椭圆中互相垂直弦中点过定点问题.docx

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椭圆中互相垂直弦中点过定点问题

椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题

（1）过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦，。

若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点。

（2）过椭圆的长轴上任意一点作两条互相垂直的弦，。

若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点。

设的直线为，则的直线方程为，

，，

，，，

由中点公式得，

将用代换，得到的坐标

的直线方程为，令，得

所以直线恒过定点。

（3）过椭圆的短轴上任意一点作两条互相垂直的弦，。

若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点。

（4）过椭圆内的任意一点作两条互相垂直的弦，。

若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点。

设的直线为，则的直线方程为，

，，

，由中点公式得

直线的方程为：

，

即，所以直线恒过定点。

重庆高2018级理科二诊20（本题满分12分）

已知，是椭圆的左右焦点。

（2）过作两条互相垂直的直线与（均不与轴重合）分别与椭圆交于四点。

线段，的中点分别是，，求证：

直线过定点，并求出该定点坐标。

设直线，联立椭圆方程得：

，，，,

由题意，若直线关于轴对称后得到直线，则得到的直线与关于轴对称，所以若直线经过定点，则该定点一定是直线与的交点，该点必在轴上。

设该定点坐标，，代入坐标化简得

，所以过定点。

结论

（一）以为直角定点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点。

推论1：

以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上。

证明：

设右顶点，设，

，，

，将换成得：

由题意，若直线关于轴对称后得到直线，则得到的直线与关于轴对称，所以若直线经过定点，则该定点一定是直线与的交点，该点必在轴上。

设该定点坐标，，

，所以过定点。

推论2：

以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上。

证明：

设右顶点，设，

，，

，将换成得：

由题意，若直线关于轴对称后得到直线，则得到的直线与关于轴对称，所以若直线经过定点，则该定点一定是直线与的交点，该点必在轴上。

设该定点坐标，，

，所以过定点。

下面探求面积的最大值：

代入椭圆得：

，，当且仅当时等号成立取最大值。

面积在单调递减。

结论2：

以为直角定点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点，

结论3：

以为直角定点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点

重庆高2018级文科二诊20（本题满分12分）

已知，是椭圆的左右焦点，为椭圆的上顶点。

（2）过点作两条互相垂直的直线与椭圆交于，两点（异于点），证明：

直线过定点，并求该定点的坐标。

（2）解：

设，直线，联立椭圆方程得：

，，，

由题意，若直线关于轴对称后得到直线，则得到的直线与关于轴对称，所以若直线经过定点，则该定点一定是直线与的交点，该点必在轴上。

设该定点坐标，，

代入，化简得，所以过定点。

重庆巴蜀中学高2018级届月考卷九理科20（本小题满分12分）

已知椭圆的左右焦点分别是，，上顶点，右顶点为，的外接圆半径为。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆交于，两点，若以为直径的圆经过点，求面积的最大值。

解：

（Ⅰ）右顶点为，，

，

椭圆的标准方程为．……………………………………………（4分）

（Ⅱ）设直线的方程为，

与椭圆联立得

．……………………………………………（6分）

以为直径的圆经过点，

①……………………………………………（7分）

，

代入①式得或（舍去），

故直线过定点．……………………………………………………（9分）

，…………（10分）

令，

则

在上单调递减，

时，．…………………………………………………（12分）

（一般化结论）：

直线与椭圆交于两点，为上顶点。

（1）若，则直线过定点；

（2）若，则直线过定点；

证明：

设直线方程为，

，，，，，

（1）

等式两边同时除以，化简得：

，所以直线过定点。

所以直线过定点。

（2017年全国卷1理科12分）

已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上。

（1）求椭圆方程；

（2）设直线不经过点且与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之和为，证明：

过定点。

解析：

（1）略；

（2）

（一）当直线斜率不存在时，设，，，

，得，此时直线过椭圆右顶点，无两个交点，故不满足。

（二）当直线斜率存在时，设，，，联立

，，，

，又，此时，存在使得，所以直线的方程为：

，过定点。

（一般化直角弦过定点）

过上一点作两条互相垂直的弦、，试研究弦是否过定点？

解：

设，由得到①

设直线的方程为（斜率不存在时容易证明）

又∵在椭圆上　　∴②

同理可得：

③

将②③两式代入到①得

∵点不在直线上，∴

∴

整理得：

∴直线过定点

注：

引理：

若、是方程的两个实数根，则

。

证法思路二：

设在椭圆上，即，设，

，，，

，

所以过定点。

已知椭圆过点，离心率为，、是椭圆上两个动点，且直线、的斜率之积为。

（1）求椭圆标准方程；

（2）求面积的最大值。

（一般结论）设为椭圆C:

上一点，为曲线C的动弦,且弦,斜率存在，记为,,则直线通过定点的充要条件是。

（一般结论）过椭圆（a＞0,b＞0）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于，两点，则直线BC有定向且（常数）.

证明：

设AB：

即

（一般结论）设为椭圆上一点，为椭圆的动弦,且弦,斜率存在，记为,,若，则直线通过定点。

另一类型定点问题

（衡水2018级全国卷模拟20）

直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为（点与点不重合）证明：

直线过轴上的一定点，并求出该定点的坐标。

（一般性）直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为（点与点不重合）证明：

直线过轴上的一定点，并求出该定点的坐标。

，

，，，将点代入得：

过定点。

且。

注意：

本题的关键是在化简计算的过程中，一定要先通分化简再代入韦达定理，否则化简计算不出的值。

衡水答案：

，，，

，将点代入得：

过定点。