时间序列分析方法第11章向量自回归.docx
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时间序列分析方法第11章向量自回归
第十一章向量自回归
前一章我们讨论了向量随机过程的基本性质。
本章我们将深入分析向量自回归模型,这种模型更适合于估计和预测。
由于Sｉms（１9８0）年在经济中的出色运用，向量自回归模型在分析经济系统的动态性上得到了广泛的应用。
§11．1 无限制向量自回归模型的极大似然估计和假设检验
按照时间序列模型极大似然估计方法，我们首先分析向量自回归模型的条件似然估计。
11.1.1 向量自回归模型的条件似然函数
假设表示一个包含时间时个变量的的向量。
假设的动态过程可以由下面的阶高斯向量自回归过程:
，
假设我们已经在个时间间隔中观测到这些个变量的观测值。
如同标量过程时的情形，最简单的方法是将前个样本（表示为）做为条件,然后利用后面的个样本（表示为）形成参数估计。
我们的目的是构造下面的条件似然函数:
这里参数向量为,我们在上述函数中相对于参数进行极大化。
一般情形下，向量自回归模型是在条件似然函数基础上,而不是在无条件似然函数基础上进行估计的。
为了简单起见,我们将上述“条件似然函数”称为“似然函数”,相应的“条件极大似然估计”称为“极大似然估计”。
向量自回归与标量自回归过程的似然函数的计算方法是类似的。
基于时刻以前观测值,时刻的值等于常数向量：
，加上一个多元正态分布的随机向量,因此条件分布为:
我们可以将上述条件分布表示成为更为紧凑的形式。
假设向量是常数向量和滞后值向量构成的综合向量：
这是一个维数为的列向量。
假设表示下述维矩阵:
这时条件均值可以表示为,的第行包含VAＲ模型第个方程中的参数。
使用这样的符号，我们可以把条件分布表示成为紧凑形式：
因此第个观测值的条件分布可以表示成为:
这是基于条件的观测值从1到的联合概率分布为:
连续叠代利用上述公式，可以获得全部样本基于的联合条件分布是单独条件密度函数的乘积:
因此,样本对数似然函数为:
１１.1.2的极大似然估计
我们首先考虑的极大似然估计,它包含常数向量和自回归系数。
我们的结论是它可以利用下述公式给出：
这可以当作基于常数和母体线性投影的样本估计，的第行是:
这正是基于常数和进行线性回归的普通最小二乘估计（ＯLＳ）的估计系数向量。
因此,ＶAR模型第个方程系数的极大似然估计可以从基于常数项和该系统所有变量的阶滞后变量进行线性回归得到的ＯLS估计获得。
为了验证上述结论,我们将似然函数中的最后一项表示成为:
这里的向量的第j个元素是从基于常数和进行线性回归得到的观测值的样本残差：
进一步将上式化简为:
考虑上式的中间项，由于这是一个标量,利用“迹算子”进行计算数值不改变：
注意到在线性回归中,普通最小二乘估计下的样本残差与解释变量是正交的,即对所有的j有:
因此也有：
这样就有：
因为是正定矩阵，它的逆矩阵也是正定矩阵。
因此,定义一个维向量：
则上式最后一项可以表示成为:
因此，上式达到最小值时要求:
即:
这意味着OLS回归估计为向量自回归系数提供了极大似然估计。
1１.1.3的极大似然估计
我们可以利用矩阵导数的一些公式来获得的极大似然估计。
在的极大似然估计处,条件似然函数为：
我们的目的是选择对称正定矩阵使得上述函数达到最大。
类似的矩阵导数运算得到：
上述矩阵的第i行和第j列元素的估计为：
这里残差是VＡＲ模型中第ｉ个变量基于常数和所有变量的p阶滞后进行回归普通最小二乘估计得到的残差。
11.1.４向量自回归模型的似然比检验ＬikｅｌiｈoodＲａtiosＴestｓ
为了实施似然比检验,我们需要计算极大似然函数的具体数值，为此，我们考虑：
上式中的最后一项是：
代入到似然函数中,得到:
这使得似然比检验比较容易进行。
