完整word版走进重高讲义数学七年级上册人教版Word格式文档下载.docx
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D
方法归纳：
本题是材料题，要仔细阅读所给信息，才能得出正确的结论.
解题时要把火车票车次号的两个意义相结合.
例3、
（1）已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有15个矿泉水空瓶，若不交钱，最多
可以喝瓶矿泉水；
（2）师生共52人外出春游，到达后，班主任要给每人买一瓶矿泉水，给了班长买矿泉水的钱.班长到商店后，发现商店正在进行促销活动，规定每5个空瓶可换1瓶矿泉水.班长只要买瓶矿泉水，就可以保证每人一瓶.
（1）看15里面有几个4，再看余下的空瓶包含几个4，把个数相加即可；
（2）因为
5个空瓶=1个空瓶+1瓶的水，可知4个空瓶可以换1瓶的水，因此花4瓶的钱可以喝到5瓶水，所以花40瓶的钱可以喝到50瓶水，还差2瓶单买.
（1）15÷
4=3⋯⋯3，可先换3瓶矿泉水，喝完后还剩3+3=6个空瓶，拿出4个空瓶换一瓶矿泉水，还剩3个空瓶，找人借一个空瓶凑齐4个空瓶换一瓶矿泉水，喝完还剩一个空瓶再把这个空瓶还给那个人，故最多可以喝5瓶矿泉水.
（2）52÷
5=10组⋯⋯2瓶；
4×
10+2=42瓶.
答：
班长只要买42瓶矿泉水，就可以保证每人一瓶.
本题考查的知识点是推理与论证，关键要抓住“5个空瓶可换1瓶矿泉水”这个条件，得出“4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶”这一结论，然后再列式计算.
换来的矿泉水喝完又是空瓶，可以继续换.
例4、分子为1的分数叫做单位分数.早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算.将一个分数拆分为几个不同的单位分数之和是一个古老且有意义的问题.例如：
312121124131311
4444423666662
53
（1）仿照上例分别把分数5和3拆分成两个不同的单位分数之和.
85
8
3
5
11
1
312
2
（2）在上例中，
，又因为
所以
4
42
66
6
即可以写成三个不同的单位分数之和.按照这样的思路，它也可以写成四个，甚至五个不
同的单位分数之和.根据这样的思路，探索分数5能写出哪些两个以上的不同的单位分数之8
和.
（1）由单位分数的意义可知将一个分数拆分为几个不同的单位分数之和，就是利用同分母分数的加法或约分的性质，把这个分数拆成两个同分母分数，使其中一个分子是1，另一个分数分子能整除分母；
（2）只要根据单位分数的转化方法，把其中的一个单位分数利用分数的性质继续拆分即可.
825
10
1,5
11,
（2）
38
24
122
（1）51411,36
本题考查了分数性质的灵活应用、生的观察能力.
1511
10102.
111
6124.
同分母分数的相加以及约分方法，也考查了学
1,1是整数，不是分数
21
-2，2.0，0.4·
5·
，π.
⋯｝；
分子为1的分数叫做单位分数，最大的单位分数是
例5、已知有A，B，C三个数集，每个数集中所含的数都写在各自的大括号内，请把这些数填入图中相应的部分.
A.{-5，2.7，-9，7，2.1}
B.{-8.1，2.1，-5，9.2，-}
7
C.{2.1，-8.1，10，7}
由已知观察，先找出三个数集相同的数，再找出每两个数集相同的数，把相同的
数分别填入公共部分.
通过观察，A，B，C三个数集都含有2.1，A，B数集都含有-5，
A，C数集都含有7，
B，C数集都含有-8.1.
本题主要考查学生对数集的理解与应用
每个数在图中只能出现一次，多个数集都有的数要填在公共部分
例6、把下列各数填入相应的数集内：
12
-100，+12，3，-，0.01，68，-10%，0，18‰，
37
正有理数集：
{负有理数集：
{整数集：
{分数集：
{
自然数集：
{⋯}；
非负数集：
{⋯}.
