离散数学习题.docx
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离散数学习题
第一篇绪论
内容：
（三句话）
典型题例：
1、离散数学是计算机科学所涉及的和的
总称。
2、离散数学是数学中的一个分支，它以作为其
主要研究对象，非常重视问题的研究。
3、要解决一个问题，首先要证明此问题解的，
还需要找出得到此问题的步骤来，而且其步骤必须是，有规则的，这就是所谓“能行性”问题的研
究。
第二篇集合论
内容:
典型题例:
1、设集合Ba，3,4,2，那么下列命题中正确的
5、设A123,4,B2,4,6,9，那么集合A,B的对称差
A+B=。
A1,3B、2,4,6C、1,3,6,9D、1,2,3,4,6,9
6、集合Xa,b,c,d,e,X上的一个划分{a,b},{c,d}{e}，那
么所对应的等价关系R应有有个序偶。
A、8B、9C、10D、13
7、设集合B1,2,3上的二元关系R（1,1）,（3,3），则R不具
有。
A、传递性B、自反性C、对称性D、反对称性
8、设集合X1,2,3,4,X上的关系R（1,1）,（2.3）,（2,4）,（3,4）,
则R具有。
A、自反性B、非自反性C、对称性D、传递性
9、设集合A1,2,3,4,A上的二元关系R（1,2）,（1,4）,（2,4）,（3,3）,
（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,2），贝卩关系（1,4）,（2,4）。
A、RSB、RSC、RSD、RS
10、设集合Xa,b,c,1,2和3都是x上的二元关系，其
中1（a,b）,（b,a）,（c,c）2（a,c）,（b,b）,（c,b）
3（a,c）,（b,a）,（c,a），贝y3o
A、21B、12C、11D、22
11、Aa,b,c,d,B{,}，那么可以定义种不同的从A到B的映射。
A、8B、16C、32D、64
2
12、设R是实数集，函数f：
RR,f（x）（x2）,则f是—
A、单射B、满射C、双射D、既不是单射，也不是满射
13、设R是实数集，映射f:
RR,f（r）2r8，则f是
A、单射B、满射C、双射D、都不是
14、设x246,，集合的这种表示方法称为:
Y={x|x是正偶数}，集合的这种表示方法称为
15、
设全集
E
a,b,c,d,e
Aa,b,c
Ba,d,e，则：
〜A
〜B
A+B=
。
16
、A
B,C为
任意
三集合
三集口，
则
A
（BC）
（AB）C
。
17、
{}
{,{a}}
。
18、
设A
a
，则（A）
。
19、
设集合
A
2,3,4,6,9,12,18
R是A上的整除关系，则
A
的极大兀是
，极小元是
。
20、
设集合
X
2,3,4,5,6,8,9,10
R是X上的整除关系，则
X
的极大兀是
，极小元是
。
21
、对
于
个关
系R,
它可能
具
/、
有
、
、
、
、
等
五种性质。
22
、
对
于
个等
价关
系
R（1,1）,（1,3）,（2,2）,（2,4）,（3,1）,（3,3）,（4,2）,（4,4）,则它
对应的等价类为。
23、设集合Aa,b,c,d,e,A上的等价关系
R（a,a）,（a,d）,（b,b）,（b,e）,（c,c）,（d,a）,（d,d）,（e,b）,（e,e），贝y它所对应的等价类为。
24、设集合A1,2,3,4,5,6,7,A上的一个划分
{1,3,5,7},{2,4,6}，那么冗所对应的等价关系R应有
个序偶。
25、凡与自然数集等势的集合都是可列集，那么整数集Z
是，实数集R是。
26、一集合为无限集，则它必含有与其的真子集，在
无限集中，最小的无限集是，其次是。
27、集合A={a,b,c}的幕集p（A）上的“”关系是一个偏
序关系，设B={{a,b},{b,c},{b},{c},①，贝UB的极大元素
为,极小元为,上确界
为，下确界为。
28、设A,B为有限集，且Am,Bn,那么A与B间存在双射，当且仅当。
29、设集合A1,2,3,4,5,Ba,b，则从A到B的所有映射
有个，其中满射有个。
30、设集合Aa，b,c，B1,2,3，则从a到B的所有映射有个，其中双射有个。
31、证明题
设A,B,C为任意集合，试证明：
A（BC）（AB）（AC）o
32、简答题
试解释偏序关系和等价关系的概念，并给出一个集合上的关系，使它既是偏序关系又是等价关系。
33、设N1,2，，并设〜是NXN上的关系，其定义为：
若ad=bc,则有（a,b）〜（c,d），试证明：
〜是一个等价关系。
34、计算题
1、
设集合A
a
B1,2,3,
C，求：
（A）A,A
B,A
BCo
2、
设集合A
a,b
B1,2,3
•>
C3,4，求：
AA,AB
A
C
o
3、
设集合A
a,b
B0,1
C，求：
A2B,（BA）
2,a
BC
o
4、
设集合A1,2,3,4
A
上二元关系R
