第7章三角函数Word格式.docx

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（5）原式

评注同角三角函数关系式以及互余两角三角函数关系式，在三角式变形、化简、求值及证明中是重要的依据．

7．1．3★试证明在锐角三角形中，任何一个角的正弦大于其他两个角的余弦．

解析在锐角三角形里，显然有，所以有．

由于在~范围内，当增加时，其正弦值是增加的，于是我们知道．

同理可以证明其他的五组．

7．1．4★下列四个数中哪个最大：

A．B．

C．D．

解析显然，0<

cos48°

<

1．因此有：

所以最大．

7．1．5★设为锐角，且满足，求．

解析我们将代入，得到，并且是锐角，因此所以．

因此．

7．1．6★★在中，，，．证明：

是锐角，并计算的值．

解析若，则，，于是，矛盾．

为计算，必须构造出一个以为其一锐角的直角三角形．如图，过作交于，使，则．

又

=

作于，则，故．

7．1．7★已知，求的值．

解析由两边平方得

又，所以

得

评注

（1）当已知与之间和或差的值时，常常考虑运用转化问题．

（2）总结此题解答过程，该问题实际上是读者都熟悉的问题：

已知，求的值．

这里用三角函数式、来替代、，变化了一下问题的形式．因此，在解题时，弄清问题的本质是非常重要的．

7．1．8★已知为实数，且、是关于的方程的两根．求的值．

解析由根与系数的关系知．则有．

7．1．9★★设、是一个直角三角形的两个锐角，满足．求及的值．

解析由于，故由互余关系得

因此条件即为

，①

将上式平方，得

由正、余弦的平方关系，即有，所以

因、均为正数，故．因此由上式得

，②

由①、②得，，故．

评注本题也可如下解答：

由①得

两边平方，得

，③

因，代入上式并整理，得

，④

解得．因，故只有．由此及①得．

7．1．10★若存在实数和，使得

求实数的所有可能值．

解析把两式相加，得，解得，或（舍去）．

当时，，满足方程．故．

7．1．11★★已知关于的一元二次方程

的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦，求实数的值．

解析设方程的两个实根、分别是直角三角形的锐角、的正弦．则

又，，

化简得，解得或23．检验，当时，

；

当时，

评注本题是三角函数与一元二次方程的综合，基本解法是利用韦达定理和列方程求解．要注意最后检验方程有无实数根．

7．1．12★★已知方程的两根是直角三角形的两个锐角的正弦，求．

解析根据韦达定理，有

并且由于其两根是直角三角形的两个锐角的正弦，所以又有．

于是有．

解得．

7．1．13★★★若直角三角形中的两个锐角、的正弦是方程的两个根；

（1）那么，实数、应满足哪些条件？

（2）如果、满足这些条件，方程的两个根是否等于直角三角形的两个锐角、的正弦？

解析

（1）设、是某个直角三角形两个锐角，、是方程的两个根，则有

．①

由韦达定理，,．又，，于是，．

由于．所以，，

所以

即．

由①得，则．

故所求条件是

，，．②

（2）设条件②成立，则，故方程有两个实根：

由②知，又，

所以，故．

又，故．

所以，、为直角三角形两个锐角的正弦．

评注一般地，有，．即在中，，．

7．1．14★★已知方程的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，试求的值．

解析设题中所述的两个锐角为及，由题设得

因为，故

①式两边平方，并利用恒等式，得．

再由②得，

由，及②知．

7．1．15★★不查表，求的四种三角函数值．

解析、、这些特殊角的三角函数值，我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几何性质及勾股定理直接推出．同样，角的三角函数值，也可以利用直角三角形的性质将其推出．

如图所示．在中，，，延长到，使，则

设，则，，，所以，

评注将角的三角函数求值问题，通过构造适当的三角形，将它转化为角的三角函数问题，这种将新的未知问题通过一定途径转化为旧的已解决了的问题的方法，是我们研究解决新问题的重要方法．根据互余三角函数关系式，我们很容易得到角的四种三角函数值．

