完整word版双曲线及其标准方程详解docxWord格式文档下载.docx

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x2y2y2x2

a2－b2＝1（a>

0）和a2－b2＝1（a>

0）所表示双曲线的焦点

的位置？

提示如果x2项的系数是正的，那么焦点在

x轴上，如果y2项的系数是正的，那么焦点

在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点

在哪一个坐标轴上．

名师点睛

1．对双曲线定义的理解

（1）把定常数记为2a，当2a<

|FF|时，其轨迹是双曲线；

当

2a＝|F

F

|时，其轨迹是以

2

F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；

当2a>

|F1F2|时，其轨迹不存在．

（2）距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若

F、F

表示双曲线的左、右焦

点，且点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点P在右支上；

若点

P满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点P在

左支上．

|PF1|－|PF2|

1F2|）．

（3）双曲线定义的表达式是|

|＝2a（0<

2a<

|F

（4）理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距

离．”

（1）只有当双曲线的两焦点F1、F2在坐标轴上，并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．

（2）标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，

这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a>

b>

0，而双曲线中a、b大小则不确定．

（3）焦点F1、F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦

点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；

若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．

（4）用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准

方

程为Ax2＋By2＝1（AB<

0）或进行分类讨论.

题型一求双曲线的标准方程

【例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程．

1516

（1）经过点P3，4，Q－3，5；

（2）c＝6，经过点（－5,2），焦点在x轴上．

[思路探索]由于

（1）无法确定双曲线焦点的位置，可设

1（a>

0）两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为

＝1（mn<

0），直接代入两点坐标求解．对于

（2）可设其方程为

＝1（0<

λ<

6）．

0）和a2－b2＝

22

mx2＋ny2＝1（mn<

0）或xm＋yn

－y

x

2－y

2＝1（a>

0）或x

a

b

λ

6－λ

解

（1）法一

若焦点在x轴上，设双曲线的方程为

x2－y2＝1（a>

0），

15和Q－16，5在双曲线上，

由于点P3，

4

3

9

225

a2－

16b2＝1，

a2＝－16，

（舍去）．

所以

25

解得

256

b2＝－

9a

2－

2＝1，

若焦点在y轴上，设双曲线的方程为

y2－x2＝1（a>

－9＝1，

将P、Q两点坐标代入可得

16a2

b2

252－2562＝1，

9b

a2＝9，

解之得

b2＝16，

y2

－x2

所以双曲线的标准方程为

＝1.

16

法二设双曲线方程为x2＋y2＝1（mn<

0）．

mn

∵P、Q两点在双曲线上，

9＋225＝1，

m＝－16，

m

16n

∴

n＝9.

9m

＋n＝1，

∴所求双曲线的标准方程为

x2

－

（2）法一

依题意，可设双曲线方程为

a2＋b2＝6，

依题设有

252－

42＝1，

a＝5，

b2＝1，

－y2＝1.

5

法二∵焦点在x轴上，c＝

6，

∴设所求双曲线方程为

－y2

＝1（其中0<

λ<

6）．

λ6－λ

∵双曲线经过点（－5,2），

∴25－4＝1，∴λ＝5或λ＝30（舍去）．

∴所求双曲线的标准方程是x－y2＝1.

规律方法求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位

置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a，b的值．若焦点位置不确定，可按焦点

在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定

点，可设其方程为mx2＋ny2＝1（mn<

0），通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，实为一

种好方法．

【变式1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）a＝3，c＝4，焦点在x轴上；

（2）焦点为（0，－6），（0,6），经过点A（－5,6）．

解

（1）由题设知，a＝3，c＝4，

由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝42－32＝7.

因为双曲线的焦点在

x轴上，所以所求双曲线的标准方程为

＝1.

7

（2）由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A（－5,6）在双曲线上，所以点

A与两焦点的

距离的差的绝对值是常数

2a，

即2a＝|－5－0

2＋6＋62－

－5－02＋6－62|＝|13－5|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2

＝62－42＝20.

因此，所求双曲线的标准方程是

20

2.若椭圆m＋n＝1（m＞n＞0）和双曲线

x2－y2＝1（a＞0，b＞0）有相同的焦点，P是两曲线ab

的一个交点，则

A．m－aC．m2－a2

|PF1|·

|PF2|的值为（）

B．m－b

D．m－b

A解析：

设点P为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2m．

由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2a．∴|PF1|＝m＋a，|PF2|＝m－a．

∴|PF1|·

|PF2|＝m－a．

题型二

双曲线定义的应用

【例2】

如图，若F1，F2是双曲线

的两个焦点．

＝1

（1）若双曲线上一点

M到它的一个焦点的距离等于

16，求点M到另一个焦点的距离；

（2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1||PF·

2|＝32，试求△F1PF2的面积．

[思路探索]

（1）由双曲线的定义，得||MF1|－|MF2||＝2a，则点M到另一焦点的距离易得；

（2）结合已知条件及余弦定理即可求得面积．

解双曲线的标准方程为x2－y2＝1，

916

故a＝3，b＝4，c＝a2＋b2＝5.

