直线与平面垂直的判定和性质教案Word格式文档下载.docx

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从定义到判定定理，使判定线面垂直的方法简化了，即从“垂直于平面内的任何一条直线”简化为“垂直于平面内两条相交直线”．所以，我们在证明线面垂直时，主要是设法在平面内找到这样的“两条相交直线”．

3．直线和平面垂直的性质

如果a⊥α，b⊥α，则a∥b．

这就是直线与平面垂直的性质定理．它的证明由于无法把两条直线a、b归入一个平面内，所以平面几何知识中证明直线平行的定理无法使用，三线平行公理也无法使用；

线面平行的性质定理也没有条件直接使用．在这种情况下，课本中采用了反证法．关于这个性质定理，还可以这样来证明：

∵b⊥α，设b∩α＝O．经过O点引b′∥a，则b′⊥α，因为经过O点的平面α的垂线只有一条，

∴b′与b重合，因此b∥a．

4．点到平面的距离及线到平面的距离

从平面外一点引平面的垂线，点到垂足之间的距离叫做点到平面的距离．

如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做直线到平面的距离．

由线到面的距离及点到面的距离的定义不难发现，求直线到平面的距离，实质上转化为求两平行直线间的距离或者点到平面的距离，再进一步转化为点到点的距离．这在以后求有关几何体的体积时经常用到．在立体几何中，求距离往往转化为平面几何的问题，即通过解三角形来完成．这种转化的依据就是平面的基本性质．读者一定要掌握这些理论根据及重要的思想方法和解题思路．

5．点、线段、斜线段在平面α上的射影

图9-4-2

如图9-4-2，

（1）自点A向平面α引垂线，垂足A1叫做点A在平面α上的射影．当点A∈α时，点A在α上的射影是它自身．

（2）把和平面α相交且不和α垂直的直线叫做平面α的斜线，斜线和平面α的交点叫做斜足，斜线上一点和斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段．

过斜线上的一点A向平面α引垂线，经过垂足A1和斜足B的直线叫做斜线a在平面α上的射影；

垂足A1和斜足B之间的线段A1B叫做点A到平面α的斜线段AB在平面α上的射影．

不难证明：

斜线上任一点在平面上的射影一定在此斜线的射影上．

当直线a⊥平面α时，直线a在平面α上的射影就是a和平面α的交点B．

（3）设AC是平面α的斜线a上的一条线段，自A和C分别引平面α的垂线，垂足为A1、C1，则线段A1C1叫做线段AC在平面α上的射影．

当a⊥α时，A1和C1重合，线段AC在平面α上的射影是一个点A1．

在平面几何中，我们知道，从直线外一点向直线所引的垂线段和斜线段中：

①垂线段最短；

②射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；

③相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长．

把“从直线外一点向直线所引的垂线段和斜线段”中的“直线”改成“平面”，上述结论仍然成立．这就是垂线段和斜线段长定理．

6．直线与平面所成的角

直线与平面所成的角，应分以下三种情况：

（1）直线与平面斜交时，直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面上的射影所成的锐角；

（2）直线与平面垂直时，直线与平面所成角为90°

；

（3）直线与平面平行或在平面内时，直线与平面所成的角为0°

．

显然，直线与平面所成角的范围为［0，

］．

由此可见，一条直线与平面斜交所成角的度量问题（空间问题）是通过直线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．

具体解题步骤与求异面直线所成的角一样，有如下环节：

（1）构造——作出斜线与射影所成的角；

（2）论证——论证所作（或找到）的角就是要求的角；

（3）计算——常用解三角形的方法（通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形）；

（4）结论．

在此我们重点研究斜线和平面所成的角．斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身．另一条直线就是斜线在平面上的射影．

