八年级格致中学数学期中卷及答案.docx

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八年级格致中学数学期中卷及答案

2008-2009学年上海市格致中学八年级（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：

（本大题共6题，每题2分，共12分）

1．（2分）下列方程中，不是二元二次方程的是（　　）

A．

x2+xy﹣3=0

B．

x2﹣y=x（x+3）

C．

x（y﹣2）=7

D．

y=x2﹣2x+3

考点：

高次方程．2748033

分析：

二元二次方程就是含有两个未知数，并且最高次数是二次的整式方程，据此即可判断．

解答：

解：

A、C、D都是二元二次方程，故正确；

B、化简以后是：

y+3x=0，是二元一次方程，故选项错误．

故选B．

点评：

本题主要考查了二元二次方程的定义，正确理解二元、二次的含义是解题的关键．

2．（2分）对于直线y=4x+3，下列说法错误的是（　　）

A．

图象与x轴的交点为（﹣

）

B．

图象经过第一、二、三象限

C．

直线在y轴上的截距为（0，3）

D．

y随x的减少而减少

考点：

一次函数的性质．2748033

专题：

常规题型．

分析：

根据一次函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．

解答：

解：

A、当y=0时，4x+3=0，解得x=﹣

，图象与x轴的交点为（﹣

，0），故本选项正确；

B、k=4＞0，函数图象经过第一三象限，b=3＞0，函数图象与y轴正半轴相交，所以函数图象经过第一二三象限，故本选项正确；

C、x=0时，y=3，直线在y轴上的截距为3，故本选项错误；

D、k=4＞0，y随x的减少而减少，故本选项正确．

故选C．

点评：

本题考查了一次函数的性质，需要明确，截距是一个数值，而不是点的坐标．

3．（2分）函数

和y=k（x+1）（k＜0）在同一直线坐标系中的大致图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

反比例函数的图象；一次函数的图象．2748033

专题：

计算题．

分析：

根据k的符号判断出反比例函数所在象限，再根据k的符号判断出y=k（x+1）所过象限，同时符合条件者即为正确答案．

解答：

解：

∵k＜0，

∴

图象在二、四象限；

y=k（x+1）=kx+k过二、三、四象限；

故选B．

点评：

本题考查了反比例函数与一次函数的图象和性质，要知道，只有同时符合两个函数的性质才能成立．

4．（2分）若直线y=2x+1向下平移n个单位后，所得的直线在y轴上的截距是﹣2，则n的值是（　　）

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

考点：

一次函数图象与几何变换．2748033

专题：

计算题．

分析：

只向下平移，让比例系数不变，常数项减去平移的单位可得出平移后的解析式，从而结合题意可得出n的值．

解答：

解：

原直线的k=2，b=1；向下平移n个单位长度得到了新直线，那么新直线的k=2，b=1﹣n，

∴新直线的解析式为y=2x+1﹣n．

又直线在y轴上的截距是﹣2，

∴1﹣n=﹣2，

解得：

n=3．

故选C．

点评：

本题考查一次函数的几何变换，注意求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．上下平移时只需让b的值加减即可．

5．（2分）下列方程中，有实数根的方程是（　　）

A．

x4+2=0

B．

C．

D．

考点：

无理方程．2748033

专题：

计算题．

分析：

对于A，变形得x4=﹣2＜0，由此得到原方程无实数解；对于B，方程左边为非负数，而方程右边为负数，由此得到原方程无实数根；对于C，先把方程两边乘以x2﹣1得，x=1，而x=1是原方程的增根，由此得到原方程无实数根；对于D，先把方程两边平方得，x+2=x2，即x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1，经检验x1=2是原方程的增根，由此得到原方程有实数根x=﹣1．

解答：

解：

A、x4=﹣2＜0，则原方程无实数解，所以A选项不正确；

B、方程左边为非负数，方程右边为负数，则原方程无实数根，所以B选项不正确；

C、方程两边乘以x2﹣1得，x=1，经检验x=1是原方程的增根，即原方程无实数根，所以C选项不正确；

D、方程两边平方得，x+2=x2，即x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1，经检验x1=2是原方程的增根，则原方程的实数根为x=﹣1，所以D选项正确．

