6．抛物线x2＝y的焦点到准线的距离是（ ）
A．2B．1
C.D.
答案 D
解析 抛物线标准方程x2＝2py（p>0）中p的几何意义为：
抛物线的焦点到准线的距离．又p＝，故选D.
7．已知双曲线－＝1的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ ）
A．x2－＝1B.－y2＝1
C．x2－y2＝1D.－＝1
答案 B
解析 抛物线y2＝4x的焦点为（，0），所以双曲线－＝1中c＝，＝，所以a＝3，b＝＝1，所求方程为－y2＝1，故选B.
8．已知抛物线y2＝2px（p>0）与双曲线－＝1有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（ ）
A.B.＋1
C.＋1D.
答案 B
解析 由抛物线与双曲线的焦点相同，得＝c.①
又A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，
则两曲线的半通径相等，得p＝.②
由①，②消去p，得b2＝2ac.
又∵c2＝a2＋b2，∴c2－a2－2ac＝0.
又∵双曲线的离心率e>1，
∴e2－2e－1＝0，∴e＝＋1.
9．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于（ ）
A.B．2
C.D．4
答案 C
解析 直线4kx－4y－k＝0，即y＝k（x－），可知直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点（，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝x1＋x2＋＝4.故x1＋x2＝，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是＋＝.
10.如图所示，过抛物线x2＝4py（p>0）焦点的直线依次交抛物线与圆x2＋（y－p）2＝p2于点A，B，C，D，则·的值是（ ）
A．8p2B．4p2
C．2p2D．p2
答案 D
解析 ||＝|AF|－p＝yA，||＝|DF|－p＝yB，||·||＝yAyB＝p2.因为，的方向相同，所以·＝||·||＝yAyB＝p2.
11．已知点M（－3,0），N（3,0），B（1,0），动圆C与直线MN切于点B，分别过点M，N且与圆C相切的两条直线相交于点P，则点P的轨迹方程为（ ）
A．x2－＝1（x>1）B．x2－＝1（x>0）
C．x2－＝1（x>0）D．x2－＝1（x>1）
答案 A
解析 如图，设两切线分别与圆切于点S，T，则|PM|－|PN|＝（|PS|＋|SM|）－（|PT|＋|TN|）＝|SM|－|TN|＝|BM|－|BN|＝2＝2a，所以所求曲线为双曲线的右支且不能与x轴相交，a＝1，c＝3，所以b2＝8，故点P的轨迹方程为x2－＝1（x>1）．
12．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（ ）
A．2B．3
C.D.
答案 B
解析 设出直线AB的方程，用分割法表示出△ABO的面积，将S△ABO＋S△AFO表示为某一变量的函数，选择适当方法求其最值．
设直线AB的方程为x＝ny＋m（如图），
A（x1，y1），B（x2，y2），∵·＝2，
∴x1x2＋y1y2＝2.
又y＝x1，y＝x2，∴y1y2＝－2.
联立得y2－ny－m＝0.
∴y1y2＝－m＝－2，∴m＝2，即点M（2,0）．
又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO＝|OM||y1|＋|OM||y2|＝y1－y2，
S△AFO＝|OF|·|y1|＝y1，
∴S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋y1
＝y1＋≥2＝3.
当且仅当y1＝时，等号成立．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．过点A（－1,0）且与直线2x－y＋1＝0平行的直线方程为________．
答案 2x－y＋2＝0
14．已知正方形ABCD，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为________．
答案 －1
解析 令|AB|＝2，则|AC|＝2.
∴在椭圆中，c＝1,2a＝2＋2⇒a＝1＋.
可得e＝＝＝－1.
15．已知以y＝±x为渐近线的双曲线D：
－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线D右支上任意一点，则的取值范围是________．
答案
解析 依题意，|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＋|PF2|≥2c，
所以0<≤＝.又双曲线的渐近线方程y＝±x，则＝.
因此e＝＝2，故0<≤.
16．已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）和圆O：
x2＋y2＝b2，若C上存在点P，使得过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，满足∠APB＝60°，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
答案 [，1）
解析 ∵OA⊥AP，由∠APB＝60°，知∠OPA＝30°.
∴|OP|＝2|OA|＝2b.设P（x，y），则
消去x，得y2＝.由y2≥0，得a2－4b2≥0.
