全校学习答案全九上4章Word下载.docx
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10.求下列各式中x的值∶
(1)3∶x=6∶12;
(2)x∶(x+1)=(1-x)∶3.
解:
(1)由比例的基本性质可知∶6x=3×
12,∴x=6.
(2)由比例的基本性质可知∶(1+x)(1-x)=3x,
∴x2+3x-1=0,∴x1=,x2=.
11.已知=≠1,求证:
=.
证明:
∵=,
∴1+=1+,
∴=, ①
∴1-=1-
,∴= ②
①÷
②得=.
12.已知线段a,b,c,且==.
(1)求的值;
(2)若线段a,b,c满足a+b+c=27,求a,b,c的值.
(1)设===k,
则a=2k,b=3k,c=4k,
∴==.
(2)∵a+b+c=27,
∴2k+3k+4k=9k=27,
解得k=3,
∴a=6,b=9,c=12.
13.若=,则=____,=__-__.
【解析】∵=,∴5a+5b=6b,∴5a=b,∴=,==-.
14.已知==,则=____.
【解析】设x=2k,y=3k,z=4k,则==.
15.已知x∶y∶z=3∶5∶6,且2x-y+3z=38,则3x+y-2z=__4__.
【解析】因为x∶y∶z=3∶5∶6,所以可设===k,则x=3k,y=5k,z=6k.又因为2x-y+3z=6k-5k+18k=38,即k=2,所以3x+y-2z=9k+5k-12k=2k=4.
16.[2011·
毕节]已知===k,则k的值是__2或-1__.
【解析】
(1)当a+b+c≠0时,
∵===k,
∴=k,∴k=2;
(2)当a+b+c=0时,a+b=-c,∴k=-1,
∴k的值为2或-1.
17.已知三个数1,2,,请你再添一个数(只添一个),使它们能构成一个比例式,试求这个数:
设这个数为x,分三种情形讨论∶
①当x与1是两内项时,x=2;
②当x与2是两内项时,x=;
③当x与是两内项时,x=,
故这个数为2或或.
18.已知x∶y∶z=4∶5∶7,求:
(1);
(2).
令x=4k,y=5k,z=7k,则∶
(1)===.
(2)===.
19.若===,求∶
(2);
(3)比较
(1),
(2)的结论,你能发现什么规律?
(1)令a=b,c=d,
则==.
(2)令a=b,c=d,e=f,
则=
==.
(3)若===k,
则=k.
20.操场上有一群学生玩游戏,其中男生与女生的人数比是3∶2,后来又有6名女生参加,此时男生与女生的人数比为5∶4,求原来各有多少男生和女生?
解∶设原来有男生x人,女生y人,则
于是有
解得
所以原来有男生45人,女生30人.
21.丽丽和父亲下完一局围棋后,随意收拾棋子时发现左盒中黑,白棋子枚数之比为2∶1,右盒中黑,白棋子枚数之比为4∶11,已知一副围棋中有黑,白各180枚棋子,求左,右盒中黑,白棋子各为多少枚?
【解析】设左盒中的白棋子为x枚,根据题意可得左盒中黑棋子为2x枚,右盒中黑,白棋子分别为(180-2x)枚,(180-x)枚,再根据右盒中黑,白棋子枚数之比为4∶11,即可列比例式求解.
`解:
设左盒中的白棋子为x枚,则黑棋子为2x枚,右盒中黑,白棋子分别为(180-2x)枚,(180-x)枚,
根据题意得(180-2x)∶(180-x)=4∶11,
解得x=70,
∴2x=140,180-2x=40,180-x=110.
答∶左盒中黑,白棋子分别为140枚,70枚,右盒中黑,白棋子分别为40枚,110枚.
第2课时 比例线段[见A本P38]
1.下列各组线段(单位∶cm)中,是成比例线段的是( B )
A.1、2、3、4 B.1、2、2、4
C.3、5、9、13D.1、2、2、3
【解析】A、C、D都不是成比例线段,故选B.
