求图形阴影部分面积文档格式.docx
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2012-1-13
备课时间:
2012-1-10
教学目标
掌握常见的面积计算方法和运算计巧
重点、难点
常用运算技巧的掌握。
考点及考试要求
熟练掌握,灵活运用。
我们主要学习:
根据已知平面图形的特点以及图中各部分之间的关系,应用公式或其他数量关系,计算出该图形(或其中某个部分)的面积或图形中有关线段的长度。
到目前为止,我们已经学过了长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形这五种简单图形,它们的概念、性质(特征)与它们的周长、面积的意义的计算公式,课本上都作了介绍。
这些都是我们解答“图形计算”问题所必需的基础知识。
用等量代换求面积
一个量可以用它的等量来代替;
被减数和减数都增加(或减少)同一个数,它们的差不变。
前者是等量公理,后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用,它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积,或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差,从而使隐蔽的关系明朗化,找到解题思路。
例1两个相同的直角三角形如下图所示(单位:
厘米)重叠在一起,求阴影部分的面积。
分析与解:
阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形,然而它的上底与下底都不知道,因而不能直接求出它的面积。
因为三角形ABC与三角形DEF完全相同,都减去三角形DOC后,根据差不变性质,差应相等,即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等,所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。
直角梯形OEFC的上底为10-3=7(厘米),面积为(7+10)×
2÷
2=17(厘米2)。
所以,阴影部分的面积是17厘米2。
例2在右图中,平行四边形ABCD的边BC长10厘米,直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2,求平行四边形ABCD的面积。
分析与解:
因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2,都加上梯形FGCB后,根据差不变性质,所得的两个新图形的面积差不变,即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2,所以平行四边形ABCD的面积等于
10×
8÷
2+10=50(厘米2)。
例3在右图中,AB=8厘米,CD=4厘米,BC=6厘米,三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。
求ED的长。
求ED的长,需求出EC的长;
求EC的长,需求出直角三角形ECB的面积。
因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2,这两个三角形都加上四边形FDCB后,其差不变,所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。
也就是说,只要求出梯形ABCD的面积,就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长,从而求出ED的长。
梯形ABCD面积=(8+4)×
6÷
2=36(厘米2),
三角形ECB面积=36-18=18(厘米2),
EC=18÷
6×
2=6(厘米),
ED=6-4=2(厘米)。
例4下页上图中,ABCD是7×
4的长方形,DEFG是10×
2的长方形,求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。
分析:
直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差,不太容易做到。
如果利用差不变性质,将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差,而这两个图形的面积之差容易求出,那么问题就解决了。
解法一:
连结B,E(见左下图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO,则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。
所求为4×
(10-7)÷
2-2×
2=3。
解法二:
连结C,F(见右上图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO,则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。
解法三:
延长BC交GF于H(见下页左上图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH,则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。
所求为(4+2)×
(10-7)=3。
解法四:
延长AB,FE交于H(见右上图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO,则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。
(10-7)-(10-7)×
(4+2)÷
例5左下图是由大、小两个正方形组成的,小正方形的边长是4厘米,求三角形ABC的面积。
这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件,实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。
连结AD(见右上图),可以看出,三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长,高都等于大正方形的边长,所以面积相等。
因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分,所以去掉这个公共部分,根据差不变性质,剩下的两个部分,即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。
根据等量代换,求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积,等于4×
4÷
2=8(厘米2)。
用割补法求面积
方法总结:
在组合图形中,除了多边形外,还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形,为了计算它们的面积,常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补,使它变成可以计算出面积的规则图形。
就是在多边形的组合图形中,为了计算面积,有时也要用到割补的方法。
例1在一个等腰三角形中,两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图),求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。
阴影部分是一个梯形。
我们用三种方法解答。
(1)割补法
从顶点作底边上的高,得到两个相同的直角三角形。
将这两个直角三角
(2)拼补法
将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图)。
积和平行四边行面积同时除以2,商不变。
所以原题阴影部分占整个图形面
(3)等分法
将原图等分成9个小三角形(见右上图),阴影部分占3个小三角形,
注意,后两种方法对任意三角形都适用。
也就是说,将例题中的等腰三角形换成任意三角形,其它条件不变,结论仍然成立。
例3如左下图所示,在一个等腰直角三角形中,削去一个三角形后,剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形(阴影部分)。
求这个梯形的面积。
因为不知道梯形的高,所以不能直接求出梯形的面积。
可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。
将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形(上页右下图),图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差,也是所求梯形面积的4倍。
所以所求梯形面积是(9×
9-5×
5)÷
4=14(厘米2)。
例4在左下图的直角三角形中有一个矩形,求矩形的面积。
题中给出了两个似乎毫无关联的数据,无法沟通与矩形的联系。
我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形(见右上图)。
因为A与A′,B与B′面积分别相等,所以甲、乙两个矩形的面积相等。
乙的面积是4×
6=24,所以甲的面积,即所求矩形的面积也是2
其他的题型
1.如图,已知四条线段的长分别是:
AB=2厘米,CE=6厘米,CD=5厘米,AF=4厘米,并且有两个直角。
求四边形ABCD的面积。
3.求阴影部分的面积。
(单位:
厘米)
4.下页左图是一块长方形草地,长方形的长是16,宽是10,中间有两条道路,一条是长方形,一条是平行四边形,那么,有草部分(阴影部分)的面积有多大?
米)
例题5、计算右图甲阴影部分面积比乙阴影部分面积大多少平方厘米?
例题6、求图中阴影部分的面积。
练习与思考
1.求图中阴影部分的面积。
2.求图中阴影部分的面积。
3.下左图的长方形中,三角形ADE与四边形DEBF和三角形CDF的面积分别相等,求三角形DEF的面积。
4.图中平等四边形ABCD的边BC长10厘米,直角三角形BCE的直角边EC长8厘米,已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米,求CF的长。
5.图中三角形的高为4,面积为16;
长方形的宽为6,长方形的面积是三角形面积的多少倍?
6.如图,长方形的长是8,宽是6,A和B是宽的中点,求长方形阴影部分的面积。
7.如图,BC长为5,求画斜线的两个三角形的面积之和。
8.上右图是两个一样的直角三角形重叠在一起,按照图上标出的数,计算阴影部分的面积。
9.右图是一块长方形草地,长方形长为16,宽为12,中间有一条宽为2的道路,求草地(阴影部分)的面积。