即a2－4（a2－c2）≥0，≥，∴e≥.又e<1，
故椭圆C的离心率的取值范围是[，1）．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
过点P（3,0）作一条直线，使它夹在两直线l1：
2x－y－2＝0和l2：
x＋y＋3＝0间的线段AB恰好被P平分，求此直线的方程．
答案 8x－y－24＝0
解析 若直线AB无斜率，则其方程为x＝3，
它与两直线的交点分别为（3,4），（3，－6），这两点的中点为（3，－1）不是点P，不合题意．
所以直线AB必有斜率，设为k（k≠2且k≠－1），
则直线AB的方程为y＝k（x－3）．
由解得y1＝.
由解得y2＝.
据题意＝0，即＋＝0，解得k＝0或8.
当k＝0时，它与两直线的交点分别为（1,0），（－3,0），这两点的中点并不是点P，不符合题意，舍去．
当k＝8时，它与两直线的交点分别为（，），（，－），这两点的中点是点P，符合题意．
∴直线AB的方程为y＝8（x－3），即8x－y－24＝0.
18．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y＝4相切．
（1）求圆O的方程；
（2）圆O与x轴相交于A，B两点，圆O内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求·的取值范围．
答案
（1）x2＋y2＝4
（2）[－2,0）
解析
（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－y－4＝0的距离，即r＝＝2，得圆O的方程为x2＋y2＝4.
（2）不妨设A（x1,0），B（x2,0），x1由x2＝4，即得A（－2,0），B（2,0）．
设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得
·＝x2＋y2，即x2－y2＝2.
·＝（－2－x，－y）·（2－x，－y）＝x2－4＋y2＝2（y2－1）．
由于点P在圆O内，故由此得y2<1.
所以·的取值范围为[－2,0）．
19．（本小题满分12分）
已知椭圆C1：
＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
（1）求椭圆C2的方程；
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
答案
（1）＋＝1
（2）y＝±x
解析
（1）由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1（a>2），
其离心率为，故＝，解得a＝4.
故椭圆C2的方程为＋＝1.
（2）方法一：
A，B两点的坐标分别记为（xA，yA），（xB，yB），
由＝2及
（1）知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得（1＋4k2）x2＝4.
所以x＝.将y＝kx代入＋＝1中，得（4＋k2）x2＝16，所以x＝.又由＝2，得x＝4x，即＝，解得k＝±1.
故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
方法二：
A，B两点的坐标分别记为（xA，yA），（xB，yB），
由＝2及
（1）知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得（1＋4k2）x2＝4.
所以x＝.
由＝2，得x＝，y＝.
将x，y代入＋＝1中，得＝1，
即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1.
故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
20．（本小题满分12分）
已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C经过A（－7,5），B（－1，－1）两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线l：
y＝x＋m交双曲线C于M，N两点，且线段MN被圆E：
x2＋y2－12x＋n＝0（n∈R）三等分，求实数m，n的值．
答案
（1）2y2－x2＝1
（2）m＝－2，n＝26
解析
（1）设双曲线C的方程是λx2＋μy2＝1，依题意有解得所以所求双曲线的方程是2y2－x2＝1.
（2）将l：
y＝x＋m代入2y2－x2＝1，得
x2＋4mx＋（2m2－1）＝0.①
Δ＝（4m）2－4（2m2－1）＝8m2＋4>0.
设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点P（x0，y0），则
x1＋x2＝－4m，x1x2＝2m2－1.
所以x0＝＝－2m，y0＝x0＋m＝－m，所以P（－2m，－m）．
又圆心E（6,0），依题意kPE＝－1，故＝－1，即m＝－2.
将m＝－2代入①式，得x2－8x＋7＝0，解得x1＝1，x2＝7.
所以|MN|＝|x1－x2|＝6.
故直线l截圆E所得弦长为|MN|＝2.
又E（6,0）到直线l的距离d＝2，
所以圆E的半径r＝＝.
所以圆E的方程是（x－6）2＋y2＝10.所以m＝－2，n＝26.
21．（本小题满分12分）
（2014·陕西理）如图，曲线C由上半椭圆C1：
＋＝1（a>b>0，y≥0）和部分抛物线C2：
y＝
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