二次函数的压轴题分类讲解与练习.docx

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二次函数的压轴题分类讲解与练习

二次函数的压轴题分类练习

如图，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？

以AB为斜边构造三角形，直角边与坐标轴平行，

这样用就可以求斜边AB的长了．若A（x1,y1）,B（x2,y2）

点C的坐标为；水平距离BC等于；竖直距离AC等于．AB=

（一）、两点之间的距离公式：

若点M（x1,y1）,N（x2,y2）则MN的距离为

（二）、中点坐标公式：

（1）若点M（x1,y1）,N（x2,y2）则点MN的中点Q的坐标为

（2）若MN的中点Q的坐标为（x,y），M（x1,y1），则点N的坐标为

（三）、直线位置与k的关系

若

；

当时，

；当时，

；当b1=b2时,；

（四）点到直线的距离公式

若直线y=kx+b化成方程的形式为Ax+By+C=0，则点p（x0，y0）到直线的距离为

两条平行线间的距离可以在一条平行线上任意取一点，求出坐标后用点到直线的距离公式计算

类型一、抛物线中线段长度的最值问题

例：

在平面直角坐标系中，抛物线y=

x2﹣x﹣2的顶点为点D，与直线y=kx在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为4；直线OA与抛物线的对称轴交于点C．

（1）求△AOD的面积；

（2）若点F为线段OA上一点，过点F作EF∥CD交抛物线于点E，求线段EF的最大值及此时点E坐标；

练习：

如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S△BOC，求点P的坐标；

（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．

类型二、抛物线中的面积问题

例：

如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第三象限内、F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为4，求点F的坐标；

（3）连接B、C，点P是线段AB上一点，作PQ平行于x轴交线段BC于点Q，过P作PM⊥x轴于M，过Q作QN⊥x轴于N，求矩形PQNM面积的最大值和P点的坐标．

练习：

在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．

（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；

（2）在

（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？

若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．

类型三、抛物线中线段和最小的问题

例：

如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出H的坐标；

（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？

并求出最大面积．

练习：

如图，二次函数y=

x2+bx﹣

的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

（1）请直接写出点D的坐标：

　　　　　　；

（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；

（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？

若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

类型四、抛物线中的等腰三角形问题

例：

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．

①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；

②求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标．

练习：

如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）,B（3，0），与y轴交于点C.

（1）求b，c的值.

（2）如图,点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线L,交BC于点H.当△PHC为等腰三角形时，求点P的坐标

类型五、抛物线中的直角三角形问题

例：

如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．

（1）求b，c的值；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在

（2）的条件下：

①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；

②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？

若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．

练习.如图，抛物线y＝mx2―2mx―3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点.

（1）请求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；

（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；

（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？

若存在，请求出；如果不存在，请说明由.

类型六、抛物线中的等腰直角三角形问题

例：

如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0）,B（1，3）两点，点C，B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H.

（1）求抛物线的表达式，并求出△ABC的面积；

（2）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；

（3）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．

练习：

如图，抛物线y=-x2+（m-1）x+m（m>1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（0,3）

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH∥x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；

（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．

类型七、抛物线中的平行四边形问题

例：

如图，已知二次函数图像的顶点坐标为（2，0），直线

与二次函数的图像交于A、B两点，其中点A在y轴上.

（1）二次函数的解析式为y=；

（2）证明点

不在

（1）中所求的二次函数的图像上；

（3）若C为线段AB的中点，过C点作

轴于E点，CE与二次函数的图像交于D点.

①y轴上存在点K，使以K、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐标是；

②二次函数的图像上是否存在点P，使得

？

若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

练习.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线

经过点A、B和D（4，

）.

（1）求抛物线的表达式.

（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设S=

（

）.

①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；

②当S取

时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.

（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.

类型八、抛物线中的相似问题

例：

如图1，已知直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点，点P在线段OA上，从

点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒

个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t秒．

（1）求抛物线的解析式；

（2）问：

当t为何值时，△APQ为直角三角形；

（3）过点P作PE//y轴，交AB于点E，过点Q作QF//y轴，交抛物

线于点F，连结EF，当EF//PQ时，求点F的坐标；

（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：

是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似？

若存在，

请求出t的值；若不存在，请说明理由．

练习：

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A（－3,0）、B（1,0）两点，与y轴交于点C（0,－3m）（m＞0），顶点为D．

（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；

（2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；

（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？

图1图2

练习:

如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．设抛物线的顶点为D，连结CD、DB、AC．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求四边形ABDC的面积；

（3）设Q是抛物线上一点，连结BC、QB、QC，把△QBC沿直线BC翻折得到△Q′BC，若四边形QBQ′C为菱形，求此时点Q的坐标．

练习:

如图所示，直线l：

y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．

（1）求直线BD和抛物线的解析式．

（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．

（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

练习：

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣

x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；

（3）在

（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？

若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

菱形问题

如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．设抛物线的顶点为D，连结CD、DB、AC．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求四边形ABDC的面积；

（3）设Q是抛物线上一点，连结BC、QB、QC，把△QBC沿直线BC翻折得到△Q′BC，若四边形QBQ′C为菱形，求此时点Q的坐标．

如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和B，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求此抛物线的解析式及点B的坐标；

（2）设抛物线的顶点为D，连接CD、DB、CB、AC．

①求证：

△AOC∽△DCB；

②在坐标轴上是否存在与原点O不重合的点P，使以P、A、C为顶点的三角形与△DCB相似？

若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设Q是抛物线上一点，连接QB、QC，把△QBC沿直线BC翻折得到△Q′BC，若四边形QBQ′C为菱形，求此时点Q的坐标．

面积问题

如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在

（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？

若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．

（3）在

（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

等腰三角形问题

练习2.如图1，在直角坐标系中，已知△AOC的两个顶点坐标分别为A（2，0），C（0，2）．

（1）请你以AC的中点为对称中心，画出△AOC的中心对称图形△ABC，此图与原图组成的四边形OABC的形状是　　，请说明理由；

（2）如图2，已知D（

，0），过A，C，D的抛物线与

（1）所得的四边形OABC的边BC交于点E，求抛物线的解析式及点E的坐标；

（3）在问题

（2）的图形中，一动点P由抛物线上的点A开始，沿四边形OABC的边从A﹣B﹣C向终点C运动，连接OP交AC于N，若P运动所经过的路程为x，试问：

当x为何值时，△AON为等腰三角形（只写出判断的条件与对应的结果）？