河南省开封市届高三上学期第一次模拟考试数学理试题.docx
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河南省开封市届高三上学期第一次模拟考试数学理试题
开封市2019届高三第一次模拟考试
数学（理科）试题
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则
A．B．C．D．
2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3.已知函数，则下列说法正确的是
A．的最小正周期为B．的最大值为2
C．的图像关于轴对称D．在区间上单调递减
4.已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则
A．26B．52C.78D．104
5.已知直线，和平面，，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C.充要条件D．既不充分也不必要条件
6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为
A．B．C.D．
7.已知函数若，则的取值范围是
A．B．C.D．
8.若，满足约束条件则的取值范围为
A．B．C.D．
9.已知数列中，，，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是
A．B．C.D．
10.已知的内角，，，为所在平面上一点，且满足，设，则的值为
A．B．1C.D．2
11.已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为
A．3B．2C.D．
12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是
A．B．C.D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.的展开式中，的系数等于．
14.已知向量，，且在方向上的投影为-3，则向量与的夹角为．
15.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽炫图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是．
16.已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，，且.若存在，使得成立，则实数的最小值为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求面积的最大值.
18.如图所示，是边长为2的正方形，平面，且.
（Ⅰ）求证：
平面平面；
（Ⅱ）线段上是否存在一点，使二面角所成角的余弦值为？
若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.
19.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）求的最小值.
20.大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：
分数
人数
25
50
100
50
25
参加自主招生获得通过的概率
0.9
0.8
0.6
0.4
0.3
（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？
优等生
非优等生
总计
学习大学先修课程
250
没有学习大学先修课程
总计
150
（Ⅱ）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.
（ⅰ）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；
（ⅱ）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.
参考数据：
0.15
0.10
0．05
0.025
0.010
0.005
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
参考公式：
，其中
21.已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）若，且方程在区间内有解，求实数的取值范围.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）已知射线（其中）与曲线交于，两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知函数，.
（Ⅰ）若的最小值为1，求实数的值；
（Ⅱ）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:
CDCBD6-10:
ABACA11、12：
BB
二、填空题
13.-12014.15.16.
三、解答题
17.解：
（Ⅰ）由已知及正弦定理得：
，
∵，∴，
∵∴，∵∴.
（Ⅱ）的面积，
由及余弦定理得，
又，故，当且仅当时，等号成立.
∴面积的最大值为.
18.解：
（Ⅰ）∵平面，平面，平面，∴，，
又∵，∴，∴平面，
又平面，∴平面平面.
（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，
∵，，，∴.
假设线段上存在一点满足题意，
，，，，
易知：
平面的一个法向量为，
∵，，
∴设平面的一个法向量为，
由，得，取，得，
，∴.
点为线段的中点时，二面角所成角的余弦值为.
19.解：
（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为
∴抛物线的焦点为，∴，抛物线的标准方程为.
（Ⅱ）①当动弦所在直线的斜率不存在时，易得：
，，.
②当动弦所在的直线斜率存在时，易知，的斜率不为0.
设所在直线方程为，且，.
联立方程组：
，得；
，，，
所在的直线方程为，联立方程组：
，得点，
∴
∴，
综上所述：
的最小值为2.
20.解：
（Ⅰ）列联表如下：
优等生
非优等生
总计
学习大学先修课程
50
200
250
没有学习大学先修课程
100
900
1000
总计
150
1100
1250
由列联表可得，
因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.
（Ⅱ）（ⅰ）由题意得所求概率为
.
（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为，则，
，，
∴的分布列为
0
1
2
3
4
估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为.
21.解：
（Ⅰ），当时，，
，得，∴在上单调递增；
，得或，∴在和上单调递减.
∴的极小值为，极大值为.
（Ⅱ）由得，由得，
设，则在内有零点，设为在内的一个零点，
由知在和不单调.
设，则在和上均存在零点，即在上至少有两个零点.
，，
当时，，在上递增，不可能有两个及以上零点，
当时，，在上递减，不可能有两个及以上零点，
当时，令得，
∴在上递减，在上递增，在上存在最小值，
若有两个零点，则有，，，
，，
设，，则，令，得，
当时，，递增；当时，，递减.
∴，∴恒成立.
由，，得.
22.解：
（Ⅰ）直线的普通方程为，极坐标方程为，
曲线的普通方程为，极坐标方程为.
（Ⅱ）依题意，∵，∴，
，
，
∴，，∴，.
23.解：
（Ⅰ）
∴或-3.
（Ⅱ）当时，，即，
∴，，
的解集包含，即且，∴.
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