高一年级寒假培优数学教材.docx
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高一年级寒假培优数学教材
三、函数思想方法的应用
【要点】
1.函数的思想,是指运用运动变化的观点,分析和研究数量关系,通过建立或构造函数关系式,运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想方法.
2.方程的思想,是指根据数学问题中变量间的特殊关系,有意识地构造方程或方程组,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法.
3.函数和方程是密切相关的,可以互相转化。
比如研究函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点问题,就是研究方程f(x)=g(x)的实数解的问题;解方程f(x)=0,就是求函数y=f(x)的零点.
4.函数应用题的解题步骤简述如下:
(1)审题:
阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论;
(2)建模:
将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型,;
(3)求模:
求解数学模型,得到数学结论;
(4)作答:
对结果进行验证或评估,作出解释或回答。
解应用题可归结为“过三关”:
一是事理关,即读懂题意,需要一定的阅读理解能力;二是文理关,即把文字语言转化为数学的符号语言;三是数理关,即构建相应的数学模型,构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力。
【例题】
1.方程x2=2x的解的个数为()
A.0B.1C.2D.3
2.已知,(a、b、c∈R),则有()
A.B.C.D.
3.已知关于的方程-(2m-8)x+-16=0的两个实根、满足<<,则实数m的取值范围_______________.
4.关于x的方程|x2-4x+3|-a=0有三个不相等的实数根,则实数a的值是______.
5.若不等式≥x+11-a的解集为{x|-4≤x≤-2},求实数a的值.
6.已知直线y=3-x和坐标轴交于A、B两点,若抛物线y=-x2+mx-1和线段AB有两个不同的交点,求实数m的范围.
7.设不等式2x-1>m(x-1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立.求x的取值范围.
8.设f(x)=lg,如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义,求实数a的取值范围.
9.若方程lg(-x+3x-m)=lg(3-x)在x∈(0,3)内有唯一解,求实数m的取值范围.
10.已知函数f(x)=logm
(1)若f(x)的定义域为[α,β],(β>α>0),判断f(x)在定义域上的增减性,并加以说明;
(2)当0<m<1时,使f(x)的值域为[logm[m(β–1)],logm[m(α–1)]]的定义域区间为[α,β](β>α>0)是否存在?
请说明理由.
11.(1997年全国高考题)甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:
可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元.
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出函数的定义域;
(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
12.某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线,位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救,救生员没有直接从A处游向B处,而是沿岸边自A跑到距离B最近的D处,然后游向B处,若救生员在岸边的行进速度为6米/秒,在海中的行进速度2米/秒
(1)分析救生员的选择是否正确;
(2)在AD上找一落点C,使救生员从A到B的时间最短,并求出最短时间。
【习题】
一、选择题(A、B、C三级试题分别为3、2、1,共6小题):
1.方程2=x+2x+1的实数解的个数是_____.
A.1B.2C.3D.以上都不对
2.方程lgx+x=3的解所在区间为( C)
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞)
3.函数的最小值是
A.1B.2C.25/12D.13/6
4.设x1、x2、x3依次是方程,,2x+x=2的根,则有()
A.x2<x3<x1B.x1<x3<x2C.x2<x1<x3D.x3<x2<x1
5.设(n∈N),则在数列{an}的前30项中的最大项、最小项依次是()
A.a1,a30B.a1,a9C.a10,a9D.a10,a30
6.已知集合P={(x,y)|y=}、Q={(x,y)|y=x+b},若P∩Q≠,则b的取值范围是 .
A.|b|<3B.|b|≤3C.-3≤b≤3D.-3
二、填空题(A、B、C三级试题分别为2、1、1,共4小题):
7.若不等式m>|x-1|+|x+1|的解集是非空数集,那么实数m的取值范围是_________.
8.若方程x-3ax+2a=0的一个根小于1,而另一根大于1,则实数a的取值范围是______.
9.对于满足0≤p≤4的所有实数p,使不等式x+px>4x+p-3成立的x的取值范围是________.
10.若关于x的方程|x-6x+8|=a恰有两个不等实根,则实数a的取值范围是____________.
三、解答题(A、B、C三级试题分别为2、2、2,共6小题):
11.已知函数g(x)=lg[a(a+1)x2-(3a+1)x+3]的值域是R,求实数a的取值范围.
12.定义域内不等式恒成立,求实数的取值范围.
13.已知点A(0,1)、B(2,3)及抛物线y=x+mx+2,若抛物线与线段AB相交于两点,求实数m的取值范围.
14.当实数在什么范围内时,方程有两个不相等的实数根.
15.已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件:
f(x–1)=f(3–x)且方程f(x)=2x有等根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在实数m,n(m<n),使f(x)定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n],如果存在,求出m、n的值;如果不存在,说明理由.
16.