2.在相同时刻的物高与影长成比例,小明的身高为1.5m,在地面上的影长为2m,同时一古塔在地面上的影长为40m,则古塔高为( C )
A.60mB.40m
C.30mD.25m
【解析】设古塔高为xm,则有=,解得x=30(m).故选C.
3.已知四条线段a、b、c、d是成比例线段,即=,下列各式错误的是( C )
A.ad=bcB.=
4.已知A、B两地的实际距离AB=5000m,画在地图上的距离A′B′=2cm,则这张地图的比例尺是( D )
A.2∶5B.1∶25000
C.25000∶1D.1∶250000
5.已知P是线段AB上一点,且=,则等于( A )
A.B.
【解析】由=,则可设AP=2k,PB=5k,∴AB=7k,∴==,故选A.
6.在比例尺为1∶40000的工程示意图上,南京地铁一号线(奥体中心至迈臬桥段)的长度约为54.3cm,它的实际长度约为( C )
A.0.2172km B.2.172km
C.21.72km D.217.2km
【解析】设实际长度为xcm,则=,解得x=2172000(cm)=21.72(km),故选C.
7.四条线段a,b,c,d成比例,其中b=3cm,c=2cm,d=6cm,则线段a的长为__1__cm.
【解析】∵a,b,c,d是成比例线段,∴=,∴=,∴a=1(cm).
8.正方形的边长与对角线的比是__1∶__;
等边三角形的边长与高的比是__2∶__.
【解析】设正方形的边长为1,则对角线长为,其比为1∶;
设等边三角形的边长为1,则高为,其比为1∶=2∶.
9.若△ABC的三个内角的比为1∶2∶3,则这个三角形的三边长的比为__1∶∶2__.
【解析】△ABC的三个内角为30°
,60°
,90°
,所以设30°
角所对的直角边为1,则斜边长为2,另一直角边长为,故三边长的比为1∶∶2.
10.已知线段m=10mm,n=2cm,e=cm,d=2cm,试判断m,n,e,d是否是成比例线段.
先把单位化成一致.
m=1cm,n=2cm,e=cm,d=2cm,
∵md=2,ne=2,
∴md=ne,
∴=,
故m,n,e,d是成比例线段.
11.在比例尺为1∶50000的地图上,一块多边形地区的周长是72cm,多边形的两个顶点A,B之间的距离是25cm,求这个地区的实际边界长和A,B两地之间的实际距离.
∵实际距离=图上距离×
比例尺,
∴A、B两地之间的实际距离=25×
50000=1250000(cm)=12.5km,这个地区的实际边界长=72×
50000=3600000(cm)=36km.
12.如图4-1-1,已知=,AD=6.4cm,DB=4.8cm,EC=4.2cm,求AC的长.
图4-1-1
∴AE=5.6,
∴AC=AE+EC=5.6+4.2=9.8.
13.如图4-1-2所示,延长线段AB到点C,使BC=2AB,再延长线段BA到点D,使AD=AB,则CD∶BD为( A )
图4-1-2
A.7∶3B.5∶2
C.7∶2D.5∶3
【解析】∵CD=AD+AB+BC=AB+AB+2AB=AB,BD=AD+AB=AB+AB=AB,
∴CD∶BD=AB∶AB=7∶3.故选A.
14.已知在△ABC和△A′B′C′中,===,A′B′+B′C′+C′A′=16cm,则AB+BC+AC=( B )
A.48cmB.24cm
C.18cmD.36cm
【解析】∵AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′,∴AB+BC+AC=(A′B′+B′C′+A′C′)=×
16=24(cm).
15.如图4-1-3所示,一张矩形纸片ABCD的长AB=acm,宽BC=bcm,E,F分别为AB,CD的中点,这张纸片沿直线EF对折后,矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比,则a∶b等于( A )
图4-1-3
A.∶1B.1∶
C.∶1D.1∶
16.如图4-1-4,已知==,求,,.
图4-1-4
∵=,∴令AD=3k,DB=2k,
则AB=AD+DB=5k,∴==.
同理==,=.
17.如图4-1-5所示,已知在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,AC=8,BC=6,求CD的长.