假设我们希望检验的原假设是一组变量是由具有阶滞后变量的高斯VAＲ模型产生，而备选假设是滞后变量阶数为。
为了在原假设下估计系统，我们对系统中的每一个变量基于常数和所有其他变量及其阶滞后变量进行最小二乘回归，设是从这些回归中得到的残差的方差-协方差矩阵。
因此在原假设下对数似然估计的极大值是：
类似,该模型系统可以利用最小二乘估计对包括所有变量阶滞后变量进行线性估计，得到备选假设下对数似然函数的最大值是:
这里是从第二组变量集合中获得的方差－协方差矩阵。
则似然比对数的二倍可以表示为:
在原假设下,似然比统计量具有分布的渐近分布,自由度是附加在原假设上约束的数目，系统中每个方程在原假设上的约束条件是每个变量减少了个滞后变量，因此一个方程中的参数零约束是，因此整个VＡＲ模型系统的约束条件数目,因此上述似然比统计量在原假设成立时的渐近分布是。
例如,假设在滞后3阶和4阶的情形下估计一个二元VAR模型,这时的参数阶数为:
，，,假设原始样本中每个变量包含50个观测值，表示为，观测值1至46用于估计滞后3阶和4阶指定时的系统参数，因此这时。
假设表示时基于常数、的３阶滞后和的3阶滞后进行回归的残差，假设计算得到：
，
则有:
计算这个矩阵的对数行列式值为：
。
类似地,假设将变量的滞后4阶变量加入到回归方程中来,则可以得到残差的协方差矩阵为:
这个矩阵的对数行列式值为：
。
则有:
检验统计量的自由度为,由于，因此拒绝原假设，认为模型的动态性没有被VAR（3）描述,这时采用ＶＡR（4）更为合适。
Siｍｓ（1９8０）提出了一种修正的似然比检验,该检验考虑了小样本带来的偏差。
他建议的统计量为：
，
这里的是每个方程中需要估计的参数个数。
这个修正后的统计量保持原来的渐近分布，但是降低了小样本情形下拒绝原假设的可能性。
对上面的例子而言,检验统计量为：
此时我们将得到相反的检验结果,这时原假设是被接受的。
§11.2二元Gｒaｎger因果关系检验BivaｒiａteGｒaｎgerCauｓalitｙＴeｓtｓ
一个能够利用VAR模型处理的关键问题是如何描述一些变量预测其他变量时的有用程度。
下面我们主要分析由Grａngeｒ（１96９）提出的,由Sims（19７2）推广的预测两个变量之间关系的方法。
1１.2．1 二元Granｇｅr因果关系的定义ＤefiniｔionofＢivaｒiatｅGｒａnｇerCausalｉty
我们在这里分析的主要问题是一个标量随机变量对于预测另外一个标量随机变量是否有帮助？
如果没有任何帮助，则称变量没有Ｇｒanｇeｒ影响变量。
更为正式地,如果对所有，基于进行预测的均方误差（MＳＥ）与基于和进行预测的均方误差是一样的,则称变量无法Ｇraｎｇer影响变量（faｉlsto Granｇer-cauｓe）。
如果我们将预测限于线性预测，则当:
则称变量无法Gｒａｎgeｒ影响变量。
等价地,如果上述预测无助性成立,这时我们也称“变量在时间序列意义上相对于变量是外生的（ isexogenoｕs inthetｉｍeｓｅｒiｅssensewithrｅspeｃtｔo）。
与上述意义相同的第三种表示是:
如果上述预测无助性成立,则称关于将来的是非线性信息化的（ ｉｓnoｔｌineaｒlｙｉｎfoｒｍａtiveａboutfuｔｕrｅ ）。
提出如此定义的Granｇer观点是:
如果一个事件Y是另外一个事件X的原因,则事件Y应该发生在事件X之前。
但是，即使人们从哲学角度同意这样的观点，但在使用累积时间序列数据来实现这样的观点上遇到了巨大的障碍。
为此，我们首先需要考虑二元系统中表示Granger因果关系的时间序列表示的机理。
1１.２．2Granger因果关系的另外一种启示AlternativｅImplicatiｏnsofＧrａngｅr Causality
在描述和的二元VＡＲ模型中，如果对所有,下述模型中的系数矩阵是下三角矩阵,则称变量无法Graｎger影响变量。