故选D．

点评：

本题考查了无理方程：

根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号．

6．（2分）（2007•岳阳）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（　　）

A．

200（1+a%）2=148

B．

200（1﹣a%）2=148

C．

200（1﹣2a%）=148

D．

200（1﹣a2%）=148

考点：

由实际问题抽象出一元二次方程．2748033

专题：

增长率问题．

分析：

主要考查增长率问题，本题可用降价后的价格=降价前的价格×（1﹣降价率），首先用x表示两次降价后的售价，然后由题意可列出方程．

解答：

解：

依题意得两次降价后的售价为200（1﹣a%）2，

∴200（1﹣a%）2=148．

故选B．

点评：

增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．

二、填空（本大题共12题，每题3分，共36分）

7．（3分）直线y=﹣3x+b经过点（2，﹣4），则直线的解析式为　y=﹣3x+2　．

考点：

待定系数法求一次函数解析式．2748033

专题：

常规题型．

分析：

把点的坐标代入直线解析式进行计算即可得解．

解答：

解：

∵直线y=﹣3x+b经过点（2，﹣4），

∴﹣3×2+b=﹣4，

解得b=2，

所以直线的解析式为y=﹣3x+2．

故答案为：

y=﹣3x+2．

点评：

本题考查了待定系数法求函数解析式，把点的坐标代入解析式进行计算即可，比较简单．

8．（3分）函数y=3x+m+1图象不经过第二象限，那么m的取值范围为　m≤﹣1　．

考点：

一次函数图象与系数的关系．2748033

专题：

探究型．

分析：

先根据一次函数的性质得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．

解答：

解：

∵函数y=3x+m+1中k＞0，

∴此函数图象必过一、三象限，

∵函数y=3x+m+1图象不经过第二象限，

∴m+1≤0，即m≤﹣1．

故答案为：

m≤﹣1．

点评：

本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＜0时，此函数图象经过一、三、四象限．

9．（3分）函数y=

在y轴上的截距是　1　．

考点：

一次函数图象上点的坐标特征．2748033

专题：

探究型．

分析：

先把一次函数y=

化为y=

x+1的形式，再令x=0，求出y的值即可．

解答：

解：

∵次函数y=

化为y=

x+1的形式，

∴令x=0，则y=1．

故答案为：

1．

点评：

本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意把一次函数化为y=ax+b（a≠0）的形式是解答此题的关键．

10．（3分）方程

的根是　﹣2　．

考点：

解分式方程；解一元一次方程．2748033

专题：

计算题．

分析：

方程的两边都乘以x+1得出x=2（x+1），求出方程的解，代入x+1进行检验即可．

解答：

解：

=2，

方程的两边都乘以x+1得：

x=2（x+1），

去括号得：

x=2x+2，

移项得：

x﹣2x=2，

合并同类项得：

﹣x=2，

即x=﹣2，

检验：

把x=﹣2代入x+1≠0，

即x=﹣2是原方程的解，

故答案为：

﹣2．

点评：

本题考查了解分式方程和解一元一次方程的应用，关键是把分式方程转化成整式方程，注意：

解分式方程一定要进行检验．

11．（3分）方程x3=4x的实数根是　x1=0，x2=﹣2，x3=2　．

考点：

高次方程．2748033

分析：

先将原式变形为x3﹣4x=0，在运用因式分解法求解就可以了．

解答：

解：

移项，得

x3﹣4x=0，

分解因式，得

x（x+2）（x﹣2）=0，

∴x1=0，x2=﹣2，x3=2．

故答案为：

x1=0，x2=﹣2，x3=2．

点评：

本题考查的是解一元高次方程的方法，在解答中涉及了因式分解的运用．解答高次方程的基本思想是将次．

12．（3分）直线y=1﹣

中y随x的增大而　减小　，经过　一、二、四　象限．

考点：

一次函数的性质．2748033

专题：

探究型．

分析：

先根据直线y=1﹣

中k=﹣

判断出函数的增减性，再由一次函数的性质确定出所经过的象限即可．

解答：

解：

∵直线y=1﹣

中k=﹣

＜0，

∴y随x的增大而减小；

∴此函数图象经过二、四象限，

∵b=1＞0，

∴此函数的图象与y轴相交于正半轴，

∴此函数的图象经过一、二、四象限．

故答案为：

减小；一、二、四．

点评：

本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0时，y随x的增大而减小，当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴．