图4-1-5
【解析】由S△ABC=AC·
BC=AB·
CD,得AC·
CD.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB===10.
∵S△ABC=AC·
CD,
∴AC·
∴CD=4.8.
18.如图4-1-6,已知AD,CE是△ABC中边BC,AB上的高,求证:
AD∶CE=AB∶BC.
图4-1-6
利用面积法证明.
∵S△ABC=AD·
CE,
∴AD·
即AD∶CE=AB∶BC.
19.如图4-1-7,在线段AB上存在一点C,满足AC∶CB=CB∶AB=k.
图4-1-7
(1)求k的值;
(2)如果三条线段a,b,c满足a∶b=b∶c=k,问这三条线段能否构成三角形,如果能,请指出三角形的形状;
如果不能,请说明理由.
(1)∵AC∶CB=CB∶AB=k,
若设AB=1,则CB=k,AC=k2.
又∵AC+BC=AB,
∴k2+k=1,
∴k=.
又∵k>0,∴k=.
(2)∵a∶b=b∶c=k,
∴b=kc=c,a=kb=c=c,
∴a+b=c,
∴线段a、b、c不能构成三角形.
第3课时 比例中项[见B本P42]
1.已知三条线段a,b,c中,有c2=ab,则称c是a,b的比例中项,若a=2,b=8,则a,b的比例中项c的值为( A )
A.4 B.±
4 C.±
16 D.16
【解析】∵c2=2×
8,∴c=±
4,负数不合题意应舍去,故选A.
2.如图4-1-8所示,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果=,那么称线段AB被点C黄金分割,AC与AB的比叫做黄金比,其比值是( A )
图4-1-8
A.B.C.D.
3.若x是a,b的比例中项,则下列式子错误的是( D )
A.x2=abB.=
C.=D.ab=
【解析】∵x是a,b的比例中项,∴x2=ab,即只要利用比例的基本性质,可化成上式就对.
4.如果a∶b=12∶8,且b是a和c的比例中项,那么b∶c等于( B )
A.4∶3B.3∶2C.2∶3D.3∶4
【解析】∵a∶b=12∶8,b是a和c的比例中项,即a∶b=b∶c,∴b∶c=12∶8=3∶2.
5.已知线段AB=10cm,点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),则AC的长为( C )
A.(5-10)cmB.(15-5)cm
C.(5-5)cmD.(10-2)cm
【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),
∴AC=AB,而AB=10cm,
∴AC=×
10=(5-5)cm.故选C.
6.如图4-1-9所示,扇子的圆心角为x°
,余下扇形的圆心角为y°
,x与y的比通常按黄金比来设计,这样的扇子外形较美观,若黄金比取0.618,则x为( B )
A.222B.138C.139D.108
图4-1-9
【解析】根据题意,得=0.618,y=360-x,∴x=0.618(360-x),解得x≈138.故选B.
7.如图4-1-10是一种贝壳的俯视图,点C分线段AB近似于黄金分割比.已知AB=10cm,则AC的长约为__6.2__cm(结果精确到0.1cm).
图4-1-10
【解析】由图可知AC>BC,∴AC=×
10≈0.618×
10≈6.2(cm).
8.小明家的房间高度为2.8米,他打算用“黄金分割”的知识在墙上挂一幅画来美化居室,从地面算起,这幅画应挂在约__1.73__米高的地方,才能使人感到舒适(结果精确到0.01m).
9.0.618是黄金分割比,当环境温度与人的正常体温(36.5℃)的比值等于黄金分割比时,机体的新陈代谢、生理功能均处于最佳状态,则环境温度为__22.6℃__时,人感到最舒适(精确到0.1℃).
【解析】设环境温度为x℃时,人感到最舒适,则≈0.618,则x≈22.6.
10.
(1)已知a=4,c=9,若b是a,c的比例中项,求b的值.
(2)已知线段MN是AB,CD的比例中项,AB=4cm,CD=5cm,求MN的长.并思考两题有何区别.
