9年全国卷高考真题分类汇编 导数大题专项练习Word下载.docx
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（2）f（x）有且仅有2个零点．
7．（2018年高考数学课标Ⅲ卷（理））已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x．
（1）若a=0，证明：
当-1<
x<
0时，f（x）<
0，当x>
0时，f（x）>
0；
（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．
8．（2018年高考数学课标Ⅱ卷（理））（12分）已知函数f（x）=ex-ax2．
（1）若a=1，证明：
当x≥0时，f（x）≥1；
（2）若f（x）在（0,+∞）只有一个零点，求a．
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
9．（2018年高考数学课标卷Ⅰ（理））（12分）已知函数f（x）=1-x+alnx．
x
（2）若f（x）存在两个极值点x,x，证明：
f（x1）-f（x2）<
a-2．
12x-x
12
10．（2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科）已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x．
（1）讨论f（x）的单调性;
（2）若f（x）有两个零点,求a的取值范围．
（二）选考题:
共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做,则按所做的第一题计分．
11．（2017年高考数学课标Ⅲ卷理科）（12分）已知函数f（x）=x-1-alnx．
（1）若f（x）≥0，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，⎛1+1⎫⎛1+
1⎫⎛1+
1⎫<
m，求m的最小值．
2⎪ç
22⎪ç
2n⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
12．（2017年高考数学课标Ⅱ卷理科）（12分）已知函数f（x）=ax3-ax-xlnx,且f（x）≥0．
（1）求a；
f（x）存在唯一的极大值点x，且e-2<
f（x）<
2-2．
13．（2016高考数学课标Ⅲ卷理科）设函数f（x）=acos2x+（a-1）（cosx+1）,其中a>
0,记值为A.
（Ⅰ）求f'
（x）;
（Ⅱ）求A;
f（x）的最大
（Ⅲ）证明
f'
（x）≤2A.
14．（2016高考数学课标Ⅱ卷理科）（本小题满分12分）（I）讨论函数f（x）=
x-2ex
x+2
的单调性，并证明当
x>
0时，（x-2）ex+x+2>
（II）证明：
当a∈[0,1）
时，函数（g
ex-ax-a
x）=（x>
0）
x2
有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求
函数h（a）的值域．
15．（2016高考数学课标Ⅰ卷理科）（本小题满分12分）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点．
（I）求a的取值范围；
（II）设x1,x2是f（x）的两个零点，证明：
x1+x2<
2．
16．（2015高考数学新课标2理科）（本题满分12分）设函数f（x）=emx+x2-mx．
（Ⅰ）证明：
f（x）在（-∞,0）单调递减，在（0,+∞）单调递增；
（Ⅱ）若对于任意x1,x2∈[-1,1]，都有f（x1）-f（x2）≤e-1，求m的取值范围．
17．（2015高考数学新课标1理科）（本小题满分12分）
已知函数f（x）=x3+ax+1,g（x）=-lnx
4
（Ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线y=
f（x）
的切线；
（Ⅱ）用min{m,n}
点的个数．
表示m,n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x）,g（x）
}（x>
，讨论h（x）零
18．（2014高考数学课标2理科）（本小题满分12分）已知函数f（x）=ex-e-x-2x．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=f（2x）-4bf（x），当x>
0时，g（x）>
0,求b的最大值；
（Ⅲ）已知1.4142<
<
1.4143，估计ln2的近似值（精确到0．001）
bex-1
19．（2014高考数学课标1理科）设函数f（x）=aexlnx+,曲线y=
f（x）在点（1,f
（1））处的切线
y=e（x-1）+2．
（1）求a,b;
（2）证明:
f（x）>
1．
20．（2013高考数学新课标2理科）已知函数f（x）=ex
-ln（x+m）．
（1）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；
（2）当m≤2时，证明f（x）>
0．
