高斯小学奥数四年级上册含答案第10讲游戏策略Word文档下载推荐.docx

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的倍数枚棋子——必败状态，则可保证取到最后的一枚棋子而获胜．

例题2

现有2014根火柴．甲、乙两个人轮流从中取出火柴，规定甲先取，每人每次至少从中取出2根，最多取出4根．如果谁无法取出火柴谁就赢，请问谁一定能赢？

策略是什么？

「分析」本题中每人每次最少要取出2根火柴，如果恰好剩下1根火柴，就已经无法再次取出了．能否像例题1那样，从火柴较少的情况入手，找出规律呢？

练习2

现有2009个糖豆，甲、乙两个人轮流取从中出糖豆，每次至少从中取出2个，最多取出5个，谁无法取出糖豆谁就赢．如果甲先取，请问谁一定能赢？

在一定能分出胜负的对策问题中，一方要么处于必胜状态，要么处于必败状态．处于必胜状态的一方，总能进行一次适当的操作后，把必败状态留给对手．反之，处于必败状态的一方，无论采取什么策略，都只能把必胜状态留给对手．

在很多对策问题中，具有对称性的状态往往是解决问题的关键．

例题3

甲、乙两人玩一个游戏：

有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可．规定取到最后一个球的人赢，甲先取球．如果开始时两堆分别有五个球和八个球，那么谁有必胜策略？

请说明理由．

「分析」直接考虑5个和8个并不容易，你能像之前一样，从最简单的情况开始分析，找到规律吗？

练习3

甲、乙两个海盗分金币：

有两堆金币，一堆有2009枚，一堆有2014枚．甲、乙轮流从中拿金币，每次只能从同一堆中拿，个数不为零即可．规定拿到最后一枚金币的人获胜，胜者可以获得所有金币．如果甲先拿，那么谁有必胜策略？

B

A

例题4

如下图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°

角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：

谁一定能获胜？

「分析」在棋盘中，有一些是必胜格，有一些是必败格．一方想要获胜，必须每次都把棋子走到必胜格子中，使得对手下一步无论采取什么操作，都不得不进入必败格子．本题中方格B就是必胜格．那么其他的格子中哪些是必胜格？

哪些是必败格？

练习4

如右图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°

谁有必胜策略？

例题5

如下图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿

（1）谁一定能获胜？

（2）如果每次允许往同一方向（上、右或右上）走任意多步，结果又如何呢？

「分析」第

（1）问中，每次只能走1步，那么B为必胜格，则它相邻的左、下、左下三个格子全是必败格；

第

（2）问中，每次可以走任意多步，那么B为必胜格，则由B可以直接找出多少个必败格呢？

例题6

桌上有一块巧克力，它被直线划分成3行7列的21个小方块，如图所示．现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：

①每人每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；

②拿走其中一块，把另一块留给对手再切；

③不断重复前两步，最后谁能恰好留给对手一个小方块，谁获胜．

如果你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能保证自己最后获胜？

「分析」直接分析并不容易，还是先来看看简单情况吧！

如果只有一行或一列的小方块，谁会获胜？

两行或两列呢？

你能发现什么规律呢？

在对策问题中，要想取得胜利，必须使自己能始终保持在必胜状态中，而使对手总是处于必败状态．明确了这一点，我们就知道了解决对策问题的关键在于弄清楚什么是必胜状态，什么是必败状态．“知己知彼，百战不殆．”哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利．

课堂内外

田忌赛马

田忌很喜欢赛马．有一回他和齐威王约定，进行一次比赛．

将马分成上、中、下三等，比赛的时候，上等马对上等马，中等马对中等马，下等马对下等马．由于齐威王每个等级都比田忌的强，三场比下来，田忌都失败

了．田忌觉得很扫兴，垂头丧气地准备离开赛马场．

这时，田忌发现，他的好朋友孙膑也在人群里．孙膑招呼田忌过来，拍着他的肩膀，说：

“从刚才的情形看，齐威王的马比你的马快不了多少呀……”

孙膑还没说完，田忌瞪了他一眼，说：

“想不到你也来挖苦我！

”

孙膑说：

“我不是挖苦你，你再同他赛一次，我有办法让你取胜．”

田忌疑惑地看着孙膑：

“你是说另换几匹马？

孙膑摇摇头，说：

“一匹也不用换．”

田忌没有信心地说：

“那还不是照样输！

孙膑胸有成竹地说：

“你就照我的主意办吧．”

齐威王正在得意洋洋地夸耀自己的马，看见田忌和孙膑过来了，便讥讽田忌：

“怎么，难道你还不服气？

田忌说：

“当然不服气，咱们再赛一次！

齐威王轻蔑地说：

“那就来吧！

一声锣响，赛马又开始了．

孙膑让田忌先用下等马对齐威王的上等马，第一场输了．

接着进行第二场比赛．孙膑让田忌拿上等马对齐威王的中等马，胜了第二场．齐威王有点儿心慌了．

第三场，田忌拿中等马对齐威王的下等马，又胜了一场．这下，

齐威王目瞪口呆了．

比赛结果，田忌胜两场输一场，赢了齐威王．

还是原来的马，只调换了一下出场顺序，就可以转败为胜．

作业

1.10枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，两个小朋友玩翻硬币游戏．规定：

每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻．两人轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人获胜．请问：

2.现有200个石子．甲、乙两个人轮流从中取出石子，每次最少从中取出2个，最多取出4个，谁无法取出石子谁就赢．如果甲先取，那么谁有必胜的策略？

3.甲、乙两人玩一个游戏：

有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取任意多个，但不能不取．规定取到最后一个球的人输，甲先取球．

