电学之一 电场 电路 自主招生解析文档格式.docx
《电学之一 电场 电路 自主招生解析文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电学之一 电场 电路 自主招生解析文档格式.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
设点电荷Q所在位置为A，将点电荷Q＇放置在B点，B点的选择满足，AB两点的连线是导体上表面的垂线，且AB＝２h。
（3）替换后在xy平面内，y>
0区域除Ａ点外任意一点P（x，y）处电势表达式为
①
在y=0平面（区域的边界）为零的条件为
。
故
②
这样的替换没有改变求解区域的电荷分布，又满足了导体板上表面所在位置电势为零的条件。
因此，②式是合理的解。
三、电容器
1.电容器的连接
（1）串联：
一个未充电的电容器串联时的总电容的倒数等于各个串联电容器电容的倒数之和。
即
串联电容器的总电压等于各个电容器上电压之和，电容器各极板上的电量相等
（2）并联：
n个未充电的电容器并联时的总电容等于各个电容器电容之和。
C＝C1＋C2＋…Cn
并联电容器的电压相等，总电量等于各电容器极板上的电量之和。
2．电容器的储能
用电池对电容器充电，实质上是通过电池做功，将电荷从电容器的一个极板上搬到另一个极板上。
在此过程中，有一部分电池的化学能转化成了电容器的电能（另一部分转换成内能）。
对于一个给定的电容器，其U-Q图线是一条过原点的斜直线，如图所示。
因为△W=U△Q，所以在图中，直线和Q轴所包围的面积就是电池克服电场力做的功，它转化成了电容器储存的电能E。
即
【例2】
（清华2010）如图，三个面积均为S的金属板A、B、C水平放置，A、B相距d1,B、C相距d2，A、C接地，构成两个平行板电容器。
上板A中央有小孔D。
B板开始不带电。
质量为m、电荷量为q（q>
0）的液滴从小孔D上方高度为h处的P点由静止一滴一滴落下。
假设液滴接触B板可立即将电荷全部传给B板。
油滴间的静电相互作用可忽略，重力加速度取g。
（1）若某带电液滴在A、B板之间做匀速直线运动，此液滴是从小孔D上方落下的第几滴？
（2）若发现第N滴带电液滴在B板上方某点转为向上运动，求此点与A板的距离H。
（以空气为介质的平行板电容器电容C=S/（4πkd），式中S为极板面积，d为极板间距，k为静电力常量。
）
（1）根据题意，A、B板与B、C板构成的两个平行板电容器的电容分别为
设第n滴带电液滴可在A、B板之间做匀速直线运动。
当第n滴带电液滴处于A、B板之间时，B板所带电荷量为
式中Q1和Q2分别为金属板B上下两个表面上的电荷量。
设B板电势为u，则
A、B板之间的电场强度为
由于第n滴带电液滴在A、B板之间做匀速直线运动，有
qE1＝mg⑦
联立以上各式得
（2）当第N一1滴带电液滴在B板上时，
（1）中①至⑤仍有效，相应的B板电势以及其上下表面所带电荷量分别记为U’、Q1’和Q2’。
B板所带电荷量为
按题意，第N滴带电液滴会在下落到离A板距离为H（H<
d1）时速度为零，此时液滴所在位置的电势为
由能量守恒得
由①②④⑤⑨⑩式得
注：
本题相当于两个电容器并联。
电容器介质为空气时，近似有εr＝1。
【例3】
（上海交大2007）有一个孤立的平行板电容器，平板面积为S，平板间的距离为d，设该电容器极板带电Q时，平板间的电势差为U。
若再在两平行板间平行插入厚度为t，且具有与电容器极板面积相同的金属平板，外界要做的功为_____________。
（任意一种结果均可得分）
插入金属平板后，电量不变，电荷面密度不变，所以电场强度不变，推知
原来电容器的电容为
所以后来变为
电容器与电源断开后电荷量不变，故此过程中外界要做的功为
