（1）已知曲线上一点A（1，2），求点A处的切线方程.

（2）求过点（-1，-2）且与曲线想切的直线方程.

（3）求曲线在x=1处的切线的倾斜角.

（4）曲线在点P处的切线斜率为3，求点P的坐标.

1.2导数的计算

【知识点归纳】

1.常见函数的导数：

2.基本初等函数的导数公式：

3.导数的运算法则：

4.复合函数的导数：

【典型例题】

题型一基本初等函数导数公式运用

例1给出下列结论：

①；②若，则；③若，则；④.若，则

其中正确的是_________________.

题型二导数运算法则的应用

例2求下列函数的导数：

（1）；

（2）；（3）；（4）.

变式训练：

判断下面的求导是否正确，如果不正确，加以改正.

题型三复合函数求导的应用

例7求下列函数的导数.

（1）；

（2）.

变式训练：

求函数的导数

题型四切线方程及应用

例4曲线在点（0，1）处的切线方程是？

变式训练：

曲线在P处的切线平行于直线，则点P的坐标为_________.

题型五利用导数求参数问题

例5若曲线在坐标原点处的切线方程是，则实数a=_________

变式训练：

若函数在x=a处的导数值为函数值互为相反数，求a的值

题型六对数求导数的应用（选讲）

例6求下列函数的导数

（1）；

（2）；

题型七求导数的实际应用

例7有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s（单位：

m）关于时间t（单位s）的函数为.求函数在时的导数，并解释它的实际意义.

1.3导数在研究函数中的应用

1.3.1函数的单调性与导数

【知识点归纳】

1.函数的单调性与其导数的关系：

2.利用导数求函数的单调区间：

3.导数的绝对值的大小与图像的关系（选讲）：

【典型例题】

题型一里用导数的信息确定函数大致图像

例1已知导函数的下列信息：

当时，；当或时，；

当或时，；

试画出函数f（x）图像的大致形状.

题型二判断或者证明函数的单调性

例2试判断函数在其定义域上的单调性.

变式训练：

证明：

函数在区间（0，2）上是单调递增函数.

题型三求函数的单调性

例3确定函数的单调区间.

变式训练：

求函数的单调性.

题型四含有参数的函数的单调性

例4已知函数，讨论f（x）的单调性.

变式训练：

已知函数在单调递增，求实数a的取值围.

1.3.2导数的极值与导数

【知识点归纳】

1.导数的极值的概念：

2.导数的极值的判断和求法：

【典型例题】

题型一求函数的极值

例1求下列函数的极值：

（1）；

（2）.

变式训练：

设的导数满足，其中常数.

（1）求曲线在点处的切线方程.

（2）设，求函数的极值.

题型二判断函数极值点的情况

例2判断下列函数有无极值，若有极值，请求出极值；如果没有极值，请说明理由.

（1）；

（2）；（3）.

变式训练：

设函数，其中.证明：

当时，函数f（x）没有极值点，当时,函数f（x）有且只有一个极值点，并求出极值.

题型三导函数的图像与函数极值的关系

例3函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）有极小值点的个数为（　　）

A1个B.2个C.3个D.4个

题型四极值的逆向问题

例4已知函数在x=1处取得极值-3-c，其中a，b为常数.

（1）试确定a，b的值.

（2）讨论函数f（x）的单调区间.

综上：

若说明函数没有极值，一般不讨论有无导数，而是在区间上只有一个单调性，没有“拐点”.

1.3.3函数的最大小值与导数

【知识点归纳】

1.最大小值与极值的关系：

2.求最大小值的步骤：

3.开区间的最值问题：

【典型例题】

题型一利用导数求函数最值问题

例1求函数在区间上的最大值和最小值.

变式训练：

设函数为奇函数，其图像在处的切线与直线垂直，导数的最小值为-12.

（1）求a，b，c的值.

（2）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1,3]上的最大小值.

题型二含参数最值问题

例2设a为常数，求函数的最大值.

变式训练：

1.设

（1）若f（x）在上存在单调递增区间，求a的取值围.

（2）当时,f（x）在[1,4]上的最小值为，求f（x）在该区间上的最大值.

题型三由函数的最值求参数的值

例3设，函数的最大值为1，最小值为，求a，b的值.

1.4生活中的优化问题

【知识点归纳】

利用求函数的最大小值的方法求实际应用中的最优化问题

函数的极值与端点值的比较

【典型例题】

题型一利润最大问题

例1某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出商品件数与商品单价的降低值x（单位：

元,）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.

（1）将一星期的商品销售利润表示成x的函数

（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大

变式训练：

某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交m（3≤m≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x≤11）元时，一年的销售量为（12-x）2万件．

（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；

（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（m）．

题型二用料最省、费用最低问题

例2如图，某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y（单位：

米）的矩形，上部是斜边长为x的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米．

（Ⅰ）求x，y的关系式，并求x的取值围；

（Ⅱ）问x，y分别为多少时用料最省？

变式训练：

某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：

米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c＞3）千元．设该容器的建造费用为y千元．

（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．

题型三面积、体积最值问题

例3如图在二次函数的图像与x轴所围成的图形中有一个接矩形ABCD，求这个接矩形的最大面积.

变式训练：

请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？

1.5定积分的概念

【知识点归纳】

定积分的概念：

定积分的性质：

【典型例题】

题型一利用定义计算积分

例1利用定积分定义，计算

题型二求曲边梯形的面积

例2利用定积分的定义求出直线x=1，x=2和y=0及曲线围成的图形的面积.

1.6微积分基本定理

【知识点归纳】

1.牛顿—莱布尼茨公式：

2.定积分的取值：

3.定积分的一些性质：

【典型例题】

题型一求简单函数的定积分

例1求下列函数的定积分：

（1）；

（2）；（3）；

题型二求分段函数的定积分

例2求函数在区间[0，3]上的定积分.

变式训练：

求定积分：

（1）；

（2）

题型三定积分的实际应用

例3汽车以每小时36km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车的减速度为刹车，求从开始停车到停车，汽车的走过的距离.

变式训练：

等比数列中，，前三项和，则公比q的值是多少？

1.7定积分的简单应用

【知识点归纳】

1.常见的平面图形的面积求法：

2.定积分在物理公式中的应用：

【典型例题】

题型一用定积分求平面图形的面积

例1求曲线与所围成的图形的面积.

变式训练：

求由抛物线所围成的图形的面积

例2求正弦曲线和直线及x轴所围成的平面图形的面积.

变式训练：

求由曲线所围成的图形的面积

题型二用定积分求变速直线运动的距离

例3有一两汽车以每小时36km的速度形式，在B出以的加速度减速停车，问从开始刹车到停车一共行驶多少的路程.

题型三用定积分解决变力作功问题

例4有一个长为25cm的弹簧，若以100N的力，则弹簧伸长到30cm，求弹簧由25cm伸长到40所做的功.