高社杯全国大学生数学建模竞赛C题Word下载.docx
《高社杯全国大学生数学建模竞赛C题Word下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高社杯全国大学生数学建模竞赛C题Word下载.docx(27页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
以此角度大小来表现古塔扭曲程度。
具体见表(4)
对于问题三,是分析古塔的变形趋势,根据监测的变形数据和位移与时间及波动稳定性的关系,列出了一个时期对上一时期的位移差,看出古塔变形的趋势是向哪个方向,具体见图(5)。
再通过位移平方差公式,对古塔整体变形的趋势波动进行分析,并结合时间等因素推算出古塔变形趋势在增加。
具体见表(5)。
关键词:
变形数据拟合平均值自回归模型位移变化
三维坐标系数学软件几何代数方法位移差位移平方差
一、问题重述
1.1基本情况:
某古塔在我国已有上千年的历史,是我国的重点保护文物。
但由于长时间受到自重、气温、风力、地震、飓风的影响,古塔出现了各种变形,如倾斜、弯曲、扭曲等。
为保护古塔,文物部门需要适时对古塔进行观测,了解各种变形量,以制定必要的保护措施,因此管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该古塔进行了4次观测。
1.2需解决的问题:
问题一:
根据附件1提供的4次观测数据,给出确定古塔各层中心位置的通用方法,并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。
问题二:
利用数学模型和所得数据分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
问题三:
分析该塔的变形趋势。
二、问题分析
2.1问题一的分析:
对于问题一,通过观察所给的数据,每一层的8个观测点都位于古塔的每层的八个角落。
据此,将古塔的每一层类似看做一个正八边形,可用求正八边形的中点的方法来确定古塔每一层的中点坐标。
通过所给每层的观测数据,分别求X,Y,Z坐标的平均值,近似作为古塔各层中心坐标。
2.2问题二的分析:
对于问题二,主要是研究古塔的倾斜,弯曲,扭曲等变形量,据此分三点来分析问题二。
对于倾斜,主要是三维坐标中X,Y轴对于Z轴的倾斜角度,即是对中心轴的倾斜角度,而第一题已经对每年的监测数据进行了总结,得出每次监测各层的中心坐标,故运用X,Y与Z的自回归模型,再通过代数和几何关系,求出每年古塔X,Y轴的倾斜角度,并加以说明,具体结果见表
(2)。
对于弯曲,主要是要找出能表示弯曲程度的量,经过查找变形量具体分析的资料,知道弯曲主要是中点的高度(Z)发生了变化,列出时间和每层的中心坐标的回归拟合,并且通过数学软件计算,得出弯曲程度△Z,并列出表直观说明,易于比较。
具体结果见表(3)。
对于扭曲变量,通过matlab软件做出的古塔空间图形,及查找了扭曲问题的分析的资料,我们最终采用以第一层为基层,其他层相对于古塔扭曲的度数,主要是通过每层的两个点算出每层的斜率,再通过斜率公式算出角度,以此说明古塔每次扭曲程度的变化及大小。
2.3问题三的分析:
对于该塔的变形趋势,经过第一题和第二题,已将古塔的变形位置的中心和变形量进行了具体分析。
本题要分析变形趋势,具体是从古塔各中心点在各个时期的位移变化量,通过列位移残差公式,得出该塔的变形趋势。
见图(5)。
再通过整体的位移残差平方公式,得到古塔每层在某个时期的变形趋势波动,具体见表(5)。
三、问题假设
1.假设该塔为正八边形的塔
2.假设该塔的底层不扭曲变形
3.假设监测该塔时后两次改变了监测位置
4.假设地质的变动对古塔无影响
四、建立模型及求解
(一)符号说明:
1∠A
为古塔与X轴构成的角度
2∠A
为古塔与Y轴构成的角度
3Z为中点的高度
4△Z来表示古塔的弯曲程度
5Bi为表示两直线的夹角
6△X为X轴的位置偏移量
7△Y为Y轴的位置偏移量
8△Z1为Z轴的位置偏移量
9△S2为古塔整体的位置偏移平方差
10i为古塔层数
11t为从1886年开始所经过的时间
(二)模型建立及求解
3.1对问题1的求解
根据数据中给出的各层各个点坐标的值,可把古塔的每一层类似的看成一个正八边形。
根据数学逻辑和模型,正八边形的中心坐标可用平均值法求出,故塔的中心坐标为(
)。
附件一是每次测量出的古塔的各层的各个点的坐标,通过平均值法整理数据,得出以下结果:
表
(一)
i
1986
1996
2009
2011
1
X
566.8377
566.665
566.7268
566.727
Y
522.7105
522.7102
522.7015
522.7014
Z
1.787375
1.783
1.7645
1.76325
2
566.7196
566.7205
566.764
566.7642
522.6684
522.6674
522.6693
522.669
7.32025
7.314625
7.309
7.2905
3
566.7735
566.7751
566.8001
566.8004
522.6273
522.6256
522.6384
522.6387
12.75525
12.75075
12.73225
12.72688
4
566.8161
566.8183
566.8293
566.8297
522.5944
522.5922
522.6132
522.6127
17.07825
17.07513
17.06975
17.052
5
566.8621
566.8649
566.8604
566.861
522.5591
522.5563
522.5866
522.586
21.7205
21.716
21.70938
21.70388
6
566.9084
566.9118
566.9471
566.9478
522.5244
522.521
522.5342
522.5335
26.23513
26.2295
26.211
26.2045
7
566.9468
566.9506
566.9792
566.98
522.5081
522.5042
522.5123
522.5115
29.83688
29.83225
29.82463