若用Q=CU代入得
电路部分主要包括以下内容。
四.含源电路的欧姆定律
如图是一段含有电源的电路，简称含源电路。
在如图所示的A、E之间的含源电路中，电流I1从A流向C，电流I2从E流向C，两节干电池的内阻分别为r1和r2，要计算从A经C到E的这段含源电路中，两端点A、E间的电势差UAE，可顺着从A到E的方向进行如下计算：
UAE＝UAE+UBC+UCD+UDE
＝I1R1+（－ε1+I1r1）+（ε2－I2r2）－I2R2
＝（I1R1+I1r1－I2r2－I2R2）+（－ε1+ε2）
一段含源电路的欧姆定律，一般地可概括为
其中符号规定如下：
以从A到E为计算方向，与此方向相同的电流取正，反之取负号；
与此方向相同的电动势取负号，与此方向相反的电动势取正号（电动势的方向指从负极到正极的方向）。
五.基尔霍夫定律
基尔霍夫方程组由两部分组成：
1.基尔霍夫节点电流方程组。
它指出，汇合于任一节点处的各电流的代数和等于零，即
式中，I入和I出分别为流入和流出考察节点的电流强度。
假设一个复杂回路有n个节点，便可写成n－1个独立的节点方程。
2.基尔霍夫回路电压方程组。
它指出，对于电路中任一闭合回路，电势降落的代数和等于零，即
正负号取法如下：
先任意规定所考察回路的绕行方向，然后根据绕行方向来决定ε和I前面的符号：
当回路绕行方向经电源内部由正极指向负极时，ε前取正号，反之取负号；
当回路绕行方向与I的流向一致时，I前取正号，反之取负号。
若电流I是待求的，I方向可以设定，最后求出结果I＞0，则与设定的I方向一致，求出结果I<
0，则I的方向与设定方向相反。
电路的内容经常在综合问题中进行考察，如与电磁感应相结合的问题。
【例4】
（上海交大2009）如图所示，一磁感应强度为B的均匀磁场，分布在半径为R的无限长圆柱体内，设B＝B0t（B0＞0）。
现有一半径也为R，电阻均匀分布且总电阻为r的金属圆环，放在垂直于磁场的平面内，金属圆环中心在均匀磁场的对称轴上。
长为R、电阻为r’的直导线的两个端点a、b与金属圆环良好连接，求此直导线中感应电流的电流（设感应电流所产生的磁场可以忽略）。
扇形Oab面积S1＝πR2/6，三角形Oab面积S2＝
/4。
设金属圆环各部分电流如图（b）所示，则
I1（5r/6）+I2（r/6）=πB0R2,
I1（5r/6）+I3r’=B0（5πR2/6+
）,
且I1＝I2+I3
可解得I3＝9
B0R2/（5r+36r’）
注：
本题可在三个回路中任选两个进行求解。
【例5】
（北大2009）7个电阻均为R的网络如图（a）所示。
试求A、B间的等效电阻RAB
设电流I从A端流入，B端流出。
网络中分布电流为I1、I2、I3、I4和I5，根据对称性有：
I4＝I2，I1＝I5。
利用串联等效电阻公式，可将电路转化为（b）图，应用分流思想，由于I2＝I－I1，I3＝I2－I1＝I－2I1，根据两点间不同路径等电压的思想，可得图（b）中A、D间的电压
UAD=I1·
2R=（I-I1）R+（I-2I1）R
解得I1=2I/5
取路径ADB，可算出：
UAB=I1·
2R+（I-I1）R=4RI/5+3RI/5=7RI/5
得RAB=UAB/I=7R/5
【真题选练】
1.（复旦2008）对于电场强度和电势的关系，下列说法中正确的是（）。
A．具有不规则表面的导体带有电荷时，表面处处等势
B.场强大的地方，电势一定高
C.场强为零的地方，电势一定为零
D.带正电荷物体的电势一定为正
2．（同济2009）如图所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在O点，过圆心与环面垂直的轴线上有P点，PO＝r。
以无穷远为电势零点，则P点的电势φp为（）。
A.