(1)∵b是a,c的比例中项,
∴a∶b=b∶c,
∴b2=ac,
b=±
,
∵a=4,c=9,
∴b=±
=±
6,即b=±
6;
(2)∵MN是线段,
∴MN>
0;
∵线段MN是AB,CD的比例中项,
∴AB∶MN=MN∶CD,
∴MN2=AB·
∴MN=±
;
∵AB=4cm,CD=5cm,
2,
MN不可能为负值,则MN=2,
通过解答
(1),
(2)发现,b,MN同时作为比例中项出现,b可以取负值,而MN不可以取负值.
11.某公司生产一种新型手杖,其长为1.2m,现要在黄金分割点位置安放一个小装饰品,试确定所安放的小装饰品的位置(注∶该装饰品离手杖的上端较近,精确到0.01m).
设该装饰品离手杖上端的距离是xm,由题意,得=,解得x≈0.46(m),
即该装饰品离手杖上端的距离约为0.46m.
图4-1-11
12.一般认为,如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割,则这个人好看.如图4-1-11是一个参加空姐选拔的选手的身高情况,那么她应穿多高的鞋子才能好看?
(结果精确到1cm,参考数据∶黄金分割比为,≈2.236)
设应该穿xcm的鞋子,
由题意,得=,解得x≈10(cm).
13.[2012·
天津]如图4-1-12,在边长为2的正方体ABCD中,M为边AD的中点,延长MD到点E,使ME=MC,以DE为边作正方形DEFG,点G在边CD上,则DG的长为( D )
A.-1B.3-C.+1D.-1
图4-1-12
14.[2012·
宿迁]如图4-1-13,已知P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB,若S1表示以PA为一边的正方形的面积,S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积,则S1__=__S2(填“>”“=”或“<”).
图4-1-13
【解析】∵P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB,∴PA2=PB·
AB,又∵S1表示PA为一边的正方形的面积,S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积,∴S1=PA2,S2=PB·
AB,∴S1=S2.
15.如图4-1-14所示,在△ABC中,AB=AC=4,BC=2(-1),∠A=36°
,BD平分∠ABC,交AC于点D,试说明点D是线段AC的黄金分割点.
图4-1-14
∵AB=AC,∠A=36°
∴∠C=∠ABC==72°
.
∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD=36°
∴∠CDB=180°
-72°
-36°
=72°
=∠C,∠A=∠ABD=36°
∴BC=BD=AD=2(-1),
∴==,
===,
∴=,故点D是线段AC的黄金分割点.
16.[2012·
恩施]如图4-1-15,用纸折出黄金分割点∶裁一张正方形的纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB落在线段EA上,折出点B的新位置B′,因而EB′=EB.类似地,在线段AB上折出点B″,使AB″=AB′,这时B″就是线段AB的黄金分割点.请你证明这个结论.
图4-1-15
设正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点,
∴BE=1,∴AE==.
又B′E=BE=1,∴AB′=AE-B′E=-1.
又∵AB″=AB′=-1,∴AB″∶AB=(-1)∶2,
∴点B″是线段AB的黄金分割点.
17.若一个矩形的短边与长边的比值为(黄金分割数),我们把这样的矩形叫做黄金矩形.
(1)操作∶请你在图4-1-16所示的黄金矩形ABCD(AB>
AD)中,以短边AD为一边作正方形AEFD;
(2)探究∶在
(1)中得到的四边形EBCF是不是黄金矩形?
请说明理由;
(3)归纳∶通过上述操作及探究,请概括出具有一般性的结论(不需要说明原因).
图4-1-16
第17题答图
(1)在AB和DC上分别截取AE=DF=AD,连结EF,如图所示,则四边形AEFD就是所求作的正方形.
(2)四边形EBCF是黄金矩形.
理由∶因为四边形AEFD是正方形,
所以∠AEF=90°
,∠BEF=90°
所以四边形EBCF是矩形.
设CD=a,AD=b,则=,
所以==-1=-1=,
所以矩形EBCF是黄金矩形.
(3)在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后,所得到的另外一个矩形是黄金矩形.
