学年江苏省淮安市清江中学等四校高一第二学期期中联考数学试题解析版.docx

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学年江苏省淮安市清江中学等四校高一第二学期期中联考数学试题解析版

2018-2019学年江苏省淮安市清江中学等四校高一第二学期期中联考数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由直线方程求出直线的斜率，再由斜率是倾斜角的正切值求解．

【详解】

由直线x﹣y+3＝0，得其斜率为k＝1，

设直线的倾斜角为θ（0≤θ＜π），

由tanθ＝1，得θ．

故选：

A．

【点睛】

本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．

2．在△ABC中，，则等于（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】设A＝k，B＝2k，C＝3k，由，得6k＝180°，k＝30°，∴A＝30°，B＝60°，C＝90°，∴a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝1∶∶2．故选C．

3．如图，在正方体中，直线与的位置关系是（）

A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直

【答案】D

【解析】由图形可知，两条直线既不相交也不平行，所以是异面直线，故选D.

4．棱长和底面边长均为1的正四棱锥的体积为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】底面边长和侧棱长均为1的正四棱锥S﹣ABCD中，连结AC、BD交于点O，连结SO，则SO⊥底面ABCD，AO，，由此能求出正四棱锥的体积．

【详解】

如图，底面边长和侧棱长均为1的正四棱锥S﹣ABCD中，

连结AC、BD交于点O，连结SO，

则SO⊥底面ABCD，

S正方形ABCD＝AB•BC＝1×1＝1，

AO，

，

∴正四棱锥的体积：

V．

故答案为：

C．

【点睛】

本题考查正四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

5．若直线过第一、三、四象限，则实数满足（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】根据题意画出图形，结合图形知a＞0且b＞0．

【详解】

直线过第一、三、四象限，如图所示；

则a＞0，-b＜0．

即a＞0且b＞0．

故选：

C．

【点睛】

本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．

6．在△ABC中，角的对边分别为a，b，c,若，则（）

A．B．C．3D．

【答案】C

【解析】由3bcosC＝c（1﹣3cosB）．利用正弦定理可得3sinBcosC＝sinC（1﹣3cosB），化简整理即可得出．

【详解】

由正弦定理，设，

∵3bcosC＝c（1﹣3cosB）．

∴3sinBcosC＝sinC（1﹣3cosB），

化简可得sinC＝3sin（B+C）

又A+B+C＝π，

∴sinC＝3sinA，

∴因此sinC：

sinA＝3：

1．

故选：

C．

【点睛】

本题考查了正弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

7．已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）

A.若则B.若，则

C.若，则D.若，则

【答案】D

【解析】试题分析：

由A选项若.则直线可能是异面、相交或平行三种位置关系都可以.所以A不正确.选项B若，则直线可以垂直也可以不垂直.所以B选项不正确.选项C若，，则直线平行.所以C选项不正确.因为，则成立.所以选D.

【考点】1.直线与平面的位置关系.2.平面与平面的位置关系.3.空间想象能力.

8．已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（）

A．24B．20C．0D．

【答案】B

【解析】∵两直线互相垂直，∴k1·k2＝－1，

∴－·＝－1，∴m＝10.又∵垂足为（1，p），

∴代入直线10x＋4y－2＝0得p＝－2，

将（1，－2）代入直线2x－5y＋n＝0得n＝－12，

∴m－n＋p＝20.

故答案选B。

9．如图，四边形是边长为1的正方形，，，且，为的中点．则下列结论中不正确的是（　　）

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】由题意，取中点，易知就是二面角的平面角，有条件可知，，所以平面与平面不垂直，故C错误。

故选C。

10．已知点，O为坐标原点，P，Q分别在线段AB,BO上运动，则△MPQ的周长的最小值为（）

A．4B．5C．D．

【答案】C

【解析】分别作点M关于AB和OB的对称点M1，M2，则周长的最小值就是M1与M2两点间的距离．

【详解】

过M（1，0）作直线AB的垂线，并延长到M1，连接PM1；过M作直线OB的垂线，并延长到M2，连接QM2，

则PM＝PM1，QM＝QM2，

所以△MPQ的周长为：

PQ+PM+QM＝PQ+PM1+QM2≥M1M2，当且仅当M1、P、Q、M2四点共线时等号成立，直线，

设根据对称性知道：

求得M1（3，2），M2（﹣1，0）

所以M1M2

故选：

C．

【点睛】

本题考查了点关于直线对称的问题，属基础题．点关于直线的对称点的求法，通常设出对称点的坐标，之后根据两点的中点在对称直线上，以及两点的斜率和已知对称直线互为负倒数，列出两个方程求解对称点即可.

二、填空题

11．过点（1,0）且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程是______________．

【答案】

【解析】根据题干可得到直线的斜率，再由点斜式方程的写法得到结果.