B.
C.
D.
3（同济2009）由对称性可知，均匀带电球面产生的电场分布具有对称性，该电场强度在空间不同区域有不同的值：
在球面内其电场强度为零，球面外其电场强度与电荷集中在球心处时的分布相同。
现有一个球形的橡皮膜气球，电荷q均匀地分布在球面上。
在此气球被吹大的过程中，被气球表面掠过的点（该点与球中心距离为r）其电场强度的大小将由__________变为______________
4．（清华2010）如图所示，用等长绝缘线分别悬挂两个质量、电量都相同的带电小球A和B,两线上端固定于O点，B球固定在O点正下方。
当A球静止时，两悬线夹角为θ．能保持夹角θ不变的方法是（）
A．同时使两悬线长度减半
B．同时使A球的质量和电量都减半
C．同时使两球的质量和电量都减半
D．同时使两悬线长度和两球的电量都减半
5.（清华2009）如图所示，光滑的水平桌面上放有一由铰链在B点连接起来的两轻杆，两杆的长度均为l。
质量均为m的小球1、2和3分别固定在杆的A、B和C三个端点上，小球1和3分别带有电荷量－q和＋q，小球2不带电。
整个装置处于场强为E、方向平行于桌面向右的匀强电场中。
用外力使该装置处于静止状态，且AC平行于电场，
突然撤去外力，小球开始运动。
不计小球1、3之间的静电引力，小球2的最大速度为（）
Ａ．
Ｂ．
C．
D．2
6、（清华2008）如图所示有限网络电路中，除最后一只电阻为Rx外，其余电阻阻值都是R，那么要使A、B两点间的等效电阻与网络级数n无关，Rx＝_______R
7.（北大2008）由6个未必相同的电阻和电压U=10V的直流电源构成的电路如图（a）所示，其中电源输出电流I0＝3A．若如图（b）所示，在电源右侧并联一个电阻（电阻值记为Rx），则电源输出电流I＝5A。
今将此电源与电阻Rx串联后．改接在C、D两点右侧，如图（c）所示，试求电源输出电流I’。
8、（清华2011年样卷）静电学理论指出，对于真空区域，只要不改变该区域内的电荷分布及区域边界的电势分布，此区域内的电场分布就不会发生改变。
试由上述结论及导体静电平衡的性质论证：
在一接地的无穷大导体平板上方与导体板相距h处放置一电荷量为Q的点电荷，则导体板对该点电荷作用力的大小为
（k为静电力常数）。
9.（清华08）N个长度逐个增大的金属圆筒和一个靶，它们沿轴线排列成一串，如图所示（图中只画出了四个圆筒，作为示意）．各筒和靶相间地连接到频率为f、最大电压值为U的正弦交流电源的两端．整个装置放在高真空容器中．圆筒的两底面中心开有小孔．现有一电量为q、质量为m的正离子沿轴线射入圆筒，并将在圆筒间及圆筒及靶间的缝隙处受到电场力的作用而加速（设圆筒内部没有电场）．缝隙的宽度很小，离子穿过缝隙的时间可以不计．
已知离子进入第一个圆筒左端的速度为v1，且此时第一、二两个圆筒间电势差U1-U2＝-U．为使打到靶上的离子获得最大能量，各个圆筒的长度应满足什么条件？
并求出在这种情况下打到靶上的离子的能量．
10.（清华09）在一直线上的A、B和C点各有一带电质点，它们的质量和电荷量如图所示。
开始时，三质点被固定住，且有AB=BC/2=r，然后同时释放三质点。
求当这三个质点彼此相距很远时的速度。
已知两个电荷量分别为q1和q2、相距为r的电荷的电势能为
（提示：
在任意很短的时间间隔内，三质点的运动均可视为匀加速运动。
【参考答案】
1.A注：
零电势的选择是任意的，并且场强和电势两者之间无任何关联。
2.B
将圆环分成很多个点电荷△Q，其中任一点电荷在P点的电势
故
3.kq/r2，0
4.BD
设两球距离为d，分析A球的受力如图示，图中
由平衡条件得T=mg,
同时使两悬线长度减半，则d减半，不能满足上式，A错；
同时使A球的质量和电量都减半，上式仍然能满足，B正确；
同时使两球的质量和电量都减半，不能满足上式，C错；
同时使两悬线长度和两球的电量都减半，则d、q1、q2减半,上式仍然能满足，D正确。
5.B
ABC组成的系统所受合外力为零，总动量始终为零。
撤去外力后，1和3斜向上运动，2向下运动，在垂直电场的方向上动量守恒，推知1和3在这个方向上分速度越大，2的速度就越大。
另一方面，1和3电势能越小，1、2、3的动能就越大，综合起来说明当1、2、3在与电场平行的直线上时，2的速度最大。
此时1、3速度也恰好与电场（杆）方向垂直，没有平行电场方向的分量。
根据能量守恒，电势能的减少量等于动能增加量，设2的最大速度为v。
0=mv－2mv13
解得：
，选项为B.