（1）如果开始时两堆各有两个球，那么谁有必胜策略？

请说明理由；

（2）如果开始时两堆分别有两个球和三个球，那么谁有必胜策略？

4.甲、乙二人轮流在一个正十二边形中画对角线（即两个不相邻顶点的连线）．规定新画的对角线不能与已经画出的对角线相交，谁不能继续画谁输．甲先画，请问谁有必胜策略？

\

5.如下图所示，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿

1.例题1

答案：

（1）乙有必胜策略；

（2）甲有必胜策略

详解：

（1）如果剩不到4枚棋子，先取的人把所有棋子取走后获胜；

如果剩4枚棋子，无论先取的人如何取，所剩的棋子数都不到4枚，所以后取的人获胜；

如果有12枚棋子，甲取1枚时乙取3枚，甲取2枚时乙取2枚，甲取3枚时乙取1枚，在每次甲取完后，乙可以取适当数量的棋子以保证两人一个回合共取4枚棋子，这样乙可以拿到最后1枚，乙胜．

（2）如果剩1枚，那么先取的人必败；

如果剩2至4枚，先取的人可以剩1枚不取，所以后取的人败．12枚的情况与4枚的情况类似，甲先取3枚，剩下9枚．之后乙取1枚时甲取3枚，乙取2枚时甲取2枚，乙取3枚时甲取1枚，甲保证两人一个回合共取4枚棋子．最后1枚必然被乙拿到，甲胜．

2.例题2

甲有必胜策略

根据上题经验，第二个人总可以保证和第一个人共取6根火柴，

，所以2014根火柴的情况与4枚火柴的情况相同．4枚火柴时甲先取2根火柴即可获胜，因此2014根火柴时甲也先取2根火柴，之后乙无论怎么取，甲再取时都可以保证两人一个回合共取6根火柴．

，最后剩下的2根火柴留给了乙，甲无法取出火柴，甲获胜．

3.例题3

甲必胜

甲先从8个球的那堆中取出三个球，使得两堆球一样多．之后每次乙取几个球，甲就在另一堆中取相同数量的球，甲获胜．

4.例题4

我们给必胜格子（如方格B）标记“√”，给必败格子标记“×

”．从方格B逆推，能一步走到B的格子都要标记“×

”．特别地，最上边一行和最右边一列为“√”和“×

”相间的标记，如左图．对于左图中的格子1和格子3，对方有办法把它移到必胜格子中，所以格子1和格子3都是必败格子．如果把棋子移到格子2中，对手无论怎么移，都只能移到必败格子中，因此格子2是必胜格子．用类似的方法分析，得到右图．因此甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子中即可．

5.例题5

（1）甲必胜；

（2）甲必胜

（1）我们给必胜格子（如方格B）标记“√”，给必败格子标记“×

”．从方格B逆推，

能一步走到B的格子都要标记“×

（2）与第

（1）问方法类似，得到下图．甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子中即可．

×

√

6.例题6

切走12个小方块

当只剩1行（或1列）时，但不是一个小方块，先切的人只要切剩下一个小方块就赢了．

当剩2行（或2列）时，如果剩

的方块，那么先切的人切完后成为

的方块，所以后切的人必胜；

如果剩

、

、…等情况，先切的人只要切剩下一个

的方块就可以取胜．

当剩3行（或3列）时，如果剩

的方块，先切的人切一刀后只能剩下

或

的方块，此时后切的人获胜．

当有

块时，先切的人切走

块，给对手留下一个

的正方形，接着每次都给对手留下一个

的正方形即可获胜．

7.练习1

（1）乙必胜；

（1）甲取1枚时乙取2枚，甲取2枚时乙取1枚，乙只要保证两人一个回合共取3枚棋子，即可拿到最后1枚获胜．

（2）甲先取2枚，剩下13枚．之后乙取1枚时甲取2枚，乙取2枚时甲取1枚，甲保证两人一个回合共取3枚棋子，最后1枚必然被乙拿到，甲胜．

8.练习2

，甲先取5个糖豆，之后乙无论怎么取，甲再取时都可以保证两人一个回合共取7个糖豆，最后剩下的2个糖豆留给了乙，甲无法再次取出糖豆，甲获胜．

9.练习3

甲必胜

简答：

甲先从2014个金币中取出5个金币，使两堆金币一样多．之后每次乙拿几个金币，甲就在另一堆中拿相同数量的金币，最后肯定甲拿走最后一个金币，甲获胜．

10.练习4

策略是每次把棋子走到下图中标有“√”的格子内．

11.作业1

先翻动的人必胜

先翻硬币的小朋友翻1枚硬币，以后对手翻1枚时自己翻2枚，对手翻2枚时自己翻1枚，保证两人一个回合共翻3枚，即可保证自己翻到最后1枚．

12.作业2

乙必胜

甲取2个乙就取4个，甲取3个乙也取3个，甲取4个乙就取2个．

，最后剩下2个石子，甲取完，乙无法再取，乙获胜．

13.作业3

（1）甲取1个乙就取2个，甲取2个乙就取1个．

（2）必胜策略是从三个球的那堆中取1个球，之后乙取1个甲就取2个，乙取2个甲就取1个．

14.作业4

策略是先画一条经过正十二边形中心的对角线，以它为对称轴，把图形分成对称的两部分．之后乙每画一条对角线，甲就在对称的位置上画出对角线．最后肯定是乙不能继续画，甲胜．

15.作业5