北京市昌平临川育人学校届高三下学期期中考试数学理试题+Word版含答案.docx

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北京市昌平临川育人学校届高三下学期期中考试数学理试题+Word版含答案

北京临川育人学校2017~2018学年度第二学期高三期中测试数学（理科）

一、选择题：

共12小题,每小题5分共60分,在每小题给出四个选项中选出符合题目要求的.

1.若集合，或，则

A.B.C.D.

2.复数在复平面上对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知，且，则下列不等式一定成立的是

A.B.C.D.

4.在平面直角坐标系中,角以为始边,终边与单位圆交于点，则=

A.B.C.D.

5.设抛物线上一点到轴的距离是则到该抛物线焦点的距离是

A.1B.2C.3D.4

6.故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”四个展览。

某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有

A.6种B.8种C.10种D.12种

7.设是公差为的等差数列，为其前n项和，则“”是“为递增数列”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.在△ABC中,角A，B，C所对的边分别为，若,则

A.B.C.D.

9.若满足，则的最大值为

A.6B.8C.10D.12

10.某次数学测试共有道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”，已知这次测试共有个“学习能手”，则难题的个数最多为

A.4B.3C.2D.1

11.已知定义在R上的函数是奇函数，且满足，，数列满足，且，的前，则（）

A.B.C.3D.2

12.若函数，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的假周期，函数是上的级假周期函数，若函数是定义在区间内的3级假周期且，

当函数，若，使成立，则实数的取值范围是（）

A.B.C.　D.

二、填空题：

共4小题,每小题5分,共20分.

13.在（1-2x）6错误！

未找到引用源。

的展开式中，x2的系数为___.（用数字作答）

14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____.

15.设平面向量为非零向量，能够说明若“，

则”是假命题的一组向量的坐标依次为______.

16.单位圆的内接正n（）边形的面积记为，则________；

下面是关于的描述：

①；②的最大值为；③；④.

其中正确结论的序号为________（注：

请写出所有正确结论的序号）

三、解答题：

共6小题，共70分.解答应写出文字说明，验算步骤或证明.

17.（本小题满分12分）已知函数

（Ⅰ）求的最小正周期;

（Ⅱ）求在上的最大值和最小值.

18.（本小题满分12分）从高一年级随机选取100名学生，对他们期中考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所示.

（Ⅰ）从这100名学生中随机选取一人，

求该生数学和语文成绩均低于60分的概率;

（Ⅱ）从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人，

记这两人中数学成绩高于80分的人数为，

求的分布列和数学期望;

（Ⅲ）试判断这100名学生数学成绩的方差与

语文成绩的方差的大小.（只需写出结论）

19.（本小题满分12分）如图1，在边长为2的正方形中，为中点，

分别将沿所在直线折叠，使点与点重合于点，如图2.

在三棱锥中，为中点.

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角的大小.

20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设，是椭圆上不同于点的两点，且直线，的斜率之积等于，

试问直线是否过定点？

若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．

21.（本小题满分12分）已知函数.

（Ⅰ）若曲线在处的切线斜率为0，求的值;

（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围

（Ⅲ）求证：

当时，曲线总在曲线的上方.

选考题：

共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本题满分10分）选修4-4：

参数方程与极坐标系

已知直线，曲线.以坐标原点O为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）分别求直线和曲线的极坐标方程；

（2）若射线分别交直线和曲线于M,N两点（N点不同于坐标原点O），求的最大值.

23.（本题满分10分）选修4-5：

不等式选讲

已知函数

（1）若对于任意的实数，都有成立，求的取值范围；

（2）若方程有两个不同的实数解，求的取值范围.