4.2__由平行线截得的比例线段__[见A本P40]
1.如图4-2-1,已知AB//CD//EF,那么下列结论正确的是( A )
图4-2-1
A.= B.=
2.如图4-2-2,已知BD//CE,则下列等式不成立的是( A )
图4-2-2
3.如图4-2-3,已知直线a//b//c,直线m,n与a,b,c分别交于A,C,E,B,D,F,AC=4,CE=6,BD=3,则BF=( B )
图4-2-3
A.7 B.7.5 C.8 D.8.5
【解析】∵a//b//c,∴=,
∴DF=4.5,
∴BF=BD+DF=7.5.
4.如图4-2-4,若l1//l2,那么以下正确的是( D )
图4-2-4
5.如图4-2-5所示,△ABC中,DE//BC,AD=5,BD=10,AE=3,则CE的值为( B )
A.9B.6
C.3D.4
图4-2-5
【解析】∵DE//BC,∴=,∵AD=5,∴BD=10,AE=3,∴=,∴CE=6,故选B.
6.[2013·
温州]如图4-2-6,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC.已知AE=6,=,则EC的长是( B )
4-2-6
A.4.5B.8C.10.5D.14
【解析】根据平行线分线段成比例定理,列出比例式求解即可得到答案.
∵DE∥BC,
∴=
∵AE=6,
解得EC=8,则EC的长是8.
7.如图4-2-7,已知l1//l2//l3,AM=3cm,BM=5cm,CM=4.5cm,EF=12cm,则DM=__7.5__cm,EK=
__4.5__cm,FK=__7.5__cm.
图4-2-7
8.如图4-2-8,已知AC//DB,OA∶OB=3∶5,OA=9,CD=32,则OB=__15__,OD=__20__
图4-2-8
【解析】∵=,∴OB=OA=×
9=15.
设OD=x,则OC=32-x.
∵AC//DB,∴=,∴=,解得x=20.
9.已知如图4-2-9,l1//l2//l3,AB=3,BC=5,DF=16,求DE和EF的长.
图4-2-9
∵l1//l2//l3,∴==,即=.
∴DE=6,
∴EF=DF-DE=16-6=10.
10.如图4-2-10,点F是▱ABCD的边CD上一点,直线BF交AD的延长线于点E,则下列结论错误的是( C )
图4-2-10
11.[2013·
上海]如图4-2-11,已知在△ABC中,点D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD∶DB=3∶5,那么CF∶CB等于( A )
4-2-11
A.5∶8B.3∶8
C.3∶5D.2∶5
【解析】∵AD∶DB=3∶5,∴BD∶AB=5∶8,
∵DE∥BC,∴CE∶AC=BD∶AB=5∶8,
∵EF∥AB,
∴CF∶CB=CE∶AC=5∶8.
故选A.
12.如图4-2-12,已知AB//MN,BC//NG,求证:
图4-2-12
∵AB//MN.∴=.
又∵BC//NG.∴=,
∴=.
13.如图4-2-13,▱ABCD中,点E在CD延长线上,连接BE交AD于点F,若AB=3,BC=4,DF=1,求DE的长.
图4-2-13
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=DC,AD=BC.
∵AB∥DC,AD∥BC,
∴==,∴=.
又∵AF=AD-DF=BC-DF=3.
∴=,∴DE=1.
14.已知,如图4-2-14,A,C,E和B,F,D分别是∠O两边上的点,且AB∥ED,BC∥FE.
求证:
OA·
OD=OC·
OF.
4-2-14
∵AB//ED,
∴OA·
OD=OE·
OB,
∵BC//FE,∴=,
∴OE·
OB=OC·
OF,
15.[2013,上海]如图4-2-15,在△ABC中,∠ACB=90°
,∠B>
∠A,点D为边AB的中点,DE//BC交AC于点E,CF//AB交DE的延长线于点F.
(1)求证:
DE=EF;
(2)连结CD,过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G,
∠B=∠A+∠DGC.
图4-2-15
(1)∵DE//BC,∴=,
∵点D为边AB的中点,∴AE=EC,
∵CF//AB,∴=,
∴DE=EF;
(2)∵CF//AB,∴∠A=