为什么要选用这个角作为斜线和平面所成的角呢？

原因是：

斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．

7．三垂线定理

（1）问题的提出

我们知道，若l是平面的垂线，则l垂直于平面α内的所有直线，现在的问题是，若l不是平面的垂线，而是斜线，那么在平面α内有没有直线l的垂线呢？

这些垂线都在什么样的位置呢？

这就是三垂线定理要解决的问题．

（2）三垂线定理及其逆定理

定理　在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直．

这个定理可以简称为“垂直于射影，则垂直于斜线”．

逆定理　在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它就和这条斜线的射影垂直．

它可以简称为“垂直于斜线，则垂直于射影”．

在三垂线定理及其逆定理中，涉及到三个垂直关系：

1°

垂线PA与直线a垂直；

2°

射影AB与直线a垂直；

3°

斜线PB与直线a垂直．

所以，定理俗称为“三垂线定理”．

（3）应该注意的事项

两个定理中“平面内”这个条件不能省略，否则不成立．

三垂线定理及其逆定理是平面的一条斜线和平面内一条直线垂直的判定定理和性质定理．

两个定理的区别要搞清：

首先从两个定理的条件和结论上区分．三垂线定理是“线与射影垂直

线与斜线垂直”，逆定理相反．其次，从两个定理的作用上区分．三垂线定理解决：

已知共面直线垂直，证明异面直线垂直．逆定理相反．

（4）三垂线定理的基本图形

反映三垂线定理的图形有下列四种，如图9-4-3．

图9-4-3

在解题过程中，应注意各种不同位置关系的三垂线定理的基本图形及其变式图形．

问题全解

1．直线与直线垂直与直线和平面垂直有何区别？

如何判定直线和平面垂直?

注意线线垂直与线面垂直的区别：

线线垂直，不一定有垂足，线面垂直必有垂足．本节重点是线面垂直的判定：

①用定义：

证l和α内作任意一条直线垂直．②用定理：

证l和α内“两条相交”直线都垂直，因此我们可把定理简化为：

线线垂直

线面垂直．③利用平行线：

若a⊥α，证l∥a即可知l⊥α．由线面垂直定义：

l⊥α，a

α，则l⊥a．

［例1］在平面α内有直角BCD，AB⊥平面α．

求证：

CD垂直于AB和BC确定的平面．

策略：

利用直线与平面垂直的判定定理可证此结论．

图9-4-4

证明：

如图9-4-4，∠BCD＝90°

，∴CD⊥BC

CD⊥平面ABC（平面ABC即为由AB与BC确定的平面）

评注：

运用判定定理时一定要注意必须是平面内两条相交的直线都与平面外的直线垂直时才能得到线面垂直的结论．

［例2］在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：

EF⊥平面BB1O．

利用两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，本题可先证AC⊥平面BB1O，再证EF∥AC即可．

