第七单元 第31讲 尺规作图解析版Word文档下载推荐.docx

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垂直平分线

0.033

2011

选择题

3

圆相交

0.025

2012

7

2013

10

直线的垂线

本部分近几年来，主要是考查①作一角等于已知角；

②平分已知角；

③经过一点作已知直线的垂线；

④作线段的垂直平分线；

⑤若两已知圆相交，可求其交点。

预测2014年本部分内容考查内容会以最短路径问题对垂直平分线的问题进行考查。

2：

基本作图公法及其原理证明。

18

作图

作已知角

23

线段

作图综合题

0.083

本部分主要是把握基本作图的公法：

通过两个已知点可作一直线。

已知圆心和半径可作一个圆。

若两已知直线相交，可求其交点。

若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。

若两已知圆相交，可求其交点。

预测2014年本部分考查内容是对角平分线及其垂直平分线等问题的考查运用！

三、知识梳理

知识点：

几何作图

1．尺规作图限定作图工具只有圆规和没有刻度的直尺．

2．基本作图

（1）作一条线段等于已知线段，以及线段的和、差；

（2）作一个角等于已知角，以及角的和、差；

（3）作角的平分线；

（4）作线段的垂直平分线；

（5）过一点作已知直线的垂线．

3．根据基本作图作三角形

（1）已知三边作三角形；

（2）已知两边及其夹角作三角形；

（3）已知两角及其夹边作三角形；

（4）已知底边及底边上的高作等腰三角形；

（5）已知一直角边和斜边作直角三角形．

4．与圆有关的尺规作图

（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；

（2）作三角形的内切圆．

5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型．

6．作图题的一般步骤

（1）已知；

（2）求作；

（3）分析；

（4）作法；

（5）证明；

（6）讨论．其中步骤（5）（6）常不作要求，步骤（3）一般不要求，但作图中一定要保留作图痕迹.

重点：

根据基本图形作三角形的重要线段

难点：

根据生活实例作基本图形——角平分线、垂直平分线。

四、基础自测

1．如图，小华在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：

分别以A和B为圆心，大于

AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D两点，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　）

A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形

【解析】∵分别以A和B为圆心，大于

AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D，

∴AC＝AD＝BD＝BC，

∴四边形ADBC一定是菱形．故选B.

【答案】B

2．（2012河北省7,3分）如图3点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，弧FG是（）

Ａ．以点C为圆心，OD为直径的弧

Ｂ．以点C为圆心，

DM为直径的弧

Ｃ．以点E为圆心，OD为直径的弧

Ｄ．以点E为圆心，DM为直径的弧

【解析】根据尺规作图中作一个角等于已知角的作图方法，可知正确表述为D。

【答案】D

3．（2012浙江省绍兴，7，3分）如图，AD为⊙O直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：

对于甲、乙两人的作法，可判断（）

A.甲、乙均正确B.甲、乙均错误

C.甲正确，乙错误D.甲错误，乙正确

【解析】

根据甲的思路，作出图形如下：

连接OB，

∵BC垂直平分OD，

∴E为OD的中点，且OD⊥BC，

∴OE=DE=

OD，又OB=OD，

在Rt△OBE中，OE=

OB，

∴∠OBE=30°

，又∠OEB=90°

，

∴∠BOE=60°

∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，

又∠BOE为△AOB的外角，

∴∠OAB=∠OBA=30°

∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°

同理∠C=60°

∴∠BAC=60°

∴∠ABC=∠BAC=∠BCA，

∴△ABC为等边三角形，

故甲作法正确；

根据乙的思路，作图如下：

连接OB，BD，DC，OC

∵OD=BD，OD=OB，OD=DC，OB=OC

∴OB=OC=CD=BD，

∴四边形OBDC为菱形，

∴BC垂直平分OD，

由甲的作法可知乙作法正确，

故选A

【答案】A

【点评】本题主要考查等边三角形的判定与性质；

含30度角的直角三角形以及圆的有关知识．

4．（2012山东德州中考,19,8,）有公路

同侧、

异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇

的距离必须相等，到两条公路

的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？

请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）

【解析】分析此题的条件可知，要想到A、B两点的距离相等，可知点C必在AB的垂

直平分线上；

要想到两公路的距离相等，必须在两公路夹角的角平分线上．作出二者的交点即为所求．注意两公路夹角的角平分线不止一条．

【解答】：

根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段

的垂直平分线上；

二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点.