29.817
8
566.9843
566.9884
567.0305
567.0313
522.4924
522.4881
522.4797
522.4788
33.35088
33.34538
33.33988
33.33663
9
567.0218
567.0265
567.0816
567.0825
522.4764
522.4714
522.4466
522.4457
36.85488
36.84825
36.84375
36.82225
10
567.0569
567.062
567.137
567.1381
522.4624
522.4572
522.3937
522.3926
40.17213
40.16763
40.16113
40.14413
11
567.1045
567.1102
567.1799
567.181
522.423
522.4173
522.3547
522.3535
44.44088
44.43538
44.43263
44.42488
12
567.1518
567.1578
567.2225
567.2238
522.3836
522.3775
522.316
522.3147
48.71188
48.70738
48.69975
48.68388
13
567.085
567.0912
567.2712
567.2725
522.7403
522.734
522.2715
522.2701
52.83429
52.83
52.81838
52.81313
塔尖
567.2473
567.2544
567.336
567.3375
522.2438
522.2367
522.2148
522.2135
55.12325
55.11975
55.091
55.087
其中的X=(x1+x2+……+x8)/8得来,Y,Z值同理。
通过matlab做出古塔的模型图片:
下图
(1)
图
(1)
3.2对问题二的求解:
对于古塔的倾斜,弯曲、扭曲等变形情况的分析,第一题通过科学分析和数学逻辑思维,用平均值法对建筑物位置的监测数据进行总结,得出各个时期各个层的中心坐标值,通过这些数据,运用过对建筑物位移监测数据处理方法的研究,采用自回归模型对位移监测数据进行处理,根据建立的模型对具体建筑物的监测点的位移变化量进行预报。
经过计算分析,对古塔的变形情况进行说明。
3.2.1关于古塔的倾斜问题,我们建立了空间直角坐标(如上图1)对此进行了讨论,发现古塔与X轴构成的角度为∠A
与Y轴构成的角为∠A
。
因此建立了
i,t与
i,t、
i,t的自回归模型如下式
且∠A
=arctana1,∠A
=arctana2。
i,t=a0+a1*
i,t+a2*
i,t
从问题一中所求得的平均值可得出下图2:
1986
(1)
1996(11)
a2
a1
a0
13.15844
112.1343
-70421.4
32.12952
115.3736
-82169.8
2009(24)(11
2011(26)
10.62587
92.54033
-57992.7
9.617655
91.59094
-56927.7
图2
因此,在所观测的4年里古塔对于X轴和Y轴的倾斜角度如下表
(2)
2009(24)
89.48905
89.5034
89.381
89.37446
85.65405
89.999
84.6236
84.064
表
(2)
由分析和计算得出每次监测时对中心轴的倾斜角度都有变大的趋势,古塔的变形不容小觑。
3.2.2弯曲
关于古塔的弯曲,我们考虑到古塔弯曲后,中点的高度会发生改变,即Z发生了变化,故我们用△Z来表示古塔的弯曲程度,即
△
=
-Z
=
+
*t
具体计算值如下表(3)
层数
1.788956
0.001581
1.779195
-0.0038
7.32203
0.00178
7.312763
-0.00186
12.75789
0.00264
12.74644
-0.00431
17.0805
0.00225
17.07242
-0.00271
21.72117
0.00067
21.71515
-0.00085
26.23764
0.00251
26.2255
-0.004
29.83794
0.00106
29.83087
-0.00138
33.35086
-2E-05
33.34557
0.00019
36.85659
0.00171
36.84672
-0.00153
40.17415
0.00202
40.16526
-0.00237
44.44093
5E-05
44.43577
0.00039
48.71395
0.00207
48.70483
-0.00255
52.83582
0.00153
52.82763
14
55.12768
0.00443
55.11221
-0.00754
1.765721
0.001221
1.763648
0.000398
7.300718
-0.00828
7.298864
0.008364
12.73154
-0.00071
12.72925
0.00237
17.06191
-0.00784
17.0603
0.0083
21.70732
-0.00206
21.70612
0.00224
26.20971
-0.00129
26.20729
0.00279
29.82168
-0.00295
29.82027
0.00327
33.3387
-0.00118
33.33764
0.00101
36.8339
-0.00985
36.83193
0.00968
40.1537
-0.00743
40.15192
0.00779
44.42905
-0.00358
44.42802
0.00314
48.69297
-0.00678
48.69114
0.00726
52.81699
-0.00139
52.81535
0.00222
55.0921
0.0011
55.089
0.002
表(3)
表中表示的是古塔每次每层的中心点的变化及弯曲程度,对于1986和1996及2009和2011的比较,前者(即1986和1996)弯曲程度明显加大,这不仅由于时间长达十年的关系,还有各个方面的影响,比如倾斜,风化,地壳运动等对变形位移数据的影响,肯定的是古塔的弯曲程度