7．1．16★★求角的正切值（不查表，不借助计算器）．

解析，所以设法构造一个含角的直角三角形，用定义求值．

如图，中，，，延长到，使，则．设，有，．

故．

7．1．17★★求的值．

解析构造一个顶角为的等腰，，如图，作内角平分线则，设，．

由于，，故，而∽（），故，故，有（舍去）．

再作于H，则，．

评注本题所构造的等腰三角形是圆内接正十边形的相邻顶点与圆心确定的三角形，利用它可以求出半径为的圆内接正十边形的边长．

7．1．18★已知直角三角形中，，，求证：

解析因为，所以．从而．

7．1．19★★在中，、、分别是角、、的对边，且，求．

解析依题意，可将边转化为角．

设，则

，，．

于是题中条件化为

令上述比值为，那么

所以有，，，从而得．

7．1．20★★★若为三角形的最小内角，试求关于的方程

的所有实根．

解析原方程显然有根，再求方程

①的实根．

为三角形最小内角，则，所以．

方程①可整理变形为

令，

由知恒大于零，即不存在使方程①成立的实数．

故原方程仅有一个实根．

7．1．21★★已知函数对于任意实数都有，且是三角形的一个内角，求的取值范围．

解析由于方程没有实数根，．

并根据，可以得到

因此或．

由于，所以．

7．1．22★★已知、是钝角，求证：

（1）关于的方程

①有两个不相等的实根；

（2）若是方程①的根，则也是方程①的根．

解析

（1）因是钝角，故，于是，

所以，方程①有两个不相等的实根．

（2）设是方程①的另一根，则．由韦达定理，得

．③

由于，故．由②、③两式得

，即也是①的根．

7．1．23★★已知，对于任意实数，都有，且是三角形的一个内角，求的取值范围．

解析因对任意实数，二次函数y恒大于0，所以，并且

，所以，整理得．

因，故,．

7．1．24★★若、为实数，，为锐角，求证：

的绝对值不大于1．

解析由，，得，

即，加一项减一项，得

即，

7．1．25★已知，求证：

（3）．

解析用定义将三角比表示成直角三角形对应边的比，然后利用边的不等关系证明．

作，，使，作于，于．

由得射线与线段相交，设交于，则，所以在的延长线上，所以在的延长线上，得．

又，，所以．

因为，，，，，，所以，，．

7．1．26★★已知，求证：

解析1构造，，，，如图，则，．

（1）由+，得；

（2）作高，中线，则，，（以中线，高线重合为面积最大）．

而，所以．

有，即．

又，所以．

由

（1），

（2）知，．

解析2．

又由，得，

故有，由，知．

评注解析1同时也证明了“斜边给定的直角三角形中，等腰直角三角形的面积最大”这一结论．

7．1．27★★★证明：

对于任何实数、，有．

解析因为对于任意、，都有

而函数在上的值是随着的增加而增加的，故．

7．1．28★★★若，，试证明不能介于及之间．

解析假设，则有．

由题意知，，则，即

又，从而

即，所以假设不成立，即命题成立．

7．1．29★★★设，且，，求证：

解析本题如果直接用代数方法，通过代数式的运算证明等式成立，比较复杂．根据已知条件，联想到，因此可设，，则将代数式转化为三角式，利用三角函数有关公式进行变形，这样会简便一些．