按照有理数的分类进行判断：
有理数包括：
整数和分数或者正有理数、负有理数和零；
整数包括：
正整数、0和负整数；
分数包括：
正分数和负分数；
自然数包括：
零和正整数.
{+12，3，0.01，68，18‰，2.0，0.4·
，⋯}；
负有理数集
：
{-100，-2，-10%，-21，⋯}；
74
整数集：
{
-100，+12，68，0，2.0，⋯}；
分数集：
121
3，-，0.01，-10%，18‰，-2，0.4·
374
{+12，68，0，2.0，⋯}；
{+12，3，0.01，68，0，18‰，2.0，0.4·
，π，⋯}.
本题考查了有理数的概念，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有
理数、非负数等的定义与特点.注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数
π是无限不循环小数，不能转化为分数，所以它既不是分数，也不是有理数
探究提升
例、请根据各数之间的关系，找规律填空
（1）观察图形中的数字可知：
（9+6）×
1=15；
（6+7）×
4=52；
（5+8）×
3=39；
由此可得，每个三角形中：
（上面的数字+左下的数字）×
右下的数字=中间的数字；
（2）根据图形中的数字可知：
中间的数字=上下数字之差；
左边的数字=中间的数字×
右边的数字；
由此即可解答；
（3）观察每组图形中的三个数字特点可知：
下边的数字由三部分组成：
最左边的数字是右上方的数字十位上的数字；
最右边的数字是左上方的数字个位上的数字；
中间的数字是左上方的数字十位上的数字与右上方的数字个位上的数字之和，由此即可解答.解题过程：
①（11+3）×
2=28.故？
=28.
②61-56=5，5×
3=15.故？
=5，△=15.
③最左边数字是6，最右边数字是8，中间数字是1+1=2，所以这个数是628.故？
=628.方法归纳：
主要考查了学生通过对特例进行分析从而归纳总结出一般结论的能力.对于找规
律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.
规律的确定通常至少要三个特例，从一个或两个特例中总结出的结论不一定正确，所以归纳出的一般结论要检验，使每一个特例都满足规律.
专项训练拓展训练A组略
B组略
走进重高
1.略
2.【台湾】在1～45的45个正整数中，先将45的因子全部删除，再将剩下的整数由小到大排列，求第10个数为（）.
A.13B.14C.16D.17
3.【金华】有四包真空小包装火腿，每包以标准克数（450g）为基数，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示的实际克数最接近标准克数的是
（）.
A.+2B.-3C.+3D.+4
4.略
5.略
6.略
7.【仙游】有一口9m深的水井，蜗牛和乌龟同时从井底向上爬.因为井壁滑，蜗牛白天向上爬2m，晚上向下滑1m；
乌龟白天向上爬3m，晚上向下滑1m.当乌龟爬到井口时，蜗牛距井口m.
高分夺冠
2.略
3.五羊矿泉水为了环境保护而回收空矿泉水瓶.允许消费者用4个空瓶换1瓶矿泉水（少于4个空瓶则不能换），花城中学买了1999瓶五羊牌矿泉水，如果尽可能把空瓶拿去换矿泉水，那么花城中学师生一共能喝上瓶矿泉水；
反过来，如果一共能喝上3126瓶矿泉水，
那么最初应该买了瓶矿泉水.
5.某路公交车从起点经过A，B，C，D四站到达终点，途中上下乘客如下表所示.（用正数表
示上车的人数，负数表示下车的人数）
起点
A
B
C
D
终点
上车的人数
18
15
下车的人数
-4
-5
-9-
（1）到终点下车还有多少人？
填在表格相应位置；
（2）车行驶在哪两站之间车上的乘客最多？
站和站；
（3）若每人乘坐一站需买票0.5元，问该车出车一次能收入多少钱？
要求写出算式
第二讲数轴和绝对值
1.数轴的三要素：
原点、单位长度、正方向.
2.理解有理数可以用数轴上的点表示，数轴上的点不一定表示有理数.