（1）由双曲线的定义，得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故点M到另一个焦点的距离为6或22.

（2）将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·

|PF2|＝36，

∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1||PF·

2|＝

36＋2×

32＝100.

在△F1PF2中，由余弦定理，得

|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2

cos∠F1PF2＝

2|PF1||PF·

2|

＝100－100＝0，∴∠F1PF2＝90°

，2|PF1|·

|PF2|

∴S△F1PF2＝2|PF1||PF·

2|＝2×

32＝16.

规律方法

（1）求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根

据两点间距离公式可求结果；

若已知该点到另一焦点的距离，则根据

||PF1

求

|－|PF||＝2a

解，注意对所求结果进行必要的验证

（负数应该舍去，且所求距离应该不小于

c－a）．

（2）在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||

＝2a的应用；

其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．

【变式2】1．已知双曲线的方程是

＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1

8

的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小（O为坐标原点）．

1．解：

连接ON，ON是△PF1F2的中位线，

所以|ON|＝

2|PF|．

因为||PF1|－|PF2||＝8，|PF1|＝10，

所以|PF2

或9．

|＝2或18，|ON|＝2|PF|＝1

2．设P为双曲线x

－y＝1上一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若∠

F1PF2＝60°

，

求△PF1F2的面积．

解：

由方程

16－9＝1，得a＝4，b＝3，故c＝

16＋9＝5，

所以|F1F2|＝2c＝10．

又由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝8，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝64．①

在△PF1F2中，由余弦定理，得

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60，°

即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝100．②①－②，得|PF1||PF2|＝36，

所以SPF1F2

＝

|PF1||PF2|sin60

＝°

×

36×

＝93．

3.已知双曲线x2

＝1的左、右焦点分别是

F1、F2，若双曲线上一点

P使得∠F1PF2＝

60°

，求△FPF

的面积．

解由9－

16＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.

由定义和余弦定理，得|PF1|－|PF2|＝±

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60

，°

所以102＝（|PF1|－|PF2|）2＋|PF1

||PF·

2|，

所以|PF1||PF·

2|＝64，

6

∴S△F1PF2＝2|PF1||PF·

2|·

sin∠F1PF2

＝1×

64×

3＝163.

22

误区警示

忽略双曲线焦点位置致误

【示例】

方程

＋

m的取值范围是________．

＝1表示双曲线，那么

2－m|m|－3

[错解]由

2－m>

0，

解得－3<

m<

2，

|m|－3<

∴m的取值范围是{m|－3<

2}．

只考虑焦点在x轴上，忽视了焦点在y

轴上的情况．

2－m>

02－m<

[正解]依题意有或

|m|－3<

0|m|－3>

0，

2或m>

3.

∴m的取值范围是{m|－3<

3}．答案{m|－3<

3}

方程m＋n＝1既可以表示椭圆又可以

表示双曲线．当方程表示椭圆时，

m、n应满足m>

n>

0或n>

m>

0，当m>

0时，方程表示焦

点在x轴上的椭圆；

0时，方程表示焦点在

y轴上的椭圆．当方程表示双曲线时，

m、n应满足mn<

0，n<

0时，方程表示焦点在x轴上的双曲线；

当m<

0，n>

0时，

方程表示焦点在

y轴上的双曲线.

当堂检测

（－5,0）和F（5,0），动点P满足|PF|－|PF

|＝6，则动点P的轨迹

1．平面内有两个定点

方程是（

）

A．x2

=1（x≤－4）

B．x2

=1（x≤－3）

C．x2

=1（x≥4）

D．x2

y2=1（x≥3）

答案：

D

解析：

由已知动点P的轨迹是以

F1，F2为焦点的双曲线的右支，且

a＝3，c

＝5，b2＝c2－a2＝16，∴所求轨迹方程为

=1（x≥3）．

2．已知双曲线为

=1，则此双曲线的焦距为（

A．2

B．22

C．

D．22

由已知λ＜0，a2＝2，b2＝－λ，c2＝2－λ，∴焦距2c22

．

3．已知双曲线

=1上的点P到（5,0）的距离为15，则点P到点（－5,0）的距离为（）

A．7

B．23

C．5或25

D．7或23

设F1

（－5,0），F2（5,0），

则由双曲线的定义知：

||PF1

|－

|PF||＝2a＝8，

而|PF2|＝15，解得|PF1|＝7或23．

4．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（－6,0）和C（6,0），顶点B在双曲线

=1的左支上，则

sinA

sinC＝______．

11

sinB

答

案

：

解

析

如

图

|BC||AB|

sinA

sinC

2a

10

2R

|AC|

2c

12

5．在平面直角坐标系

3，则点M

xOy中，已知双曲线

=1上一点M的横坐标为

到此双曲线的右焦点的距离为

__________．

4解析：

设右焦点为F，则点F的坐标为（4,0）．

把x＝3代入双曲线方程得

y＝±

15，即M点的坐标为（3，±

15）．

由两点间距离公式得|MF|＝

3－42＋±

15－0

2＝4．