图9-4-5

如图9-4-5，连结AC，BD，

则O为AC、BD的交点

∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO，

又∵BB1⊥平面ABCD，AC

平面ABCD，∴AC⊥BB1

又∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC∴EF⊥平面BB1O

由EF⊥平面BB1O

EF⊥B1O．

本题也可连AB1、CB1，由CB1＝AB1，CO＝AO

AC⊥B1O．请读者按此思路自己完成证明．

2．掌握直线和平面垂直的性质定理的关键是什么？

如何求有关的距离问题？

直线与平面垂直的判定与性质归纳如下表：

类别

判定

性质

方法

用判定定理

用推论

用定义

性质定理

定义

图形

条件

c

α，b

α

c∩b＝P

a⊥c，a⊥b

a∥b

b⊥α

b

b是任一条直线a⊥b

a⊥α

结论

a⊥b

直线与平面垂直的性质定理给出了判断两直线平行的另一种方法即“线面垂直

线线平行”．另外定理中的“两条”可扩充到“若干条”．掌握性质，关键明确平面的垂线．

研究距离问题时，应着重于找到垂线段，注意各种距离间的相应转化．求距离的一般步骤作（找）垂线段→证（直线）→算（垂线段长）．

图9-4-6

［例3］如图9-4-6，已知AB是异面直线a、b的公垂线段，b

α，a∥α，求证线段AB的长就是a与平面α之间的距离．

采用转化的思想方法，即异面直线之间的距离可转化为线面之间的距离．

∵a、b是异面直线，B∈b，B∈α，

∴B

a，由直线a，点B可确定平面，

设为β，则α和β相交，设α∩β＝a′，∵a∥α，∴a∥a′，

又∵AB⊥a，∴AB⊥a′，∵AB⊥b，b∩a′＝B，b、a′

α，∴AB⊥α，A∈a，a∥α，

∴AB的长为a和α之间的距离．

3．理解射影长定理应注意什么？

如何求直线和平面所成的角？

射影长定理和直线与平面所成角的概念是本节的重要内容，射影长定理是利用平面上线段长短比较空间线段长短的定理，应用时要注意“从平面外一点”这个条件，否则结论不成立．

要注意“直线与平面所成的角”与“斜线和平面所成的角”的区别与联系．

图9-4-7

［例4］如图9-4-7所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角．

求线面角的关键是确定直线在平面上的射影，及直线与射影所成锐角．

解：

连结BC1交B1C于O，连结A1O，

在正方体ABCD－A1B1C1D1中各个面为正方形，设其棱长为a，

求直线和平面所成的角时，应注意问题是

（1）先判断直线和平面的位置关系．

（2）当直线和平面斜交时，常以以下步骤①构造——作出或找到斜线与射影所成的角；

②设定——论证所作或找到的角为所求的角；

③计算——常用解三角形的方法求角；

④结论——点明斜线和平面所成的角值．

4．证明空间两直线垂直有哪些方法？

应用三垂线定理及逆定理应注意哪些问题？

证明空间两条直线垂直有以下几种方法：

（1）利用定义：

证明两直线所成的角为90°

（2）利用线面垂直的定义，证明一条直线垂直于过另一条直线的平面；

（3）利用三垂线定理及逆定理．

三垂线定理及其逆定理实质上是平面内直线与平面的斜线互相垂直的判定定理和性质定理．在定理中需要“一面、四线、三垂直”．

应用三垂线定理及其逆定理应注意的问题：

（1）两个定理中“平面内”这个条件不能省略，否则不一定成立，需要进一步证明．这是因为由三垂线定理及其逆定理的证明过程可知，只有平面内的直线若能满足和斜线或斜线的射影垂直，才能保证和斜线与垂线所在的平面垂直，只有线面垂直才能保证线线垂直．

（2）两个定理的区别

①从两个定理的条件和结论上区分，三垂线定理是“线与射影垂直

线与斜线垂直”，逆定理相反．②从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决了已知共面直线垂直，证明异面直线垂直，逆定理相反．③利用三垂线定理及其逆定理的关键是要善于从各种图形中找出“平面的垂线”“平面的斜线”“斜线的射影”．

［例5］在正方体A1B1C1D1-ABCD中，求证：

B1D⊥平面A1C1B．

利用三垂线定理证明，但要把B1D在平面A1C1内的射影和B1D在平面A1B内的射影找出来，关键找“垂足”．

连结B1D1、BC1如图9-4-8．

∵DD1⊥平面A1C1，D1为垂足，∴B1D1是B1D在平面A1C1内的射影，∵B1D1⊥A1C1，∴B1D⊥A1C1（三垂线定理）

连结AB1，∵AD⊥平面A1B，A为垂足

∴AB1为B1D在平面A1B内的射影

∵AB1⊥A1B，∴B1D⊥A1B

应用三垂线定理及其逆定理时，一般按以下顺序思考：

（1）找平面垂线；

（2）找平面内直线a；

（3）若a垂直于射影，则a垂直于它的斜线，反之亦然．

【学习方法指导】

证明直线和平面垂直的方法即证明直线垂直于平面内两相交直线，因此，确定平面内两相交直线是解题关键．

图9-4-9

［例1］如图9-4-9，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H为垂足

求证B1H⊥平面AD1C．

要证B1H⊥平面AD1C，已知B1H⊥D1O，只需证明平面AD1C内与D1O相交的另一直线AC⊥B1H即可，改证AC⊥B1H，只需证AC垂直于B1H所在的平面BD1即可．

连B1D1，∵B1B⊥AB，B1B⊥BC，∴B1B⊥平面AC，∴B1B⊥AC．

又AC⊥BD，∴AC⊥平面BD1．又B1H

平面BD1，∴AC⊥B1H．又B1H⊥D1O，∴B1H⊥平面AD1C．

存在唯一性问题的证明——反证法

图9-4-10

［例2］证明两条异面直线的公垂线唯一．

“唯一”性问题一般用反证法．

如图9-4-10，已知a、b是异面直线，只须证a、b公垂线唯一，假设a、b至少有两条公垂线AB、CD，且A∈a，C∈a，B∈b，D∈b．过B作a′∥a，则b∩a′＝B．设b、a′所在平面为α．