13．（3分）一根蜡烛长18cm，点燃后每小时燃烧6cm，燃烧剩下的长度y（cm）与燃烧的时间x（小时）之间的函数解析式是　y=18﹣6x　，自变量x的取值范围　0≤x≤3　．

考点：

根据实际问题列一次函数关系式．2748033

专题：

应用题．

分析：

根据题意，点燃后每小时耗去6cm，则x小时后，耗去6xcm，而蜡烛原长为18cm，易得y与t之间的函数关系式；又根据实际意义，可得y≥0，计算可得x的范围．

解答：

解：

根据题意，点燃后每小时耗去6cm，则x小时后，耗去6xcm，而蜡烛原长为18cm，

故有y与x之间的函数关系式是y=18﹣6x，

又由于y=18﹣6x≥0，可得0≤x≤3，

故答案为：

y=18﹣6x，0≤x≤3．

点评：

此题考查了由实际问题列一次函数关系式的知识，读懂题意，找到相应的等量关系是解决本题的关键，注意求自变量的取值范围要考虑实际意义．

14．（3分）用换元法解方程

，可设y=

，则原方程化为关于y的整式方程是　y2+y﹣5=0　．

考点：

换元法解分式方程．2748033

专题：

常规题型．

分析：

把

换为y，然后去掉分母整理即可．

解答：

解：

y=

，

原方程可化为y﹣5×

+1=0，

去分母得，y2+y﹣5=0．

故答案为：

y2+y﹣5=0．

点评：

本题考查了换元法解分式方程，把代数式进行等量代换即可，是基础题，比较简单．

15．（3分）二元二次方程x2﹣xy﹣2y2=0分解为二个一次方程为　x+y=0或x﹣2y=0　．

考点：

高次方程．2748033

分析：

首先把x2﹣xy﹣2y2=0的左边分解因式，然后就可以确定化得的两个二元一次方程．

解答：

解：

∵x2﹣xy﹣2y2=0，

∴（x﹣2y）（x+y）=0，

∴x﹣2y=0或x+y=0．

故答案为：

x+y=0或x﹣2y=0．

点评：

此题主要考查了高次方程的解法：

分解因式法，解题的关键是会利用因式分解的方法把高次方程降次．

16．（3分）如果直线y=﹣2x+3与两坐标轴围成的三角形的面积为　

　．

考点：

一次函数图象上点的坐标特征．2748033

专题：

计算题．

分析：

直线y=﹣2x+3中令x=0，解得y=3，当y=0时，x=

，因而直线与x，y轴的交点是（

，0），（0，3），因而两坐标轴围成的三角形的面积即为可求．

解答：

解：

当y=0时，0=﹣2x+3，x=

当x=0时，y=3

∴两坐标轴围成的三角形的面积为：

×

×3=

．

点评：

求出直线与坐标轴的交点，把求线段的长的问题转化为求函数的交点的问题．

17．（3分）在一次同学聚会时，每个人都与别人握一次手，有人做了一次统计，共握了78次手，设共有x人参加这次聚会，那么可列方程为　

=78　．

考点：

由实际问题抽象出一元二次方程．2748033

分析：

设这次聚会的同学共x人，则每个人握手（x﹣1）次，而两个人之间握手一次，因而共握手

次，即可列方程求解．

解答：

解：

设这次聚会的同学共x人，根据题意列方程为：

=78．

故答案为：

=78．

点评：

本题考查了根据题意列一元二次方程解实际问题的能力，列方程解应用题的关键是寻找等量关系．

18．（3分）写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式（写出一个即可）　y=﹣3x等　．

（1）y随着x的增大而减小；

（2）图象经过点（1，﹣3）．

考点：

一次函数的性质．2748033

专题：

开放型．

分析：

根据y随着x的增大而减小推断出k与0的关系，再可以利用过点（1，﹣3）来确定函数的解析式，答案不唯一．

解答：

解：

∵y随着x的增大而减小，

∴k＜0，

又∵直线过点（1，﹣3），

则解析式为y=﹣3x或y=﹣2x﹣1或y=﹣x﹣2等．

故填空答案：

y=﹣3x．

点评：

在y=kx+b中，k的正负决定直线的升降；b的正负决定直线与y轴交点的位置是在y轴的正方向上还是负方向上．