21．（2013高考数学新课标1理科）已知函数f（x）＝x2+ax+b，g（x）＝ex（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2
（Ⅰ）求a，b，c，d的值（Ⅱ）若x≥－2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围。
22．（2012高考数学新课标理科）已知函数f（x）满足满足f（x）=
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若f（x）≥1x2+ax+b，求（a+1）b的最大值．
（1）ex-1-f（0）x+1x2．
2012-2020全国卷高考真题分类汇编导数大题专项练习（原卷+解析）参考答案
1．
（1）当x∈（-∞,0）时，f'
（x）<
0,f（x）单调递减，当x∈（0,+∞）时，f'
（x）>
0,f（x）单调递增．
（2）
⎡7-e2⎫
⎢4,+∞⎪
⎣⎭
【解析】
（1）当a=1时，f（x）=ex+x2-x，f'
（x）=ex+2x-1，
由于f'
（x）=ex+2>
0，故f'
（x）单调递增，注意到f'
（0）=0，故：
当x∈（-∞,0）时，f'
0,f（x）单调递减，
当x∈（0,+∞）时，f'
（x）>
0,f（x）单调递增．
（2）由f（x）≥1x3+1得，ex+ax2-x1x3+1，其中x≥0，
22
①．当x=0时，不等式为：
1≥1，显然成立，符合题意；
ex-1x3-x-1
②．当x>
0时，分离参数a得，a-2，
ex-1x3-x-1
（x-2）⎛ex-1x2-x-1⎫
记2，
2⎪，
g（x）=-
g'
（x）=-⎝⎭
x3
令h（x）=ex-1x2-x-1（x≥0），
则h'
（x）=ex-x-1，h'
（x）=ex-1≥0，故h'
（x）单调递增，h'
（x）≥h'
（0）=0，故函数h（x）单调递增，h（x）≥h（0）=0，
由h（x）≥0可得：
ex-1x2-x-10恒成立，
故当x∈（0,2）时，g¢
（x）>
0，g（x）单调递增；
当x∈（2,+∞）时，g¢
（x）<
0，g（x）单调递减；
因此，⎡⎣g（x）⎤⎦max=g
（2）=
7-e2
综上可得，实数a的取值范围是⎢4,+∞⎪．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；
已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．
2．
（1）当x∈⎛0,π⎫时，f'
0,f（x）单调递增，当x∈⎛π,2π⎫时，f'
3⎪ç
33⎪
⎝⎭⎝⎭
当x∈⎛2π,π⎫时，f'
0,f（x）单调递增．
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
3⎪
解析：
（1）由函数的解析式可得：
f（x）=2sin3xcosx，则：
（x）=2（3sin2xcos2x-sin4x）=2sin2x（3cos2x-sin2x）
=2sin2x（4cos2x-1）=2sin2x（2cosx+1）（2cosx-1），
（x）=0在x∈（0,π）上的根为：
x
=π,x
=2π，
1323
当x∈⎛0,π⎫时，f'
0,f（x）单调递增，
3⎪
当x∈⎛π,2π⎫时，f'
0,f（x）单调递增
（2）注意到f（x+π）=sin2（x+π）sin⎣⎡2（x+π）⎤⎦=sin2xsin2x=
故函数f（x）是周期为π的函数，
结合
（1）的结论，计算可得：
f（0）=f（π）=0，
f（x），
3
⨯
⎛π⎫
⎛3⎫2
⎛2π⎫
⎛3⎫2⎛3⎫
fç
3⎪=ç
2⎪2=8
，fç
3⎪=ç
2
⎪⨯ç
-
2⎪=-8，
据此可得：
⎡⎣f（x）⎤⎦max=
，⎡⎣f（x）
=-33，
min8
即f（x）≤．
（3）结合
（2）的结论有：
sin2xsin22xsin24xsin22nx
=⎡⎣sin3xsin32xsin34xsin32nx⎤⎦3
=⎡⎣sinx（sin2xsin2x）（sin22xsin4x）（sin22n-1xsin2nx）sin22nx⎤⎦3
≤⎡sinx⨯33⨯33⨯⨯33⨯sin22nx⎤3
⎢888⎥
⎣⎦
⎡⎛33⎫n⎤3
⎛3⎫n
≤⎢ç
⎪⎥
=ç
4⎪．
⎢⎣⎝
8⎭⎥⎦⎝⎭
3．
（1）b=-3；
（2）证明见解析
（1）因为f'
（x）=3x2+b，
1⎛1⎫2
由题意，f'
（）=0，即3⨯ç
⎪
+b=0
则b=-3；
⎝2⎭
（2）由
（1）可得f（x）=x3-3x+c，
（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），
422
令f'
（x）>
0，得x>
1或x<
-1；
（x）<
0，得-1<
1，
2222
）
（,
所以f（x）在（-11上单调递减，在（-∞,-1），1
+∞）上单调递增，
2222
f（）
且f（-1）=c-1,f（-1）=c+11=c-1,f
（1）=c+1，
424244
若f（x）所有零点中存在一个绝对值大于1的零点x0，则f（-1）>
0或f
（1）<
0，
即c>
1或c<
-1．
44
当c>
1时，f（-1）=c-1>
0,f（-1）=c+1>
0,f
（1）=c-1>
0,f
（1）=c+1>
4424244
又f（-4c）=-64c3+3c+c=4c（1-16c2）<