【详解】

过点（1,0）且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程,可知直线的斜率为-2，根据点斜式方程的写法可得到直线方程为：

.整理成一般式得到：

故答案为：

【点睛】

这个题目考查了已知直线的位置关系，求直线方程，属于基础题目.

12．在△ABC中,已知30,则B等于__________。

【答案】

【解析】根据三角形正弦定理得到角，再由三角形内角和关系得到结果.

【详解】

根据三角形的正弦定理得到，

故得到角，当角时，有三角形内角和为，得到，

当角时，角

故答案为：

【点睛】

在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

13．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．

【答案】2

【解析】设展开的半圆的半径为，底面圆的半径为，圆锥的表面积为侧面积加底面积，列式得到，

【详解】

设展开的半圆的半径为，底面圆的半径为，圆锥的表面积为侧面积加底面积，

侧面积就是这个半圆的面积：

，底面积为：

，因为半圆的弧长等于底面圆周的周长，故，根据表面积为3π得到：

故底面直径为：

2.

故答案为：

2.

【点睛】

这个题目考查了扇形的面积公式和圆锥的表面积的组成，属于简单题.

14．已知点（x，y）在直线2x＋y＋5＝0上运动，则的最小值是________.

【答案】

【解析】x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5＝0上的点与原点连线长度的平方最小值，由点到直线的距离公式可得．

【详解】

x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5＝0上的点与原点连线长度的平方最小值，

即为原点到该直线的距离平方d2，

可看成直线2x+y+5＝0上的点与原点连线的长度，由点到直线的距离公式易得d．

∴的最小值为，

故答案为：

.

【点睛】

本题考查点到直线的距离公式，转化是解决问题的关键，属基础题．

15．三棱柱中，两两成角，点分别为线段上的点，且，则三棱锥的体积与三棱柱体积之比为_________。

【答案】

【解析】根据题干和体积公式，用得到相应的体积表达式，进而得到比值.

【详解】

设棱柱的高为：

，棱锥的高为，

棱锥的体积是，三棱锥的体积等于

设三角形的高为，根据E点为中点得到三角形的高为，

三棱锥的体积等于

棱柱的体积为：

故体积之比为：

.

故答案为：

【点睛】

这个题目考查了三棱锥的体积的公式，棱柱的体积公式的应用，属于基础题.

16．在中，，则．

【答案】

【解析】试题分析：

，因此

所以

【考点】正余弦定理

【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：

定条件

即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.

第二步：

定工具

即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.

第三步：

求结果.

三、解答题

17．如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

求证：

（1）PB∥平面AEC；

（2）平面PCD⊥平面PAD．

【答案】

（1）详证见解析；

（2）详证见解析.

【解析】

（1）可通过连接交于，通过中位线证明和平行得证平面。

（2）可通过正方形得证，通过平面得证，然后通过线面垂直得证面面垂直。

【详解】

（1）证明：

连交于O,

因为四边形是正方形,

所以,

连，则是三角形的中位线,,

平面，平面

所以平面.

（2）因为平面,

所以,

因为是正方形，所以,

所以平面,

所以平面平面.

【点睛】

证明线面平行可通过线线平行得证，证明面面垂直可通过线面垂直得证。

18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）求角C；

（2）若，△ABC的面积为，求的值。

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】试题分析：

（1）利用二倍角公式和正弦定理把化成，从而得到，也就是.

（2）利用面积公式和余弦定理可以得到以及，配凑后得到也就是.

解析：

（1）由，得，由正弦定理得，∵，，∴，∵角为的内角，∴.

（2）∵，的面积为，∴，即，①，∵，由余弦定理得，即，②，将①代入②得，∴.

19．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为

（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标；

（2）求四边形ABCD的面积

（3）求的平分线所在直线方程。

【答案】

（1）；

（2）24；（3）.

【解析】

（1）根据中点坐标公式得到结果；

（2）以为底，有点线距离求得四边形的高，进而得到面积；（3）根据正弦定理得到,再由向量坐标化得到点E的坐标，进而得到直线方程.

【详解】

（1）AC中点为，

该点也为BD中点，设，根据中点坐标公式得到：

解得：

；

（2）故得到斜率为：

，

代入点坐标可得到直线BC：

，

∴A到BC的距离为，

又根据两点间距离公式得到：

，∴四边形ABCD的面积为.

（3）在三角形ACD中，设的平分线与CD交于点E，

由角平分线定理可得,所以，设

从而E的坐标为，又，所以所求的方程为。

【点睛】

这个题目考查了直线方程的求法，点斜式方程的写法，以及点线距离公式的应用，角平分线定理的证明，即通过正弦定理得证的结论，属于有一定的综合性的题目.

20．如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形.已知，，.

（1）设是上的一点，证明：

平面平面；

（2）当点位于线段什么位置时，平面？

（3）求四棱锥的体积.

【答案】

（1）见解析

（2）M点位于线段PC靠近C点的