梯形 辅助线作法经典难题复习巩固教案Word文档下载推荐.docx
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（1）梯形的底:
梯形中平行的两边叫做梯形的底,
通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底．
（2）梯形的腰：
梯形中不平行的两边叫梯形的腰．
（3）梯形的高：
梯形两底的距离是梯形的高．
3．特殊梯形的定义:
（1）等腰梯形：
两腰相等的梯形
（2）直角梯形：
一腰垂直于底的梯形．
4等腰梯形的性质?
从角看：
等腰梯形同一底上的两个内角相等；
?
从边看：
等腰梯形两腰相等；
从对角线看：
等腰梯形两条对角线相等。
5．等腰梯形的判定:
（1）两条腰相等的梯形是等腰梯形．
（2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形．
6、梯形的辅助线作法
作法
图形
平移腰，转化为三角形、平行四边形
平移对角线，转化为三角形、平行四边形
延长两腰，转化为三角形
作高，转化为三角形和矩形
中位线与腰的中点
3、考点讲解：
专题一：
平移梯形一腰或两腰，把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中，同时还得到平行四边形
例1如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°
，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系为__________。
例2、（希望杯邀请赛）如如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b,则CD的长为____________。
例3如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD<
BC，E、F分别为AD，BC的中点，
且EF¡
Í
BC，求证：
¡
Ï
B=¡
C。
例4已知一个梯形的4条边长分别是1、2、3、4，则此梯形的面积等于_______。
【变式练习】1、如图,梯形ABCD中,AB∥CD，∠D=70°
，∠C=40°
AB=4cm,CD=11cm,求BC。
2、在梯形ABCD中AD∥BCAD<
BCE、F分别为AD、BC的中点且EF⊥BC梯形ABCD是等腰梯形吗？
为什么？
3、在梯形ABCD中，AD//BC，∠A+∠D90°
，M，N分别是BC和AD的中点，．已知AD=7，BC=2，试MN长。
专题二：
平移一条对角线与另一底所在直线相交，把梯形两条对角线和上下底之和集中在一个三角形中，然后在这个三角形中应用有关定理
例1（2011乐山）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，AD=2，BC=BD=3，AC=4。
求证：
AC⊥BD
例题2、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC⊥BD，AD＝4cm，BC＝10cm，求梯形的面积。
【变式练习】在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=20cm，BD=15cm，梯形高为12cm，求梯形的面积。
专题三：
取一腰的中点连接顶点和这个中点并延长与对边的延长线相交，构造两个全等的三角形
例题1、（2011•贵港）如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，EF⊥AD于点F，AD=4，EF=5，求梯形ABCD的面积。
例题2、例2已知：
如图,在梯形
中,
是
的中点,且
.求证：
.
【变式练习】1已知：
是CD的中点.求证：
.
2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点，求证：
AE、BE分别平分∠DAB和∠CBA。
专题四：
延长两腰，构造三角形
例1（2011•呼和浩特）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，BE=2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为。
例2如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P为BC边上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥DC于点F，BG⊥CD于点G，试说明PE+PF=BG．
（分别延长BA、CD用面积法可以证明，或者截长补短法证明）
【变式练习】如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.
解：
四边形ABCD是等腰梯形.
证明：
延长AD、BC相交于点E，如图所示.
∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，
∴△DAB≌△CBA.
∴∠DAB＝∠CBA.
∴EA＝EB.
又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.
而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°
，
∴∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB.
又AD不平行于BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形.
专题五：
从梯形上底的两端向下底引垂线做高，把梯形构造成直角三角形和矩形
例1（2011长沙）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°
，AD=2，BC=4，求梯形ABCD的面积。
例3（2011•南充）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°
，M是BC的中点．
（1）求证：
△MDC是等边三角形；
（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值？
如果不存在，请说明理由；
如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．
【变式练习】1、如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°
，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：
四边形ABFE是等腰梯形。
证：
过点D作DG⊥AB于点G，
则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。
因为AB=2DC，所以AG=GB。
从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。
又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。
2、在梯形ABCD中，AD为上底，AB>
CD，求证：
BD>
AC。
作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，则易知AE=DF。
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
因为AB>
CD，AE=DF。
所以由勾股定理得BE>
CF。
即BF>
CE。
在Rt△BDF和Rt△CAE中
由勾股定理得BD>
AC
4、巩固练习：
1、（2010•丹东）把长为8cm的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm2，则打开后梯形的周长是
2、（2010•重庆）已知：
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°
．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA．
（1）若∠MFC=120°
，求证：
AM=2MB；
（2）求证：
∠MPB=90°
-
∠FCM．
3．（2010•盐城）如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75°
，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．
（1）求∠AED的度数；
AB=BC；
（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30°
，求
的值．
4、（2009•重庆）已知：
，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．
BG=FG；
（2）若AD=DC=2，求AB的长．
5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．
（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；
（2）若AD=1，BC=3，DC=
，试判断△DCF的形状；
（3）在条件
（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；
若不存在，请说明理由．
6．（2011•新疆）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°
．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）求AB的长；
（2）设BP=x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；
（3）探究：
在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？
请说明理由．
五、反思总结:
6、拓展训练
1、（2010•武汉）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°
，BD⊥DC，BD=DC，CE平分∠BCD，交AB于点E，交BD于点H，EN∥DC交BD于点N．求证：
CH=
EH；
2．（2011•龙岩）如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°
，∠B=60°
，AB=6，AD=9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合）．把△DEF沿EF对折，点D的对应点是点G，设DE=x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y．
（1）求CD的长及∠1的度数；
（2）若点G恰好在BC上，求此时x的值；
当堂过手训练（快练5分钟，稳准建奇功）
1．（2011•台湾）如图为菱形ABCD与正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD上，AD与GH相交于I点，且AD∥HE．若∠A=60°
，且AB=7，DE=4，HE=5，则梯形HEDI的面积为何？
（ ）
2、（2010•内江）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为
3、（2009•遂宁）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°
，AD=DC=4，AB=1，F为AD的中点，则点F到BC的距离是
4、（2010•咸宁）如图，菱形ABCD由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成，则线段AC的长为
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