由零点存在性定理知f（x）在（-4c,-1）上存在唯一一个零点x0，
即f（x）在（-∞,-1）上存在唯一一个零点，在（-1,+∞）上不存在零点，
此时f（x）不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
当c<
-1时，f（-1）=c-1<
0,f（-1）=c+1<
1=c-1<
0,f
（1）=c+1<
0,f（）
又f（-4c）=64c3+3c+c=4c（1-16c2）>
由零点存在性定理知f（x）在（1,-4c）上存在唯一一个零点x'
，
即f（x）在（1,+∞）上存在唯一一个零点，在（-∞,1）上不存在零点，此时f（x）不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
综上，f（x）所有零点的绝对值都不大于1．
【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题．
4．【答案】
（1）见详解；
（2）a=0，b=-1或a=4，b=1．
【官方解析】
（1）f'
（x）=6x2-2ax=2x（3x-a）．
（x）=0，得x=0或x=a．
，
若a>
0，则当x∈（-∞,0）（a,
+∞）时，f'
0；
当x∈（0
a）时，f'
0．故f（x）3
在（-∞,0）
（a,+∞）单调递增，在
a
（0,）单调递减；
若a=0时，f（x）在（-∞,+∞）单调递增；
若a<
0，则当x∈（-∞,a）（0,+∞）时，f'
当x∈（a
，0）时，f'
0．故f（x）
在（-∞,a）
，（0,+∞）单调递增，在（a，0）单调递减．
（2）满足题设条件的a,b存在．
（ⅰ）当a≤0时，由
（1）知，f（x）在[0,1]单调递增，所以f（x）在区间[0,1]的最小值为f（0）=b，最大值为f
（1）=2-a+b．此时a,b满足题设条件当且仅当b=-1,2-a+b=1，即a=0,b=-1．
（ⅱ）当a≥3时，由
（1）知，f（x）在[0,1]单调递减，所以f（x）在区间[0,1]的最大值为f（0）=b，最小值为f
（1）=2-a+b．此时a,b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1,b=1，即a=4,b=1．
b
（ⅲ）当0<
a<
3时，由
（1）知，f（x）在[0,1]的最小值为f（a）=-a3+，最大值为b或2-a+b．
若-+b=-1，b=1，则a=332，与0<
3矛盾．
27
a3
327
若-+b=-1，2-a+b=1，则a=327
或-3
或a=0，与0<
综上，当且仅当a=0，b=-1或a=4，b=1，f（x）在[0,1]的最小值为-1，最大值为1．
【点评】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，计算量略大．
5．【答案】
（1）函数f（x）在（0,1）和（1,+∞）上是单调增函数，证明见解析；
（2）证明见解析.
（1）f（x）的定义域为（0,1）（1,+∞）.
因为f'
（x）=1+
（x-1）2
>
0，所以f（x）在（0,1）和（1,+∞）上是单调递增.
因为f（e）=1-e+1<
0，f（e2）=-e2+1=e2-3>
e-1
2e2-1e2-10
所以f（x）在（1,+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．
又0<
1<
1，f⎛1⎫=-lnx
+x1+1=-f（x）=0，故f（x）在（0,1）有唯一零点1．
xç
x⎪
1x-11x
1⎝1⎭11
综上，f（x）有且仅有两个零点．
（2）因为1=e-lnx0，故点B⎛-lnx,1⎫在曲线y=ex上．
0x⎪
0⎝0⎭
由题设知f（x）=0，即lnx
=x0+1，
00-1
1-lnx1
-x0+1
x0xx-11
故直线AB的斜率k=0=00=．
-lnx0-x0-x0+1-xx0
x0-1
曲线y=ex在点B⎛-lnx,1⎫处切线的斜率是1，曲线y=lnx在点A（x,lnx）处切线的斜率也
0x⎪x00
⎝0⎭0
是，所以曲线y=lnx在点A（x0,lnx0）处的切线也是曲线y=ex的切线．
x0
【分析】
（1）对函数f（x）求导，结合定义域，判断函数的单调性；
（2）先求出曲线y=lnx在A（x0,lnx0）处的切线l，然后求出当曲线y=ex切线的斜率与l斜率相等
时，证明曲线y=ex切线l'
在纵轴上的截距与l在纵轴的截距相等即可.
x+1'
x2+1
（1）函数f（x）的定义域为（0,1）（1,+∞），f（x）=lnx-x-1⇒f
（x）=，因为
x（x-1）2
函数f（x）的定义域为（0,1）（1,+∞），所以f'
0，因此函数f（x）在（0,1）和（1,+∞）上是单调增
函数；
1+1
当x∈（0,1），时，x→0,y→-∞，而f
（1）=ln1-e=2>
0，显然当x∈（0,1），函数f（x）
ee1-1
e
有零点，而函数f（x）在x∈（0,1）上单调递增，故当x∈（0,1）时，函数f（x）有唯一的零点；
x∈（1,+∞）
e+1-2
22e2+1
e2-3
当时，f（e）=lne-=<
0,f（e
）=lne
-=>
e-1e-1
e2-1e2
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