∵AB⊥a，∴AB⊥a′．又AB⊥b，∴AB⊥α．

同理，CD⊥α，∴AB∥CD．∴A、B、C、D共面，即a、b共面．

这与a、b异面矛盾．

类似地，A、C（或B、D）不可能重合，否则，过同一点A（或B）有两条直线垂直于α．

这是不可能的．故a、b的公垂线唯一．

应用性质定理解题，应注意结合判定定理

［例3］证明：

若平面α和不在α内的直线a都垂直于直线b，则a∥α．

欲证线面平行，可证该直线平行于该平面的某一条直线，已知条件有垂直关系，故可联想到利用直线与平面垂直的性质定理将垂直关系转化为平行关系．

图9-4-11

如图9-4-11，过a及α内不在a上的任一点P作平面β，

设β∩α＝a′．∵b⊥α，a′

α，∴b⊥a′．

又b⊥a，∴a∥a′（否则，a、a′相交，则b⊥β，从而α与β重合，与题设矛盾）．

又a

α，a′

α，∴a∥α．

点、面距离问题

［例4］长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝5，试求：

（1）异面直线A1A和D1C的距离；

（2）直线A1D1与平面BB1C1C的距离；

（3）点B到平面ACC1A1的距离；

（4）直线AB与平面A1B1CD的距离．

本题涉及了线与线；

点与面；

线与面的距离，正确运用这些距离的概念是解题的关键．

图9-4-12

解答：

如图9-4-12所示为题给长方体

（1）∵A1D1⊥AA1，A1D1⊥D1DCC1，D1C

平面D1DCC1，

∴A1D1⊥D1C，A1D1为异面直线A1A与D1C的公垂线段，而A1D1＝4，∴异面直线A1A与D1C的距离是4．

又∵D1C1⊥平面BB1C1C

∴D1C1是直线A1D1与平面BB1C1C的距离且D1C1＝3，

∴直线A1D1到平面BB1C1C的距离是3

（3）过B作BE⊥AC于E，

∵C1C⊥平面ABCD，BE

平面ABCD，∴BE⊥C1C，又∵BE⊥AC，AC∩C1C＝C，∴BE⊥平面ACC1A1，

∴BE就是点B到平面ACC1A1的距离，在△ABC中BE＝

∴B点到平面ACC1A1的距离为

（4）过A作AF⊥A1D于F，AB∥A1B1，A1B1

平面A1B1CD，

∴AB∥平面A1B1CD

∵CD⊥平面AA1D1D，AF

平面AA1D1D，∴AF⊥CD，又AF⊥A1DA1D∩CD＝D，∴AF⊥平面A1B1CD

即AF就是平行直线AB与平面A1B1CD的距离

在△ADA1中，AF＝

∴直线AB与平面A1B1CD的距离为

理解射影的概念

［例5］

（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；

（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；

（3）垂线段比任何一条线段都短；

（4）斜线在平面内的射影可能是一条直线，也可能是一个点．上面四个命题中，正确命题的个数是（　　）

A．0个B．1个

C．3个D．4个

应用定理时应注意结论成立的条件．

（1）、

（2）、（3）均不正确．垂线段和斜线段长定理中涉及的垂线段和斜线段都是从平面外同一点引出的，离开了这个前提，结论就不成立．（4）也不对，斜线在平面内的射影必为直线，只有点或垂线在平面内的射影才是点．故本题应选A．

直线与平面所成角，求解步骤可概括为“一作二证三算”

［例6］求证：

两条平行线和同一平面所成的角相等．

两条平行线和平面有不同的位置关系，应按各种情况分别证明．

设两平行线为a、b，平面为α．

（1）a、b都平行于α或都在α内，或一条与α平行，另一条在α内时，则a、b和α所成的角都等于0°

，所以相等；

（2）a、b都和α垂直，则a、b和α所成的角都等于90°

（3）a、b和α斜交．设a∩α＝A，b∩α＝B，在a、b上分别取点C、D，使C、D在α的同侧，作CE⊥α于E，DF⊥α于F，则CE∥DF，连结AE、BF，则直线AE、BF分别是a、b在α内的射影，所以∠CAE、∠DBF分别是a、b和α所成的角．