3.相反数：
实数a与－a互为相反数，零的相反数仍是零.若a，b互为相反数，则a+b＝0.
4.倒数：
若两个实数的乘积为1，就称这两个实数互为倒数，零没有倒数.
5.绝对值的几何意义：
表示这个数到原点的距离.
6.比较有理数大小的两种基本方法：
利用数轴比较大小；
利用法则比较大小.难点分析：
1.数轴涉及数和形两个方面，是解决许多数学问题的重要工具.
2.绝对值具有非负性，去绝对值问题往往会涉及较复杂的符号问题.
例1、下列所画的数轴正确的有（）.
A.1条B.2条C.3条D.4条思路点拨：
利用数轴的概念和三要素（原点，正方向和单位长度）来判断正误.解题过程：
第一条数据顺序不对，错误；
第二条正确；
第三条没有正方向，错误；
第四条刻度不均匀，错误.所以正确的共有1条.故选A.
本题主要考查了数轴的三要素：
原点、正方向和单位长度.三个要素缺一不可
数轴的单位长度可以根据实际需要选取.
例2、数轴上点A，B的位置如图所示，若点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数
点A表示的数是-1，点B表示的数是3，所以｜AB｜=4；
点B关于点A的对称点
为C，所以点C到点A的距离｜AC｜=4.设点C表示的数为x，则-1-x=4，解出x即可求得点
C表示的数.
如图，点A表示的数是-1，点B表示的数是3，所以｜AB｜=4.又点B关于点A的对称点为C，所以点C到点A的距离｜AC｜=4.
设点C表示的数为x，则-1-x=4，解得x=-5.故答案为-5.
由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想.
数轴上两点间的距离是表示这两个点的数的差的绝对值.
例3、已知数轴上A，B两点分别为-3，-6，若在数轴上找一点C，使得A与C的距离为4；
找一点D，使得B与D的距离为1，则下列（）不可能为C与D的距离.
A.0B.2C.4D.6
将点A，B，C，D在数轴上表示出来，然后根据绝对值与数轴的意义计算CD的长
度.
根据题意，点C与点D在数轴上的位置如图所示：
在数轴上使AC的距离为4的点C有两个：
C1，C2，数轴上使BD的距离为1的点D有两个：
D1，D2，∴C与D的距离为：
①C2D2=0；
②C2D1=2；
③C1D2=8；
④C1D1=6.综合①②③④，知C与D的距离可能为：
0，2，6，8.故选C.
本题综合考查了数轴，绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点.
在数轴上找一点C，使得A与C的距离为4，满足这个条件的点A有两个；
同理找一点D，使得B与D的距离为1，满足条件的点D也有两个，注意不要遗漏.
例4、如图，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示-4，点G表
示8.
（1）点B表示的有理数是，表示原点的是点是；
（2）图中的数轴上另有点M到点A、点G距离之和为13，则这样的点M表示的有理数
（3）若相邻两点之间的距离不变，将原点取在点D，则点C表示的有理数是，此时
点B与点表示的有理数互为相反数.
（1）先根据数轴上两点之间的距离公式求出点A到点G的距离，再求出相邻两点之间的距离即可解答；
（2）设点M表示的有理数是m，根据数轴上两点之间距离的定义即可求出m的值；
（3）根据两点间的距离是2可求出C点坐标，再根据相反数的定义即可求出结论.
（1）∵数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示-4，点
G表示8，∴AG=｜8+4｜=12.
∴相邻两点之间的距离==2.
∴点B表示的有理数是-4+2=-2，点C表示的有理数-2+2=0.故答案为：
-2；
C.
（2）设点M表示的有理数是m，则｜m+4｜+｜m-8｜=13，
∴m=-4.5或m=8.5.故答案为：
-4.5或8.5.
（3）若将原点取在点D，
∵每两点之间距离为2，
∴点C表示的有理数是-2.
∵点B与点F在原点D的两侧且到原点的距离相等，
∴此时点B与点F表示的有理数互为相反数.故答案为：
F.