6.满足题意的条件对应最后4个电阻的等效电阻值为Rx，即
得
7.对图（a），由I0=U/RAB，
得RAB＝（10/3）Ω
对图（b），由I＝U/RAB+U/Rx
得Rx＝5Ω
因接在AB两点和接在CD两点不影响等效电阻RAB，
故RAB＝RCD＝（10/3）Ω
由I’＝U/（RAB+Rx）
得I’＝1.2A
8.
（1）本问题中求解的区域为无穷大接地导体平面的上方区域，此区域内点电荷所在位置及所带的电荷量是确定的：
区域的边界（导体平面的上表面）的电势分布是电势为零的等势面。
电场E的分布大致如图1所示。
图中的电场线和导体面处处垂直。
并且E=E1+E2，其中E1、E2分别为点电荷Q和导体板上表面感应电荷激发的电场。
（2）比较上述电场线分布的特点与两个等量异号点电荷电场的电场线分布特点，可以设想把导体板上表面的感应电荷用一电荷量为Q’＝－Q的点电荷替代。
设点电荷Q所在位置为A点，将点电荷Q’放置在B点，B点的选择满足，AB两点的连线垂直于导体表面，且AB=2h，此时空间电场的分布如图2所示。
这样的替换既没有改变求解区域内的电荷分布，又满足了导体板上表面所在位置电势为零的条件。
因此，在零等势面上方区域内电场分布与题给电场分布相同，所以对于求解区域而言，用放在B点处电荷量为Q’＝－Q的点电荷替代导体板上表面的感应电荷是合理的。
（3）导体板上感应电荷在A点产生的场与B点的点电荷-Q在A点产生的场是相同的。
故根据F=QE2，
，
其中，E2为放在B点的点电荷-Q在A点产生的场。
联立可得，
，式中负号表示作用力为引力。
（或：
按库仑定律有
9.
（1）根据动能定理：
打到靶上共经过N次加速，故所求最大动能为：
（2）设离子穿过第n个圆筒（n<
N）的速度为vn，则第n个圆筒的长度应为：
离子通过每一个缝隙时都被电压为U的电场加速，离子的动能逐级增大，当离子到达第n个圆筒时共经（n－1）次加速，由动能定理得：
所以
可见，第n个圆筒的长度应满足：
10.把放在A、B和C三点处的质点分别命名为a、b和c。
设在释放时刻，a、b和c的加速度为a1、a2、和a3，由已知条件可得
向左 ①
向右 ②
向右 ③
设质点c、a相对于质点b的加速度为
和
，由①至③式得
向右
向左
由以上两式得
④
由于
与
的比等于初始时1、2两球间距与2、3两球间距之比，在此后的任一时刻，若用
分别表示此刻小球1、2、3速度的大小，由运动学规律、库仑定律及牛顿定律可知
⑤
用
分别表示小球1、2、3相距很远时速度的大小，由能量守恒有
⑥
联立⑤、⑥式，得
⑦
⑧
⑨
升级会员 