第五课时 完全平方公式和平方差公式.docx

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第五课时完全平方公式和平方差公式

第五课时完全平方公式和平方差公式

1、完全平方公式：

（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2

2、平方差公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2

3、立方和公式和立方差公式：

（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3（a-b）（a2+ab+b2）=a3－b3

4、归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：

①位置变化，xyyxx2y2

②符号变化，xyxyx2y2x2y2

③指数变化，x2y2x2y2x4y4

④系数变化，2ab2ab4a2b2

⑤换式变化，xyzmxyzmxy2zm2

x2y2zmzm

x2y2z2zmzmm2

x2y2z22zmm2

⑥增项变化，xyzxyzxy2z2

xyxyz2

x2xyxyy2z2

x22xyy2z2

⑦连用公式变化，xyxyx2y2x2y2x2y2

x4y4

⑧逆用公式变化，xyz2xyz2xyzxyzxyzxyz

2x2y2z

4xy4xz

二、公式的灵活运用的经典例题

例1．已知，，求的值。

例2．已知，，求的值。

例3：

计算19992-2000×1998

例4：

已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和（a-b）2的值。

例5：

已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。

求x2-z2的值。

例6：

判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？

例7．运用公式简便计算

（1）1032

（2）1982

例8．计算

（1）a4b3ca4b3c

（2）3xy23xy2

例9．解下列各式

（1）已知a2b213，ab6，求ab2，ab2的值。

（2）已知ab27，ab24，求a2b2，ab的值。

（3）已知aa1a2b2，求的值。

（4）已知，求的值。

例10．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？

为什么？

例11．计算

（1）x2x12

（2）3mnp2

三、乘法公式的用法

（一）、套用:

这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。

例1.计算：

（二）、连用:

连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。

例2.计算：

例3.计算：

（三）、逆用:

学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。

例4.计算：

（四）、变用:

题目变形后运用公式解题。

例5.计算：

（五）、活用:

把公式本身适当变形后再用于解题。

这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：

灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。

例6.已知，求的值。

例7.计算：

例8.已知实数x、y、z满足，那么（）

四、学习乘法公式应注意的问题

（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．

　　例1计算（-2x2-5）（2x2-5）

例2计算（-a2+4b）2

（二）、注意为使用公式创造条件

　　例3计算（2x+y-z+5）（2x-y+z+5）．

例4计算（a-1）2（a2+a+1）2（a6+a3+1）2

例5计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．

　　（三）、注意公式的推广

计算多项式的平方，由（a+b）2=a2+2ab+b2，可推广得到：

（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．

　　可叙述为：

多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．

　　例6计算（2x+y-3）2

（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式

　　例7

（1）已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；

（2）已知：

x+2y=7，xy=6，求（x-2y）2的值．

例8计算（a+b+c）2+（a+b-c）2+（a-b+c）+（b-a+c）2．

　　（五）、注意乘法公式的逆运用

　　例9计算（a-2b+3c）2-（a+2b-3c）2．

　　例10计算（2a+3b）2-2（2a+3b）（5b-4a）+（4a-5b）2

五、怎样熟练运用公式：

（一）、明确公式的结构特征

这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：

符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．

（二）、理解字母的广泛含义

乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（x+2y－3z）2，若视x+2y为公式中的a，3z为b，则就可用（a－b）2=a2－2ab+b2来解了。

（三）、熟悉常见的几种变化

有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．

常见的几种变化是：

1、位置变化如（3x+5y）（5y－3x）交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了．

2、符号变化如（－2m－7n）（2m－7n）变为－（2m+7n）（2m－7n）后就可用平方差公式求解了（思考：

不变或不这样变，可以吗？

）

3、数字变化如98×102，992，912等分别变为（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了．

4、系数变化如（4m+）（2m－）变为2（2m+）（2m－）后即可用平方差公式进行计算了．

5、项数变化如（x+3y+2z）（x－3y+6z）变为（x+3y+4z－2z）（x－3y+4z+2z）后再适当分组就可以用乘法公式来解了．

（四）、注意公式的灵活运用

有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（a2+1）2·（a2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即原式=[（a2+1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4+1．

对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题．

即原式=（1－）（1+）（1－）（1+）×…×（1－）（1+）=××××…××=×=．

有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：

a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab等．

用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．

如已知m+n=7，mn=－18，求m2+n2，m2－mn+n2的值．

面对这样的问题就可用上述变式来解，

即m2+n2=（m+n）2－2mn=72－2×（－18）=49+36=85，

m2－mn+n2=（m+n）2－3mn=72－3×（－18）=103．

下列各题，难不倒你吧？

！

1、若a+=5，求

（1）a2+，

（2）（a－）2的值．

2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位数字．

五、乘法公式应用的五个层次

乘法公式：

（a＋b）（a－b）=a2－b2，（a±b）=a2±2ab＋b2，

（a±b）（a2±ab＋b2）=a3±b3．

第一层次──正用

即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用．

例1计算

（2）（－2x－y）（2x－y）．

第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用．

例2计算

（1）19982－1998·3994＋19972；

第三层次──活用：

根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式．

例3化简：

（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）＋1．

例4计算：

（2x－3y－1）（－2x－3y＋5）

第四层次──变用：

解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2＋b2=（a＋b）2－2ab，a3＋b3=（a＋b）3－3ab（a＋b）等，则求解十分简单、明快．

例5已知a＋b=9，ab=14，求2a2＋2b2和a3＋b3的值．

第五层次──综合后用：

将（a＋b）2=a2＋2ab＋b2和（a－b）2=a2－2ab＋b2综合，

可得（a＋b）2＋（a－b）2=2（a2＋b2）；（a＋b）2－（a－b）2=4ab；

等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷．

例6计算：

（2x＋y－z＋5）（2x－y＋z＋5）．

六、正确认识和使用乘法公式

1、数形结合的数学思想认识乘法公式：

对于学习的两种（三个）乘法公式：

平方差公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2、完全平方公式：

（a+b）2=a2+2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2，可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。

假设a、b都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。

如图1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为（a+b）（a-b），通过左右两图的对照，即可得到平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2；图2中的两个图阴影部分面积分别为（a+b）2与（a-b）2，通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：

（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2。

2、乘法公式的使用技巧：

①提出负号：

对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。

例1、运用乘法公式计算：

（1）（-1+3x）（-1-3x）；

（2）（-2m-1）2

例2、运用乘法公式计算：

（1）114x113;

（2）（x-1/2）（x2+1/4）（x+1/2）

例3、计算：

（1）（x/2+5）2-（x/2-5）2;

（2）（a-1/2）2）（2+1/4）2（a+1/2）2

计算：

（1）（x+y+1）（1-x-y）;

（2）（2x+y-z+5）（2x-y+z+5）.

七、巧用公式做整式乘法

整式乘法是初中数学的重要内容，是今后学习的基础，应用极为广泛。

尤其多项式乘多项式，运算过程复杂，在解答中，要仔细观察，认真分析题目中各多项式的结构特征，将其适当变化，找出规律，用乘法公式将其展开，运算就显得简便易行。

A.先分组，再用公式

例1.计算：

B.先提公因式，再用公式

例2.计算：

C.先分项，再用公式

例3.计算：

D.先整体展开，再用公式

例4.计算：

E.先补项，再用公式

例5.计算：

F.先用公式，再展开

例6.计算：