本题考查的是数轴的特点及数轴上两点之间距离的定义，熟知数轴上两点之间距离公式是解答本题的关键.
第
（2）题中A，G两点间的距离为12，所以数轴上到点A、点G距离之和为13的点M在线段AG外，这样的点有两个.
例5、已知｜a+3.5｜+｜b-9｜+｜c-13.5｜=0，求ab+c的值.
根据非负数的性质可求出a，b，c的值，再将它们代入ab+c中求解即可.
∵｜a+3.5｜+｜b-9｜+｜c-13.5｜=0，
∴a+3.5=0，b-9=0，c-13.5=0.
∴a=-3.5，b=9，c=13.5.
∴ab+c=-3.5×
9+13.5=-18.
非负数的性质：
有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零.
只有当若干个非负数相加等于零时，才能得出每个非负数都同时为零.
例、观察下列每对数在数轴上的对应点之间的距离4与-2，3与5，-2与-6，-4与3，回答
下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？
；
（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则点A与点B两点间的距离可以表示为；
（3）结合数轴求得｜x-2｜+｜x+3｜的最小值为，取得最小值时x的取值范围
（4）满足｜x+1｜+｜x+4｜＞3的x的取值范围为.
（1）通过观察容易得出结论；
（2）在数轴上找到点B所在的位置，点A可以位于数轴上的任意位置，分三种情况进行分类讨论；
（3）（4）根据
（2）中的结论，利用数轴分析.解题过程：
（1）相等.
（2）结合数轴，分以下三种情况：
当x≤-1时，距离为-x-1
当x>
0，距离为x+1
综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为x+1.
（3）
x与2之间的距离.｜x+3｜=｜
x与-3之间的距离
｜x-2｜即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上
x-（-3）如图，
｜即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x在数轴上的位置有三种可能：
图1
图2符合题意，所以｜x-2｜+｜x+3｜的最小值为5，取得最小值时x的取值范围为-3≤x≤
2.
（4）同理｜x+1｜表示数轴上x与-1之间的距离，｜x+4｜表示数轴上x与-4之间的距离.所以本题即求：
当x在什么范围内时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3.借助数轴，我们可以得到正确答案：
x<
-4或x>
-1.
借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴的距离问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题.这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便.事实
上，｜a-b｜表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离.这是一个很有用
的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题.
｜a-b｜表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离，｜a+b｜
表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数-b的点之间的距离.
2.【菏泽】如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别是a，b，c，其中AB=BC，如果|a|>
|b|>
|c|，那么该数轴的原点O的位置应该在（）.
A.点A的左边
B.点A与点B之间
3.【遵义】如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，则下列式子中成立的是（）.
A.a+b<
0B.-a<
-bC.1-2a>
1-2bD.|a|-|b|>
（第6题）
6.【咸宁】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则｜a｜｜b｜（填
“>
”“<
”或“=”）.
7.【略
8.【咸宁】在数轴上，点A（表示整数a）在原点的左侧，点B（表示整数b）在原点的右侧.若|a-b|=2013，且AO=2BO，则a+b的值为．
2.当x满足条件时，y=｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+⋯+｜x-2010｜会得到最小
值.
3.求｜x-3｜+｜x-5｜+｜x-2｜+｜x+1｜+｜x+7｜的最小值.
5.有理数a，b，c均不为0，且a+b+c=0.设x=||a||b||c||，试求代数式bccaab
19
x19+99x+2013之值.
第三讲有理数的加减
1.有理数加法法则：
（1）同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数.
2.加法交换律:
a+b=b+a，两个数相加，交换加数的位置，和不变.加法结合律:
a+b+c=（a+b）+c=a+（b+c），三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
3.有理数减法法则：
减去一个非零的数，等于加上这个数的相反数.其中，两变：
减法运算变加法运算，减数变成它的相反数；
一不变：
被减数不变.可以表示成：
a－b=a+（－b）.难点分析：
1.在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：
是同号还是异号，
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