三、解方程或方程组（本大题共4题，第19-20题6分每题，21-22题7分每题，共26分）

19．（6分）x4+6x2﹣40=0．

考点：

换元法解一元二次方程．2748033

专题：

计算题．

分析：

可设x2=y，则原方程可化为y2+6y﹣40=0，降次解出y后，代入解答出x即可；

解答：

解：

设x2=y，则原方程可化为y2+6y﹣40=0，

分解因式得，（y+10）（y﹣4）=0，

解得，y1=﹣10（舍去），y2=4，

把y=4代入得，x2=4，

解得x=±2．

点评：

本题主要考查了换原法解一元二次方程，本题是通过换元达到降次的目的．

20．（6分）

．

考点：

解分式方程．2748033

分析：

观察可得最简公分母是x（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．

解答：

解：

方程两边同乘x（x﹣3），得2x﹣4（x﹣3）=x（x﹣3），

整理，得x2﹣x﹣12=0，

解得x1=4，x2=﹣3，

经检验，当x=4或﹣3时，x（x﹣3）≠0，

所以，原方程的解为：

x1=4，x2=﹣3．

点评：

本题考查了解分式方程：

（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．

（2）解分式方程一定注意要验根．

21．（7分）2x+

．

考点：

无理方程．2748033

分析：

先把方程移项，再两边分别进行平方，得到一个一元二次方程，最后解这个方程并进行检验，即可求出答案．

解答：

解：

原方程可化为

=1﹣2x，

两边平方得x+1=（1﹣2x）2，

解得x1=0，x2=

；

分别代入原方程检验得x2=

时不成立，

故原方程的解为x=0．

点评：

此题考查了无理方程，解无理方程一般用换元法和平方法，解答此类题目时一定要注意验根．

22．（7分）

．

考点：

高次方程．2748033

分析：

将原方程组变形为：

，所以有

，

，

，

，然后解4个二元一次方程组就可以求出其值．

解答：

解：

原方程组变形为：

，

原方程组变为四个方程组为：

，

，

，

，

解这四个方程组为：

，

，

，

点评：

本题考查了用分解因式的方式降次的方法解二元二次方程组的运用．

四、解答题（本题共3题，共26分）

23．（8分）某学校库存960套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务．经协商后，已知甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天，乙小组每天比甲小组多修8套．甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套？

考点：

分式方程的应用．2748033

分析：

设甲小组每天修理桌凳x套，则乙小组每天修理（x+8）套，根据甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天，可列方程求解．

解答：

解：

设甲小组每天修理桌凳x套，则乙小组每天修理（x+8）套．（1分）

依题意，得：

（4分）

去分母，并整理，得x2+8x﹣384=0（2分）

解得x1=﹣24，x2=16（2分）

经检验，x1=﹣24，x2=16都是原方程得根．但x1=﹣24不合题意，舍去．（1分）

所以，只取x=16，此时，x+8=24．（1分）

答：

甲小组每天修桌凳16套，乙小组每天修桌凳24套．（1分）

点评：

本题考查理解题意的能录，关键是以时间做为等量关系，根据甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天，列方程求解．

24．（8分）如图，长方形ABCD，点P按B→C→D→A方向运动，开始时，以每秒2个长度单位匀速运动，达到C点后，改为每秒a个单位匀速运动，到达D后，改为每秒b个单位匀速运动．在整个运动过程中，三角形ABP的面积S与运动时间t的函数关系如图所示．