∵a∥b，CE∥DF，且∠ACE和∠BDF的方向相同，

∴∠ACE＝∠BDF，∴∠CAE＝∠DBF，即斜线a、b和α所成的角相等．

综上讨论得：

直线与直线垂直的判定方法

1．利用定义，证明所成角为90°

．2．利用线面垂直的定义，证明一条直线垂直于过另一条直线的平面．

3．利用三垂线定理及逆定理．［例7］如图9-4-13，在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：

AD⊥BC．

证明线线垂直，往往利用三垂线定理及其逆定理来证明．

设A点在平面BCD上的射影为H，分别连BH、CH、DH，并延长交对边于E、F、G．

∵AB⊥CD，BE为AB在平面BCD上的射影，∴BE⊥CD．

同理CF⊥BD．∴H为△BCD的垂心，∴DG⊥BC．又AD在平面BCD上的射影为DG，∴AD⊥BC．

三垂线定理和两异面直线所成的角

图9-4-13

图9-4-14

［例8］如图9-4-14，MA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且MA＝AB＝a，试求：

（1）点M到BD的距离；

（2）求异面直线MB与AC所成的角．

（1）取正方形ABCD对角线交点为O，连结MO，∵MA⊥平面ABCD，MO在平面ABCD内的射影就是AO，

又∵AO⊥BD，∴MO⊥BD（三垂线定理），

MO就是M到BD的距离，在Rt△MAO中，MA＝a，AO＝

MO＝

，∴M到BD的距离为

a．

（2）延长DA到D1使AD1＝AD，则AD1

BC，连结BD1，AC

BD1，

∠MBD1为异面直线MB与AC所成的角在△MD1B中，易求得MB＝MD1＝BD1＝

a

∴△MD1B为正三角形，∠MBD1＝60°

∴异面直线MB与AC所成的角为60°

（1）立体几何中的计算距离，角等问题通常要有“作”“证”“算”三个基本步骤，即先在图中作出所求量，并证明之，后进行计算，不少学生在解这一类问题往往跳过“证”这一步，这样图中所作的量不一定是符合题意的而造成错误．

（2）本题

（2）中使用了“割补法”把“AC”平移到原有立体图“外”，使异面直线所成角变为两相交直线所成角，化空间问题为平面问题．

（3）请思考如何求异面直线MB与AC之间的距离？

提示：

AC∥平面MBD1，故只须求AC上一点到平面MBD1的距离．综合问题，多与“求角”和“求距离”的题相结合

图9-4-15

［例9］如图9-4-15所示，已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．

若过B点直接作平面EFG的垂线，显然不清楚垂足的位置，由题设条件可证BD∥平面EFG，因此可以把点B到平面的距离转化为直线BD到平面EFG的距离．

设H、O分别是AC与EF、BD的交点，在平面GHC内，过点O作OK⊥HG于K，

∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC．∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD．∴GC⊥平面ABCD．∴CH⊥GC．

∵CH∩GC＝C，∴EF⊥平面CHG．∵OK

平面GHC，∴EF⊥OK．∵OK⊥GH，GH∩EF＝H，

∴OK⊥平面EFG．

∵EF∥BD，EF

平面EFG，∴BD∥平面EFG．

∵OK为直线BD到平面EFG的距离，也为B到平面EFG的距离．

∵正方形的边长为4，GC＝2，

∴AC＝4

，HO＝

，HC＝3

，

在Rt△HCG中，HG＝

，∵Rt△HKO∽Rt△HCG，∴OK＝

．故点B到平面EFG的距离为

【知识拓展】

迁移

图9-4-16

［例1］在△ABC中，∠BAC＝90°

，AB＝AC＝2a，P是△ABC所在平面α外一点，且PA＝a，∠PAB＝∠PAC＝60°

（如图9-4-16所示），