勾股定理之最短路径填空选择中考题Word文件下载.docx

勾股定理之最短路径填空选择中考题Word文件下载.docx

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C、5D、

9、如图所示，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（　　）

A、12cmB、10cm

C、14cmD、无法确定

10、如图：

有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3），在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约（　　）

A、10cmB、12cm

C、19cmD、20cm

11、如图是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（　　）

A、8B、2

C、2D、2+2

12、如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，最近的路程长为（　　）

A、7B、

C、D、5

13、如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（　　）

A、4.8B、

14、有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（　　）

A、5cmB、cm

C、4cmD、3cm

15、如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着立方体的外表面爬到B顶点的最短路程是（　　）

A、3B、

C、D、1

16、如图所示：

有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（　　）

A、3米B、4米

C、5米D、6米

17、如图，在棱长为20cm的正方体盒子上有一只蚂蚁欲从A点出发向B爬去吃食，则蚂蚁所走最短路程是（　　）

C、20cmD、20cm

二、填空题（共13小题）

18、（2007•呼伦贝尔）如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是　_________　m．（结果不取近似值）

19、（2007•）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是　_________　．（结果保留根号）

20、（2007•金昌）如图，圆锥的母线长OA为8，底面圆的半径为4．若一只蚂蚁在底面上点A处，在相对母线OC的中点B处有一只小虫，蚂蚁要捉到小虫，需要爬行的最短距离为　_________　．

21、（2007•）如图，有一木质圆柱形笔筒的高为h，底面半径为r，现要围绕笔筒的表面由A至A1（A，A1在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是　_________　．

22、（2008•）如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等干4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是　_________　cm．（π取3）

23、（2008•）如图，有一圆柱体，它的高为20cm，底面半径为7cm．在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是　_________　cm（结果用带根号和π的式子表示）．