⑴作两条公路夹角的平分线

或

；

⑵作线段AB的垂直平分线FG；

则射线OD，OE与直线FG的交点

就是所求的位置.

注：

本题学生能正确得出一个点的位置得6分，得出两个点的位置得8分．

【点拨】此题综合考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，解答此类题不要漏掉符合条件的点．

5．（2012珠海，13，6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线.

（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；

（保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状.

（只写结果）

（1）尺规作∠ADC的平分线DN；

（2）在△ABC中，∵AB=AC，AD是高，∴AD平分∠BAC.又AM平分∠CAE,∴AD⊥AM.

∵AD是高，DN平分∠ADC,交AM于F,∴∠ADF＝45°

.∴∠AFD＝45°

.∴AD＝AF.即△ADF是等腰直角三角形.

【答案】解:

（1）作射线DN,如第13题图-1.

（2）△ADF是等腰直角三角形.

【点评】本题考查

（1）尺规作已知角的平分线;

（2）等腰直角三角形的判定.基础题.

五、题型详解

考点一：

作三角形

【例题1】作图：

请你在下图中作出一个以线段AB为一边的等边△ABC.（要求：

用尺规作图并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论）

【点拨】

→

【解析】已知：

如图所示，已知线段AB.

求作△ABC，使AC＝BC＝AB.

作图如图所示：

变式题：

四条线段a，b，c，d如图所示，a∶b∶c∶d＝1∶2∶3∶4.

选择其中的三条线段为边作一个三角形（尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法）．

考点二、基本作图的应用

【例1】如图，有分别过A、B两个加油站的公路l1、l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路l1、l2的距离也相等．请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹）

【解析】到两点距离相等的点，在这两点所连线段的垂直平分线上；

到角两边距离相等的点在角的平分线上；

这两条线的交点P就是加油站的位置．如图所示．

变式题1：

如图所示，直线l表示一条河，P、Q两地相距5千米，P、Q两地到l的距离分别为2千米和4千米，欲在l上的某点M处修建一个供水站，供P、Q两地居民取水，现有如下四种方案（图中的实线表示两地居民取水所走路线），则两地居民取水所走的路程和最短的是图中的（　　）

答案：

B

六、课后练习

基础巩固

一．填空题

1．（2012·

金华第四中学调研）如图所示，已知线段a，c和∠α，求作：

△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α，根据作图把下面空格填上适当的文字或字母．

（1）如图①所示，作∠MBN＝∠α；

（2）如图②所示，在射线BM上截取BC＝a，在射线BN上截取BA＝c；

（3）连结AC，如图③所示，△ABC就是所求作的三角形．

2．如图6－3－13，已知点M，N，作图：

①连接点M，N；

②分别以M，N为圆心、大于________的长为半径作弧，两弧相交于A，B两点；

③作直线AB交MN于点C.C是________的________，AB是MN的________线．

图6－3－13

【答案】：

.

MN　MN　中点　垂直平分　作图略

3．（2011年甘肃兰州）如图6－3－24，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A，B，C.