设，，则

评注在一些代数等式的证明中，如果已知条件

或，则可设或

从而将代数式转化为三角等式的证明问题，我们称这种转化为三角代换法．由于三角函数的公式较多，

因此化为三角式后，运算化简常比较方便．

7．2解直角三角形

7．2．1★★如图，在直角三角形中，，是的平分线，且，，求的三边长．

解析由角平分线想到对称性，考虑过作，交于，则由得．

在直角三角形中，

，则，所以

故的三边长分别为、，．

7．2．2★★在中（如图），、是斜边的三等分点，已知，．试求的长．

解析作于，于；

于，于．令

，．

则，．

在和中，由勾股定理，得，及，

两式相加得，．

7．2．3★★如图，中，，，，是的平分线，求点到直线的距离．

解析已知中，，要求，可求出的正弦值，而，因而可先求出的长．

作于，有，．

设，由三角形内角平分线性质有，则．

中，，即，得．

，，，故．

7．2．4★已知是非等腰直角三角形，，在所在直线上取两点、使，连结、．已知．求的值．

解析如图，过、两点作、分别交、于、．易知

从而，．

因为，则．

7．2．5★★设有一张矩形纸片（如图），，．现将纸片折叠，使点与点重合，试求折痕的长．

解析设是矩形对角线的中点．连结，由折叠知，故，即．由，，得，从而

在中，，故．

又由得，

所以，．

7．2．6★★已知三角形两边之和是10，这两边的夹角为，面积为，求证：

此三角形为等腰三角形．解析由题意可设，，则

得．

于是，由，，得、是方程的两个根．而此方程有两个相等的根，所以，即此三角形为等腰三角形．

评注也可以直接由

，得．

7．2．7★★在中，，其周长为，且已知斜边上的中线长为1．如果，求的值．

解析由于斜边长是斜边上中线长的2倍，故．于是，由题设及勾股定理，得

把①式两边平方，得

再由②得．③

由①、③知，、分别是二次方程的两根，解得．

因为（即），故，，

7．2．8★★已知、、分别是中、，的对边，且、是关于的一元二次方程的两个根．

（1）判断的形状；

（2）若求、、．

解析

（1）根据题意，尝试从边来判断．

因为，，

从而知是直角三角形，．

（2）由，，得．

令，，则，于是，得，从而有

7．2．9★★在中，，，且两直角边长满足条件．

（1）证明：

（2）当取最小值时，求中最小内角的正切值．

解析

（1）由题设得

消去，得，故实数满足二次方程

因为，所以．

（2）当时，方程①只有一个实数根，从而．由，知的最小内角为，其正切值．

7．2．10★★如图所示．，，，且．求的值．

解析因为，已知，因此，只需求出与的比值即可．

不妨设，则．在中，，，所以．

在中，，，所以

在中，，，，所以．

7．2．11★★如图所示．在锐角中，，，且．求．

解析作于，设，在中，因为，所以，

所以，所以，．

在中，因为，所以，所以．①

由①知．

评注在一般三角形中，在适当位置作高线，将其转化为直角三角形求解，这是解斜三角形常采用的方法．

7．2．12★★如图所示．在中，，，，．求及．

解析1作于，设，，则有

②-①得，所以．

因为，所以，所以，，所以．

解析2在中，，，，由余弦定理得，所以，

所以，从而．在中，由正弦定理得,

所以A．

7．2．13★★如图，已知中，，是的中点，，．求的长．

解析作B，交的延长线于，设．则，

由，是的中点，知．

而，得．

即，所以．

评注通过构造直角三角形，使用三角函数、勾股定理等知识将边角联系起来是求线段长的常用方法．

7．2．14★★如图，中，，于，于，于．

求证：

解析，而，，，所以

又，所以，所以．

评注本题直角三角形较多，直接用相似三角形往往找不好关系，利用等角的三角函数作边的转化，使关系明确．

7．2．15★★如图，在中，，，是边的中点，垂直于且交于．

解析作于，不妨设，因，，所以．

又．．

又，，，而，故．

由于，而，，，而，，，

即，又，，是锐角．

评注利用解三角形的知识把结论中有关的线段用常数或适当的参数表示，通过计算证明几何命题，这种方法称为几何题的三角证法．

7．2．16★★在等腰直角三角形中，，，点为腰上任意一点，，点在底边上，且，求证：

解析如图，过点作，垂足为．

因为，所以，从而知∽，

又因为，则令，那么．

于是，得．

7．2．17★★★如图，在直角三角形中，，，，是上一动点，在上，从点开始向运动且保持，试写出与点运动时到点距离的关系式．

解析如图，过点作，交直线于，则∽，得．

由，得，则，得，．

又∽，则，即，得．

7．2．18★★如图（a），正方形的边长，、分别是、的中点，分别交、于点、，求的面积．

解析记正方形的边长为．由题设易知∽，则有，

得，所以．

在直角中，，，则，于是．

由题设可知≌，所以，．

于是，，

从而．

因，故．

7．2．19★★已知、、是三边的长，其中，且方程两根的差的绝对值等于．求中最大角的度数．

解析由已知条件可知，这是一个等腰三角形，且底边最长，则最大角为，求出中的底角（或）即可．我们可以先求角（或）的三角函数值，再确定角的大小，如图所示．由图知

则关键是求出与的比值．通过一元二次方程中的条件，可得到关于、的方程，则问题得到解决．

因为，所以方程为．

设、为方程的两个根，则有，．

因为，，即，

所以，，，所以，

所以，所以．

评注这是一道方程与几何知识的综合题．三角形的边是一元二次方程的系数，利用方程条件导出边的关系，由边的关系再进一步求角的大小．

7．2．20★★在中，，则；

反过来，如果在中，，则是直角三角形．

解析

（1）作角平分线（图略），则在中，．

由角平分线的比例性质，有．

所以，即．

（2）我们证明：

或是直角．设，下证．

如图，作的角平分线，在直线上取一点，使．由题设有

，所以

又由

（1）中的计算，，所以，作于，则

7．2．21★★如图，是圆的直径，弦，与相交于，已知，试求．

解析由，得∽．

连结，则．故由，有，又，所以．

7．2．22★★★如图，延长锐角的高、、分别交外接圆于、、．设垂心为外接圆半径为．求证：

（2）．

解析

（1）由于∽，所以．

在中，，所以．

同理，，于是左边．

由于、、、共圆，所以．在直角三角形中，，所以．

同理．

相加得．

由于是的垂心，易证，所以，．

同理，．

相加后得右边．

（2）由于是垂心，所以，可得≌．

由于，

同理可证

相加后得

7．2．23★★如图所示，已知电线杆直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面和地面上．如果与地面成，，，，求电线杆的长（精确到）．

解析如图，延长交地面于点，过点作于点．

因为，，，所以，．

7．2．24★如图，某岛周围42海里内存在着大量的暗礁．现在一轮船自西向东以每小时15海里的速度航行，在、处测得在北偏东，2小时后在处测得在正东北方向，试问轮船是否需要改变航行方向行驶，才能避免触礁危险，说明理由．

解析若设船不改变航向，与小岛的最近距离为．

则有，解得．

因此需要改变航向，以免触礁．

7．2．25★★★如图，某污水处理站计划砌一段截面为等腰梯形的排污渠，如果渠深为，截面积为，试求当倾角为多少时造价最小？

解析要使造价最小，只需考虑最小，故首先设法用、、表示

有，则．

因、为常数，则要求的最小值，只需求的最小值．

设，两边平方整理得

由上式知，解得，故当时，有最小值．

当时，，从而得，此时排污渠造价最小．