(1)一次函数f(x)=kx+h(k≠0),若m<n有f(m)>0,f(n)>0,则对于任意x∈(m,n)都有f(x)>0,试证明之;
(2)试用上面结论证明下面的命题:
若a,b,c∈R且|a|<1,|b|<1,|c|<1,则ab+bc+ca>-1
三、函数思想方法的应用参考答案
【例题】
1.D
2.B
3.
4.解析:
作函数y=|x2-4x+3|的图象,如下图.
由图象知直线y=1与y=|x2-4x+3|的图象有三个交点,即方程|x2-4x+3|=1也就是方程|x2-4x+3|-1=0有三个不相等的实数根,因此a=1.
答案:
1
5.解:
设(y1≥0)
∴(y1≥0),它表示以(-2,0)为圆心,2为半径的上半圆.表示和平行或重合的直线系.分别作出y1与y2的图象,让y2作平行移动,要y1≥y2解集为{x|-4≤x≤-2},显然当且仅当直线通过点(-2,2)时符合要求,此时
∴
6.解:
将y=3-x代入抛物线方程得:
x2-(m+1)x+4=0(*)
(*)应满足条件:
在[0,3]内有两个不同的实根.令f(x)=x2-(m+1)x+4.
由如图,则
解得:
3<m≤
7.【解】问题可变成关于m的一次不等式:
(x-1)m-(2x-1)<0在[-2,2]恒成立,设f(m)=(x-1)m-(2x-1),
则
解得x∈(,)
【注】本题的关键是变换角度,以参数m作为自变量而构造函数式,不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题.本题有别于关于x的不等式2x-1>m(x-1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x-1>m(x-1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围.
8.【分析】当x∈(-∞,1]时f(x)=lg有意义的函数问题,转化为1+2+4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题.
【解】由题设可知,不等式1+2+4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立,
即:
()+()+a>0在x∈(-∞,1]上恒成立.
设t=(),则t≥,又设g(t)=t+t+a,其对称轴为t=-
∴t+t+a=0在[,+∞)上无实根,即g()=()++a>0,得a>-
所以a的取值范围是a>-.
【注】对于不等式恒成立,引入新的参数化简了不等式后,构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题,其中也联系到了方程无解,体现了方程思想和函数思想.一般地,我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系,将问题进行相互转化.
在解决不等式()+()+a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的问题时,也可使用“分离参数法”:
设t=(),t≥,则有a=-t-t∈(-∞,-],所以a的取值范围是a>-.其中最后得到a的范围,是利用了二次函数在某区间上值域的研究,也可属应用“函数思想”.
9.【解】原方程变形为即:
设曲线y=(x-2),x∈(0,3)和直线y=1-m,画图可知:
①当1-m=0时,有唯一解,m=1;
②当1≤1-m<4时,有唯一解,即-3∴m=1或-3此题也可设曲线y=-(x-2)+1,x∈(0,3)和直线y=m后画出图像求解.
【注】一般地,方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时,可以借助于函数的图像直观解决,简单明了.此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况,还可用分离参数法来求(也注意结合图像分析只一个x值).
10.解:
(1)x<–3或x>3.
∵f(x)定义域为[α,β],∴α>3
设β≥x1>x2≥α,有
当0<m<1时,f(x)为减函数,当m>1时,f(x)为增函数.
(2)若f(x)在[α,β]上的值域为[logmm(β–1),logmm(α–1)]
∵0<m<1,f(x)为减函数.
∴
即
即α,β为方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根
∴∴0<m<
故当0<m<时,满足题意条件的m存在.
11.解:
(读题)由主要关系:
运输总成本=每小时运输成本×时间,
(建模)有y=(a+bv)
(解题)所以全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数关系式是:
y=S(+bv),其中函数的定义域是v∈(0,c].
整理函数有y=S(+bv)=S(v+),
由函数y=x+(k>0)的单调性而得:
当当≥c时,则v=c时,y取最小值.
综上所述,为使全程成本y最小,当12.解:
(1)由A直接游向B的时间(秒)
由A经D游向B的时间(秒)
而,因此救生员的选择是正确的。
(2),则从A经C到B的时间为t,
因此点C应选沿岸边AD距D点米处,才能使救生员从A经C到B所用的时间最短为秒
13.已知,g(x)=x+a(a>0).
(1)当a=4时,求的最小值;
(2)当时,不等式>1恒成立,求a的取值范围.
13.解
(1)当a=4时,=
,当时,即x=4时,取最小值15.
(2)>1
.
记,比照函数的图象的性质可知:
(1)当0(1)=a(a+1)>2,解得a<-2或a>1(舍);
(2)当a>4时,(x)在[1,4]上单调递减,min(x)=(4)=,解得a>4;
(3)当时,(x),解得.
综上有:
a>1.
【习题】
11.解:
由题意知,应使h(x)=a(a+1)x2-(3a+1)x+3能取到一切正实数.
①a=0时,h(x)=-x+3,显然能取到一切正实数;
②a=-1时,h(x)=2x+3,也能取到一切正实数;
③a≠0且a≠-1时,∵h(x)=a(a+1)x