（1）请完成如下操作：

①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；

②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD，CD；

（2）请在

（1）的基础上，完成下列问题：

①写出点的坐标：

C__________，D__________；

②⊙D的半径＝____________（结果保留根号）；

③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为________（结果保留π）；

④若点E（7,0），试判断直线EC与⊙D的位置关系，并说明你的理由．

图6－3－24

二．选择题

1.某小区现有一块等腰直角三角形形状的绿地，腰长为100米，直角顶点为A．小区物业管委会准备把它分割成面积相等的两块，有如下的分割方法：

方法一：

在底边BC上找一点D，连接AD作为分割线；

方法二：

在腰AC上找一点D，连接BD作为分割线；

方法三：

在腰AB上找一点D，作DE∥BC，交AC于点E，DE作为分割线；

方法四：

以顶点A为圆心，AD为半径作弧，交AB于点D，交AC于点E，弧DE作为分割线．

这些分割方法中分割线最短的是（　　）

A．方法一B．方法二C．方法三D．方法四

A

2．（2012河南，10，3分）如图，在△ABC，

，按以下步骤作图：

①以点A为圆心，小于AC的长为半径，画弧，分别交AB，

AC于点E、F；

②分别以点E,F为圆心，大于

EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；

③作射线AG

，交BC边与点D，则

的度数为

【解析】：

根据作图可知AG平分∠CAB，由直角三角形两锐角互余，所以∠ADC=90°

－25°

=65°

.

65°

【点拨】：

本题把尺规作图和角平分线性质结合起来考查，形式灵活，新颖，作图过程中要保留作图的痕迹。

三.解答题

1.已知△ABC（如图），利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法），并根据要求填空：

（1）作∠ABC的平分线BD交AC于点D；

（2）作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F.

试判断线段EF与线段BD的关系．

解：

（1）、

（2）题作图如图：

由图可知线段EF与线段BD的关系为：

互相垂直平分．

2．尺规作图：

请在原图上作一个∠AOC，使其是已知∠AOB的

倍．（要求：

写出已知、求作，保留作图痕迹，在所作图中标上必要的字母，不写作法和结论）

已知：

求作：

∠AOB.

∠AOC＝

作图如下：

3．如图，已知正五边形ABCDE，请用无刻度的直尺，准确地画出它的一条对称轴．（保留作图痕迹）

如图，连结BD、CE交于点K，连结AK并向两端延长，则直线AK即为所求．

4．（2013山东德州,23,10分）

（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外做等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD。

请你完成图形，并证明：

BE=CD；

（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）

（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外做正方形ABFD和正方形ACGE。

连接BE，CD。

BE与CD有什么数量关系？

简单说明理由；

（3）运用

（1）

（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=450，∠CAE=900，AB=BC=100米，AC=AE。

求BE的长。

（1）根据题目要求进行尺规作图，并加以证明其它结论；

（2）用三角形全等分析BE与CD相等关系；

（3）构件建几何模型解（添加辅助线、运用勾股定理）决实际问题.

【解答】

（1）完成作图，字母标注正确。

证明：

∵△ABD和△ACE都是等边三角形。

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=600。

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC

即∠CAD=∠EAB

∴△CAD≌△EAB

∴BE=CD

（2）BE=CD

理由同

（1）：

∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，

∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD=∠CAE=900

∴∠CAD=∠EAB

（3）由

（1）

（2）的解题经验可知，过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=900，则AD＝AB＝1000，∠ABD＝450，

∴BD＝100

连接CD，则由

（2）可得BE＝CD。

∵∠ABC＝450，

∴∠DBC＝900，

在Rt△DBC中，BC＝100，BD＝100

∴CD＝

＝100

∴BE的长为100

米

【点拨】本题考查了与等边三角形、正方形的全等应用实践操作、探究题.图形与几何的实践、探究题，是新中考比较热点的命题方向.

能力提升

1.（2013湖北宜昌，18，7分）如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，AE=AF，分别以点E，F为圆心，以AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接DE，DF．

（1）请你判断所画四边形的性状，并说明理由；

（2）连接EF，若AE=8厘米，∠A=60°

，求线段EF的长．

【解析】菱形的判定与性质；

等边三角形的判定与性质．

（1）由AE=AF=ED=DF，根据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得：

四边形AEDF是菱形；

（2）首先连接EF，由AE=AF，∠A=60°

，可证得△EAF是等边三角形，则可求得线段EF的长．

（1）菱形．

理由：

∵根据题意得：

AE=AF=ED=DF，

∴四边形AEDF是菱形；

（2）连接EF，

∵AE=AF，∠A=60°

∴△EAF是等边三角形，

∴EF=AE=8厘米．

【点拨】此题考查了菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．