从这个模型系统的第一行可知,变量的一阶段向前预测仅依赖自身的滞后值,不依赖变量的任何滞后值：
进一步，从模型中可以获得的值为：
根据投影的叠代法则,以时刻的为基础的预测也仅仅依赖。
通过归纳，上述推断对任何步长的预测都是成立的,因此上述断言成立：
如果对所有，上述模型中的系数矩阵是下三角矩阵,则变量无法Granger影响变量。
根据向量回归方程中的结论,我们有下面的公式成立：
，
这里是单位矩阵,，。
这个表示意味着，如果对所有,矩阵是下三角矩阵，则对所有的,基础表示中的移动平均矩阵也是下三角矩阵。
因此，如果变量无法Grangｅr影响变量，则过程的表示为:
这里:
，，
Sims（1９72）给出了Gｒangｅｒ影响关系的另外一种启示。
这样的启示可以从下面的命题得到。
命题１1.1考虑变量依赖过去、当前和将来的线性投影:
这里系数和定义为母体投影系数,即对所有的和，有：
则“变量非Ｇranger影响变量”的充分必要条件是:
，
1１.２.3 Grangeｒ因果关系的计量检验EconoｍetricTestsfor GraｎｇerCausａlity
计量检验两个具体的可以观测到变量之间是否具有“变量非Gｒanｇｅr影响变量”的关系,都可以在上面论述的三种Graｎgｅｒ影响关系的意义上进行。
最简单也可能是最好的方法是使用字回归方程中的下三角指定。
为了进行这样的检验,我们假设一个特殊的滞后阶数为的自回归方程并利用ＯLS估计下面的方程:
我们然后对下述原假设进行F—检验：
:
根据前面的命题8.2，实施检验的一种方法是计算上述回归的残差平方和:
将这个平方和与仅依赖进行回归的残差平方和进行比较:
这里的单变量回归方程是：
定义F—统计量为：
如果该统计量大于分布的临界值，则我们拒绝“变量非Grangｅr影响变量”的原假设。
这就是说,当充分大的时候，我们能够得到“变量确实Grangeｒ影响变量”的结论。
对于具有固定回归因子和高斯扰动时,上述检验统计量在原假设成立时具有精确的F—分布,然而,如果在Grａnger因果回归中具有滞后相依变量的话，那么上述检验只是渐近的。
渐近的等价检验统计量为：
如果大于分布的5％临界值，则拒绝原假设“变量非Granｇer影响变量”。
另外一种方法是利用基于Simｓ形式的检验来代替基于Gｒanger形式的检验。
与Sims形式有关的一个问题是，其中的误差项在一般情况下是自相关的。
因此检验“，”的标准F—检验无法给出正确的答案。
解决这种问题的一种方法是可能存在自相关性的误差项进行变换，假设误差项具有Ｗoｌd表示：
，在模型两端乘以逆算子:
得到：
这时上述模型中的误差项是白噪声过程,并且与其它解释变量无关。
进一步,这时也有：
“对任意,”的充分必要条件是“对任意,”。
因此，对上述模型中的无限求和在某个整数ｑ上截断,就可以利用检验“”的F—统计量来检验原假设“变量非Grａngｅr影响变量”。
在Granger影响关系的经验检验中，人们发现检验结果对选取的滞后阶数是比较敏感的，同时检验结果也依赖处理可能数据存在非平稳性的方法。
这些都是在使用Gｒanger影响关系检验中应该注意的问题。
11.２.４解释Grａngｅr因果关系检验InterpreｔiｎgGｒangeｒ－Cａusａlity Tests
“Grａngeｒ因果关系”与因果关系的标准含义是如何产生关系的?
我们通过几个例子来说明这个问题。
（１）Gｒangeｒ因果关系检验和前瞻行为
我们继续考虑股票投资者的例子。
假设在时刻t,一个投资者以价格购买一股股票，则在时刻，投资者可以获得红利,并以价格出售这股股票。
这种股票的事前收益率（ｅｘpost rate ofretuｒn，表示为）可以按照下式定义：
如果在所有时刻股票的预期收益率是常数r，则下列一个简单的股票价
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