届北京市通州区高三模拟考试一文科数学试题.docx
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届北京市通州区高三模拟考试一文科数学试题
通州区2017年高三年级模拟考试
（一）
数学（文）试卷
2017年4月
本试卷分第I卷和第II卷两部分，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．已知集合，，且，那么实数的值是
A．2B．4C．2或4D．1或3
2．已知，那么下列不等式成立的是
A.B.C.D.
3．已知某程序框图如图所示，那么执行该程序后
输出的结果是
A．
B．
C．
D．
4．在正方体中，已知，分别是，的中点，过，，的截面截正方体所得的几何体，如图所示，那么该几何体的侧视图是
ABCD
5．设，，那么“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，
所得图象的一条对称轴方程可能是
A．B．C．D．
7．在正方形中，已知，是中点，那么等于
A．B．C．D．
8．李江同学在某商场运动品专柜买一件运动服，获100元的代金券一张，此代金券可以用于购买指定的价格分别为18元、30元、39元的3款运动袜，规定代金券必须一次性用完，且剩余额不能兑换成现金.李江同学不想再添现金，使代金券的利用率超过95﹪，不同的选择方式的种数是
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．
9．复数在复平面内对应的点在第_____象限．
10．某同学7次考试的分数的茎叶图如图所示，这名同学7次考试的分数的平均数是，那么_________.
11．圆心为，且与轴相切的圆的方程是__________.
12．已知双曲线的两个焦点分别为，，离心率为，那么双曲线的渐近线方程是_________；若点为双曲线右支上一点，则
13．如图，阴影部分（包括边界）为平面区域，若点
在区域内，则的最小值是______；
，满足的约束条件是_______.
14．已知函数在区间
上至少有2个零点，那么实数的取值范围是_______.
三、解答题：
本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（本题满分13分）
在中，角，，的对边分别是，，，已知，，的面积是
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
16．（本题满分13分）
组别
候车时间
人数
1
[0,5）
2
2
[5,10）
4
3
[10,15）
8
4
[15,20）
6
由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行.但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求.为此，某市公交公司在名乘客中进行随机抽样，共抽取人进行调查反馈，将他们的候车时间作为样本分成组，如表所示（单位：
分钟）：
（Ⅰ）估计这名乘客中候车时间少于分钟的人数；
（Ⅱ）若从上表第1组、第2组的6人中选2人进行问卷
调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率.
17．（本题满分13分）
已知数列是公差不为的等差数列，，且，，成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.
18．（本题满分14分）
如图，四棱柱中，底面，底面是梯形，，，
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求证：
平面平面；
（Ⅲ）在线段上是否存在一点，
使平面.若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.
19．（本题满分13分）
已知椭圆的左焦点是，上顶点是，且.过点的直线与椭圆交于，两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，求直线的方程．
20．（本题满分14分）
已知函数，.
（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）当，时，求证：
高三数学（文科）一模考试参考答案
2017年4月
一．选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
B
C
D
C
A
二．填空题：
9.四10.11.
12.，13.，14.
三．解答题：
15．（本小题13分）
解：
（Ⅰ）因为的面积是，，，
所以即
所以……………………5分
由余弦定理，
得
所以……………………9分
（Ⅱ）由正弦定理
所以……………………13分
16．（本题13分）
（Ⅰ）
所以估计这名乘客中候车时间不少于分钟的人数是人.………………4分
（Ⅱ）第1组有2人，分别记为，，第2组有4人，分别记为，，，，
……………………6分
所以人中选人，有，，，，，，，，，，，，，，共种情况，且每种情况出现的可能性相同.……………………10分
其中抽到的人恰好来自不同组的有，，，，，，，共种情况.……………………12分
所以抽到的人恰好来自不同组的概率是……………………13分
17．（本小题13分）
解：
（Ⅰ）因为数列是等差数列，设公差为，
所以……………………2分
因为，，成等比数列，
所以……………………3分
即
所以
所以，或……………………4分
因为，
所以……………………5分
所以……………………6分
（Ⅱ）因为，
所以……………………7分
所以
……………………10分
所以数列的前项和……………………13分
18．（本小题14分）
证明：
（Ⅰ）因为底面，所以底面，
因为底面，
所以……………………4分
（Ⅱ）因为底面是梯形，，，
所以不妨设，所以，
所以，
所以在中，
所以
所以
又因为所以平面
因为平面，
所以平面平面……………………9分
（Ⅲ）取线段的中点为点，连结,
所以，且
因为，
所以，且
所以四边形是平行四边形.
所以
又因为平面，平面，
所以平面
所以在线段上存在一点，使平面，且点是的中点.
……………………14分
19．（本小题13分）
解：
（Ⅰ）因为椭圆的左焦点是，且，
所以，
所以由，得
所以椭圆的标准方程是……………………4分
（Ⅱ）若直线的斜率不存在，显然不成立.……………………5分
若直线的斜率存在，设直线的斜率为，所以直线的方程是
联立方程组消去，得
……………………6分
设点，，
所以，……………………7分
因为，
所以……………………10分
所以，
所以
所以
所以……………………12分
所以直线的方程是，或.……………………13分
20．（本题14分）
解：
（Ⅰ）因为，所以
所以，
所以切线方程是……………………3分
（Ⅱ）因为，，
所以
所以……………………4分
1当时，
所以的单调递增区间是，无单减递增区间.……………………5分
②当时，令，得；令，得
……………………7分
所以的单调递增区间是，单减递增区间是.
……………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当，，的导数和函数值变化情况如下图
递减
极小值
递增
所以的最小值是……………………10分
令所以
因为，所以
所以
所以在上单调递减.……………………12分
所以
所以当，时，
综上所述，当，时，……………………14分
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