（a,b）ba2,
S（a,b）ba1或ba/2，求
（1）复合关系RS,SR,
（2）求R与RS的逆关系的关系矩阵。
5、集合Aa,b,c,d,R（a,a）,（b,a）,（b,c）,（b,d）,（d,d）,求rR,sR和tRo
6、设集合Aa,b,c,d,e,A的二元关系
R（a,a）,（a,b）,（a,c）,（a,d）,（a,e）,（b,b）,（b,e）,（c,c）,（c,e）,（d,d）,（d,e）,（e,e）
（1）画出偏序集（AR）的哈斯图；
（2）写出A的最大元、最小元；
（3）判定偏序集（A,R）是不是格？
元素b的补元素是什么？
7、设Sa,b,c,d,e,f,S上的偏序关系R={（a,a）,（b,a）,
（b,b）,（c,a）,（c,c）,（d,a）,（d,b）,（d,c）,（d,d）,（e,a）,
（e,c）,（e,e）,（f,f）}。
（1）试画出偏序集（S，R）的哈斯图；
（2）写出（S，R）的最大（小）元，极大（小）元。
第二篇代数系统
内容:
典型题例:
1、下面的代数系统（G*）中，不是群
的子群的是。
32
A、aB、a,eC、e,aD、e,a,a
3、下面的代数系统（
G*）中，
*是普通加法运算，则
不是群。
A、G为有理数集合
B
、G为整数集合
C、G为实数集合
D
、G为自然数集合
4、设（R,,）是环，（S,,）是它的子代数，（S,,）是（R,,）的子环的充要条件是。
A、对a,bS,都有abSB、对a,bS,都有ab1S
C、对aS,都有a1SD、存在单位元
5、下面的代数系统（G,*）中，不是群
A、G为n阶方阵的集合，*为矩阵乘法
B、G为有理数集合，*为加法
C、G为整数集，*为加法
D、G为偶数集，*为加法
6、一个群G,,而h是G的子集，那么H,是G,的子群的充要条件是。
A、
aH,贝yaHB
、a,bH,贝yabH
C、
a,bH,则ab1HD
、存在单位兀，存在逆兀
7、在群
Z8,8中，其单位兀为
［2］的逆兀素
为
，而⑵的周期为
。
&在群
Z5,5中，其单位兀为
，所有可能的子
群为
。
9、设集合A123,4上的两个变换与分别为：
1341234，则=。
1324’3412’
10、集合A1,2,345,6上的两个变换与分别为
123456123456
314652231465贝寸=。
11、在群Z6,6中，其单位元为,［2］的逆元素为—
―,而［2］的周期为。
12、集合Aa,b,c,d,e上的两个变换与分别为
abcdeabcde
bcdeacbdae贝y=。
13、设A246,8，二元运算*定义为a*b=min（a,b）,那么在（A,
*）中，单位元是，零元是。
14、在群Z5,5中，其单位元为，所有可能的子群为
（3）Q,有单位元吗？
单位元是什么？
（4）Q,中每个元素有逆元素吗？
任一元素a的逆元素是什么？
2、设Q为有理数集，在Q上定义集合Q5ab5a，bQ,运算*是普通乘法。
（1）Q码,*是代数系统吗？
（2）Q-.5,*是半群吗？
是可换半群吗？
（3）Q'5*有单位元吗？
单位元是什么？
（4）Q5，*中每个元素有逆元素吗？
任一元素
a5的逆元素是什么？
3、设Z是正整数集，a，bZ，ablcm（a，b）（即a,b的最小公倍数），试问：
（1）（Z，）是半群吗？
（2）（Z，）有单位元吗？
单位元是什么？
（3）（Z，）是否每个元素都有逆元素？
16、计算题：
1、求（Zi2,12）中子群H=｛［0］，［3］，［6］，［9］｝的左、右陪集，并问左、右陪集是否相等？
。
2、找出（乙2,12）的所有子群。
14、试证若群（G*）的每个元素的逆元素都是它自己，则该群必是可换群。
第四篇图论
内容：
典型题例：
1、设6是由5个顶点组成的完全图，则从G中删去条边可以得到树。
A10B、5C、4D、6
2、一有向图G=＜V,E＞，其对应的邻接矩阵为A（aQnn，则对于vnV，它的引入次数为。
nnn
A、akiB、aikC、（akiaik）D、akiaik
k1k1k1k1k1
3、设连通图G=＜V,E＞，其中Vn,Em，则要删去G中条边，才能确定G的一棵生成树。
A、n-m-1B、n-m+1C、m-n+1D、m-n-1
4、无向连通图G中结点Vi和Vj间存在欧拉通路的充要条件是
G中Vi和Vj的次数均为，而其他结点的次数
为。
5、一个有向（n,m）图中任何基本通路长度均小于或等
于，而任何基本回路长度均小于或等
于。
6、在图G=vV，E＞中，结点次数与边数的关系
7、在有向图的邻接矩阵A（3j）nn中，第i行元素之和
为，而BA3中的任一个元素bj代表的含
义为。
&D是具有结点V1,V2,V3的有向图，它的邻接矩阵表示如下：
101
A001
100
（1）D是单向连通的，还是强连通的？
（2）求从V到v3，长度为3的通路数。
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