24、（2009•）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要　_________　cm；

如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要　_________　cm．

25、（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为　_________　cm．

26、（2006•）如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是　_________　．

27、（2005•）如图，已知正方体的棱长为2，则正方体表面上从A点到C1点的最短距离为　_________　．

28、（2003•）如图，一只昆虫要从边长为acm的正方体盒子的一个顶点爬到相距最远的另一个顶点，沿盒子表面爬行的最短路程是　_________　cm．

29、如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为　_________　cm．（π取3）

30、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是　_________　．

24．（本小题10分）问题探究：

（1）如图①所示是一个半径为

，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，

是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从

点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达

点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：

将圆柱的侧面沿母线

剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形

则蚂蚁爬行的最短路程即为线段

的长）

（2）如图②所示是一个底面半径为

，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，

是它的一条母线，一只蚂蚁从

点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到

点，求蚂蚁爬行的最短路程．

（3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从

点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线

上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．

答案与评分标准

考点：

平面展开-最短路径问题。

分析：

首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC′=6cm，PC=BC，求出PC′=×

6=4cm，在Rt△AC′P中，根据勾股定理求出AP的长．

解答：

解：

侧面展开图如图所示，∵圆柱的底面周长为6cm，

∴AC′=3cm，

∵PC′=BC′，

∴PC′=×

6=4cm，

在Rt△ACP中，

AP2=AC′2+CP2，

∴AP==5．

故选B．

点评：

此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图．

要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

由题意知，底面圆的直径AB=4，

故底面周长等于4π．

设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°

，

根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π=，

解得n=120°

所以展开图中∠APD=120°

÷

2=60°

因为半径PA=PA′，故三角形PAA′为等腰三角形，又∵D为AA′的中点，

所以PD⊥AA′，在直角三角形PAD中，PA=6，PD=3，

根据勾股定理求得AD=3，

所以蚂蚁爬行的最短距离为3．

故选C．

圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．

要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

将长方体展开，连接A、B，

根据两点之间线段最短，

BD=10+5=15，AD=20，

由勾股定理得：

AB====25．

本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．

由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．

根据两点之间线段最短，把正方体展开，可知由A处向B处爬行，所走的最短路程是20cm．

熟练掌握两点之间线段最短这一性质．

根据题意，先将圆柱体展开，再根据两点之间线段最短．

将圆柱体展开，连接D、C，

圆柱体的底面周长为24cm，则DE=12cm，

CD==4≈13cm．

而走B﹣D﹣C的距离更短，

∵BD=4，BC=，

∴BD+BC≈11.64≈12．

本题是一道趣味题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．

作此题要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面，在平面线段最短，根据勾股定理即可计算．

第一种情况：

把我们所看到的前面和上面组成一个平面，

则这个长方形的长和宽分别是9和4，

则所走的最短线段是=；

第二种情况：

把我们看到的左面与上面组成一个长方形，

则这个长方形的长和宽分别是7和6，

所以走的最短线段是=；

第三种情况：

把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，

则这个长方形的长和宽分别是10和3，

三种情况比较而言，第二种情况最短．

所以选C．

此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面，求出最短的线段．

先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．

将正方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB==a．

故选D．

本题是一道趣味题，将正方体展开，运用勾股定理解答即可．

根据题意，先将正方体展开，再根据两点之间线段最短求解．

将正方体展开，连接M、D1，

MD=MC+CD=1+2=3，

MD1===．

故选A．

本题是一道趣味题，将正方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．

根据两点之间，线段最短．先将图形展开，再根据勾股定理可知．

可以把A和B展开到一个平面，

即圆柱的半个侧面是矩形：

矩形的长是圆柱底面周长的一半即2π=6．

矩形的宽是圆柱的高8．

根据勾股定理得：

爬行的最短路程是矩形的对角线的长，即10．

要求不在同一个平面的两点之间的最短距离，需要把两个点展开到一个平面，再计算．

根据两点之间，线段最短．首先把A和B展开到一个平面，即展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形，然后根据勾股定理，求得蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线的长度．

展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形：

矩形的长是圆柱底面周长的一半即2π=6，矩形的宽是圆柱的高即8．

蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线长即10．

本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．本题注意只需展开圆柱的半个侧面．

把此正方体的DCC1D1面与CC1B1B面展开在同一平面，然后利用勾股定理求点M和N点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形MNB1中，一条直角边长等于6，另一条直角边长等于2，利用勾股定理可求得．

把正方体的DCC1D1面与CC1B1B面展开在同一平面，

∵M、N为C1D1和BB1的中点，

∴NB1=2，MC1=2，

在Rt△NMB1中，MN==2．

本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．

要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

将圆柱体展开，连接A、C，

∵=•π•=4，BC=3，

根据两点之间线段最短，AC==5．

圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽．

有两种展开方法：

①将长方体展开成如图所示，连接A、B，

根据两点之间线段最短，AB==；

②将长方体展开成如图所示，连接A、B，则AB==5＜；

把此长方体的一面展开，在平面，两点之间线段最短．利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．

因为平面展开图不唯一，

故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．

（1）展开前面、右面，由勾股定理得AB2=（5+4）2+32=90；

（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB2=（3+4）2+52=74；

（3）展开左面、上面，由勾股定理得AB2=（3+5）2+42=80；

所以最短路径长为cm．

要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．

如图将正方体展开，根据两点之间，线段最短，

得：

最短路程是=．

要求不在同一平面的两点之间的距离时，首先要把它们展开到一个平面，然后根据两点之间，线段最短，即可求出最短距离．

蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．

由题意得，

路径一：

AB==；

路径二：

AB==5；

路径三：

∵＞5，

∴5为最短路径．

此题关键是把长方体展开后用了勾股定理求出对角线的长度．

平面展开-最短路径问题；

勾股定理。

要求不在同一平面的两个点间的距离．首先展开A和B所在的两个平面，组成一个矩形：

矩形的长是40，宽是20．根据两点之间线段最短，知矩形的对角线即蚂蚁所走的最短路程．运用勾股定理得蚂蚁所走最短路程．

依题意知：

矩形的长是40，宽是20．

根据两点之间线段最短，知矩形的对角线即蚂蚁所走的最短路程．

运用勾股定理得：

=20cm．

确定不在同一个平面的两个点之间的最短距离时，一定要把两个点所在的平面展开到一个平面，再分析计算．

18、（2007•呼伦贝尔）如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是　　m．（结果不取近似值）

专题：

转化思想。

求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为6cm的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点B是半圆的一个端点，而点P是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B和P在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．

圆锥的底面周长是6π，则6π=，

∴n=180°

，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．

则在圆锥侧面展开图中AP=3，AB=6∠BAP=90度．

∴在圆锥侧面展开图中BP=m．

故小猫经过的最短距离是m．

正确判断小猫经过的路线，把曲面的问题转化为平面的问题是解题的关键．

19、（2007•）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是　　．（结果保留根号）

圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长，这个小虫正好走了矩形的对角线长，

∵AB=π•=2，CB=2．

∴AC===2，

故答案为：

2．

圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．

20、（2007•金昌）如图，圆锥的母线长OA为8，底面圆的半径为4．若一只蚂蚁在底面上点A处，在相对母线OC的中点B处有一只小虫，蚂蚁要捉到小虫，需要爬行的最短距离为　　．

由题意知，底面圆的直径AC=8，故底面周长等于8π．

根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，8π=，

解得n=180，所以展开图中∠AOB=90°

根据勾股定理求得AB=，

所以蚂蚁爬行的最短距离为．

21、（2007•）如图，有一木质圆柱形笔筒的高为h，底面半径为r，现要围绕笔筒的表面由A至A1（A，A1在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是　　．

平面展开-最短路径问