求：

（1）AB、BC的长；

（2）a，b的值．

考点：

动点问题的函数图象．2748033

分析：

（1）由图象可知，当点P在BC上运动时，3秒钟到C，有知道P的运动速度，所以可以求出BC的长；

（2）有

（1）可知DC=AB=10，AD=BC=6，结合给出的函数图象即可求出a和b的值．

解答：

解：

（1）从图象可知，当点P在BC上运动时，3秒钟到C，

所以BC=2×3=6，

从图象可知，当3≤t≤15时，△ABP面积不变为30，

∴

AB•BC=30，

即

×6×AB=30，

∴AB=10，

∴长方形的长为AB=10，宽为BC=6；

（2）有

（1）可知DC=AB=10，AD=BC=6，

∴a=

=

，b=

=1．

点评：

本题是一次函数的综合题，重点考查了动点问题的函数图象，考查了学生观察图象的能力和解决问题的能力．

25．（10分）已知一次函数y=ax﹣a（a≠0）的图象是直线l．

（1）求证：

一次函数的图象一定经过P（1，0）；

（2）如果直线l与y轴的正半轴交于点E、O为坐标原点，

①设△OPE的面积为S，写出S关于a的函数解析式，并写出函数的定义域；

②在x轴上找出点Q，使S△PQE=2S△OPE，求出点Q的坐标．

考点：

一次函数综合题．2748033

专题：

计算题．

分析：

（1）把P的横坐标代入一次函数解析式中，求出对应的函数值y为0，可得出一次函数图象一对经过P点，得证；

（2）①由直线l与y轴正半轴交于点E，可得出一次函数解析式y=kx+b中k小于0，即a小于0，令x=0，求出此时对应的y轴，即为OE的长，又三角形OPE为直角三角形，根据两直角边OE及OP的长，即可列出S与a的函数解析式，并得出此时自变量a的范围为a小于0；

②由Q在x轴上，分两种情况考虑：

当Q在P点右边时，如图所示，根据三角形PQE的面积为三角形OPE面积的2倍，且两三角形的高都为OE，得到三角形PQE的底边PQ为三角形OEP底边OP的2倍，根据OP的长求出PQ的长，进而得到OQ的长，确定出此时Q的坐标；当Q在P的左边时，同理得到PQ等于OP的2倍，由OP的长求出OQ的长，确定出此时Q的坐标，综上，得到所有满足题意的Q的坐标．

解答：

解：

（1）把x=1代入一次函数解析式得：

y=a﹣a=0，

∴P（1，0）在一次函数图象上，

即一次函数的图象一定经过P（1，0）；

（2）①∵直线l恒过P（1，0），且与y轴交于正半轴，

∴a＜0，

令y=ax﹣a中x=0，解得：

y=﹣a，

∴OE=﹣a，又OP=1，且△OEP为直角三角形，

则S△OPE=

OE•OP=

•（﹣a）•1=﹣

（a＜0）；

②根据题意画出相应的图形，如图所示：

当Q在P的右边时，如图所示，

∵S△PQ1E=2S△OPE，且△PQ1E与△OPE的高都为OE，

∴PQ1=2OP，又OP=1，

∴PQ1=2，

∴OQ1=OP+PQ1=1+2=3，

此时Q1坐标为（3，0）；

当Q在P的左边时，如图所示，

∵S△PQ2E=2S△OPE，且△PQ2E与△OPE的高都为OE，

∴PQ2=2OP，又OP=1，

∴PQ1=2，

∴OQ2=PQ2﹣OP=2﹣1=1，

此时Q2的坐标为（﹣1，0），

综上，当S△PQE=2S△OPE时，Q的坐标为（3，0）或（﹣1，0）．

点评：

此题考查了一次函数的综合题，涉及的知识有：

恒过定点的直线方程，一次函数的图象与性质，以及三角形面积的求法，利用了数形结合及分类讨论的思想，其中第二问第2小题Q的坐标有两解，注意不要漏解．

2