一、选择题：

共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.【答案】

【解析】由题易知，故选

2.【答案】

【解析】,所以在复平面上对应的点为，在第二象限,故选

3.【答案】

【解析】由在上单调递增可知,

故选

4.【答案】

【解析】由正切函数定义可知:

，，

故选

5.【答案】

【解析】在抛物线中,焦点

准线点到

轴的距离为即故选

6.【答案】C

【解析】法一：

种

法二：

种.故选C

7.【答案】D

【解析】充分条件的反例，当，时，，，充分不成立.

必要条件的反例，例，，，

必要不成立.故选D.

8.A【解析】,

9.A可行域如右图所示：

设即，当过时，取最大值，

所以.

10.【答案】D

【解析】由题意可知每位“学习能手”最多做错道题，位“学习能手”则最多做错道题.而至少有个“学习能手”做错的题目才能称之为“难题”，所以难题最多道.故选D.

11.D

12.C

二、填空题：

本大题共4小题,每小题5分,共20分.

13.60

14.【答案】【解析】该几何体如图所示：

可知,为等边三角形,

所以,所以四边形的面积为

所以.

15.【答案】，，（答案不唯一）

【解析】

设，，,则，，所以但，所以若，则为假命题。

16.【答案】；①③④

【解析】内接正边形可拆解为个等腰三角形，腰长为单位长度，顶角为.

每个三角形的面积为，所以正边形面积为

.，①正确；

正边形面积无法等于圆的面积，所以②不对；

随着的值增大，正边形面积也越来越大，所以③正确；

当且仅当时，有，由几何图形可知其他情况下都有

所以④正确.

四、解答题共6小题,共70分.解答应写出文字说明，验算步骤或证明.

17、解:

（Ⅰ）由题意得：

（Ⅱ）当时，

当时,即时,取得最大值.

当时,即时,取得最小值.

所以在上的最大值和最小值分别是和.

18、解:

（Ⅰ）由图知有9名学生数学和语文成绩均低于60分,则从100名学生中随机选一人,该生数学和语文成绩均低于60分的概率为.

（Ⅱ）由题可知,的可能取值为0,1,2

0

1

2

（Ⅲ）

19.解:

（Ⅰ）由图1知

由图2知重合于点.则

面面

面,又面

（Ⅱ）由题知为等边三角形

过取延长作建立如图空间直角坐标系

则

易知面的法向量为

设与平面夹角为

则

直线与平面所成角正弦值为

（Ⅲ）由（Ⅱ）知面的法向量为

设面法向量为

易知为中点，，

即

令则

则

由图知二面角为锐角，二面角为

20．解:

（Ⅰ），，

过，，，

，

（Ⅱ）①当斜率不存在时，设，则，

，，

又在椭圆上，，解得，，

．

②当斜率存在时，设，与椭圆联立，由

得，，即，

设，，

则，，[来源:

Zxxk.Com]

，

，，或，

当时，，恒过不符合①，

当时，，结合①，恒过，

综上，直线恒过．

21.解:

（Ⅰ），由题可得，即，故

（Ⅱ）

①当时，恒成立，符合题意。

②当时，恒成立，则在上单调递增，当时，，不符合题意，舍去；

③当时，令，解得

当变化时，和变化情况如下

极小值

，由题意可，即，

解得。

综上所述，的取值范围为

（Ⅲ）由题可知要证的图像总在曲线上方，即证恒成立，即要证明恒成立，构造函数

，令，故，则在单调递增，则单调递增.因为，，由零点存在性定理可知，在存在唯一零点，设该零点为，

令，即，且

当变化时，和变化情况如下

极小值

则，因为，所以，

所以，当且仅当时取等，因为，

，

即恒成立，曲线总在曲线的上方.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22.解：

（1）……………..…4分

（2）由已知可设

则………………..…6分

仅当时，取得最大值…..…10分

23.解：

（1）由于，

所以的最小值为。

又因为对任意的实数，

都有成立，只需，

即，解得，故的取值范围为。

………5分

（2）方程有两个不同的实数解，即函数与

的图像有两个不同的交点，作出这两个函数图像，

由图像可知，得取值范围是………10分