小波变换完美通俗解读Word格式.docx

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可以说，完整的小波展开就是由母小波和父小波共同定义的。

其中

是母小波，

是父小波。

需要提醒一点的是，这个正交纯粹是为了小波分析的方便而引入的特性，并不是说小波变换的基就一定必须是正交的。

但大部分小波变换的基确实是正交的，所以本文就直接默认正交为小波变换的主要性质之一了。

引入这个父小波呢，主要是为了方便做多解析度分析（multiresolutionanalysis,MRA）。

说到这里，你的问题可能会井喷了：

好好的为什么出来一个父小波呢？

这个scalingfunction是拿来干嘛的？

它背后的物理意义是什么？

waveletfunction背后的物理意义又是什么？

这个多解析度分析又是什么呢？

不急，下面，我们围绕一个例子来巩固一下前面的知识，同时再引出新的特性。

假设我们有这样一个信号：

该信号长度为8，是离散的一维信号。

我们要考虑的，就是如何用小波将其展开。

为了方便讲解，我们考虑最简单的一种小波，哈尔小波。

下面是它的一种母小波：

那如何构建基于这个母小波的基呢？

刚才提到了，要缩放，要平移。

我们先试试缩放，那就是ψ（2n）：

但这样的话，它与自己的内积就不是1了，不符合小波基orthonormal的要求，所以我们要在前面加一个系数根号二，这样我们就得到了另一个哈尔小波的basisfunction：

同理，我们可以一直这样推广下去做scale，得到4n，8n，…….下的basisfunction。

当然在这个例子里，我们信号长度就是8，所以做到4n就够了。

但推广来说，就是这种scaling对母小波的作用为

，这是归一化后的表示形式。

平移的话也很简单，我们可以对母小波进行平移，也可以对scale之后的basisfunction进行平移。

比如对上一幅图中的basisfunction进行平移，就成了

看得出来，平移后的basisfunction和母小波以及仅仅scale过的小波，都是正交的，附合小波basis的特点。

如果我们用ψ（n）来表示这个motherwavelet，那么这些orthonormalbasis函数可以写成：

这里的k是可以看成时域的参数，因为它控制着小波基时域的转移，而j是频域的参数，因为它决定了小波基的频率特性。

看到这里，你应该会感觉很熟悉，因为这里的平移和变换本质和刚才对scalingfunction的平移变换是一模一样的。

这样，我们就有了针对此信号space的哈尔小波basis组合：

图1

可以看出，我们用到了三层频率尺度的小波函数，每往下一层，小波的数量都是上面一层的两倍。

在图中，每一个小波基函数的表达形式都写在了波形的下面。

等等，你可能已经发现了，有问题。

这里为什么多了个没有函数表达式的波形呢？

这货明显不是waveletfunction阿。

没错，它是之前提到的scalingfunction，也就是父小波。

然后你可能就会问，为啥这个凭空插了一个scalingfunction出来呢？

明明目标信号已经可以用纯的小波基组合表示了。

是，确实是，就算不包括scalingfunction，这些小波函数本身也组成了正交归一基，但如果仅限于此的话，小波变换也就没那么神奇的功效了。

引入这个scalingfunction，才能引入我们提到的多解析度分析的理论，而小波变换的强大，就体现在这个多解析度上。

那在这里，我们怎么用这个多解析度呢？

这个哈尔小波basis组合是怎么通过多解析度推导出来的呢？

话说在数学定义中，有一种空间叫Lebesgue空间，对于信号处理非常重要，可以用L^p（R）表示，指的是由p次可积函数所组成的函数空间。

我们在小波变换中要研究的信号都是属于L^2（R）空间的，这个空间是R上的所有处处平方可积的可测函数的集合，这样就等于对信号提出了一个限制，就是信号能量必须是有限的，否则它就不可积了。

小波变换的定义都是基于但不限于L^2（R）中的信号的。

这玩意的特性要具体解释起来太数学了，牵涉到太多泛函知识，我就不在这里详述了。

而且老实说我也没能力完全讲清楚，毕竟不是学这个的，有兴趣可以参考wiki。

总之你记住，小波变换研究中所使用的信号基本都是平方可积的信号，但其应用不限于这种信号，就行了。

对L^2（R）空间做MRA是在干嘛呢？

就是说，在L^2（R）空间中，我们可以找出一个嵌套的空间序列

，并有下列性质：

（i） 

（ii） 

（iii） 

（iv） 

（v）有这样一个方程

是

的orthonormal 

basis。

我来简单解释一下这些性质。

这个V_j都是L^2（R）空间中的子空间，然后他们是由小到大的，交集是{0}，因为这是最小的子空间，并集就是L空间。

是不是有点难以理解？

没关系，看看下面这个图就清楚了：

这个图是圈圈套圈圈，最里面的圈是V0，之后分别是V1，V2，V3，V4。

那他们有趣的性质就是，假如有一个函数f（t）他属于一个某空间，那你将其在时域上平移，它还是属于这个空间。

但如果你对它频域的放大或缩小，它就会相应移到下一个或者上一个空间了。

同时我们还知道，你要形容每一个空间的话，都需要有对应的orthonormalbasis，这是必然的，那对于V0来讲，它的orthonormalbasis就是

这一系列函数是什么呢？

的时域变换，而且我们刚才也说了，时域上平移，是不会跳出这个空间的。

这样，我们就可以说，由这一系列basis所定义的L^2（R）子空间V0被这些basis所span，表示成：

k从负无穷到正无穷。

上面的bar表示这是一个闭包空间，也就是说

这样，我们就定义了基本的V0这个子空间。

刚才说了，这个子空间的基都是对

的整数时域变换，这里我们称

为scalingfunction，所以换个说法，就是说这里整个子空间V0，由scalingfunction和其时域变换的兄弟们span。

当然，如果这个scalingfunction只是用来代表一个子空间的，那它的地位也就不会这么重要了。

刚才我们提到，这个嵌套空间序列有一个性质，

。

这就是这个函数，如果你对它频域的放大或缩小，它就会相应移到下一个或者上一个空间了。

这个性质就有意思了，它代表什么呢？

对于任何一个包含V0的更上一层的空间来讲，他们的基都可以通过对scalingfunction做频域的scale后再做时域上的整数变换得到！

推广开来就是说，当

我们有

这也就意味着，对于任何属于V_j空间的函数f（t），都可以表示为：

到这里，我们就明白这些个子空间和那个凭空冒出来的scalingfunction的作用了。

scaling的构建这些不同的子空间的基础，当j越大的时候，每一次你对频率变换后的scalingfunction所做的时域上的整数平移幅度会越小，这样在这个j子空间里面得到的f（t）表示粒度会很细，细节展现很多。

反之亦然。

通俗点说，就是对scalingfunction的变换平移给你不同的子空间，而不同的子空间给你不同的分辨率，这样你就可以用不同的分辨率去看目标信号。

下面就是时候看看什么是MRAequation了，这是更加有趣，也是更加核心的地方。

通过刚才的讲解，V0属于V1，那scalingfunction

是在V0中的，自然也在V1中了。

我们把他写成V1的基的线性组合，那就是

其中的h（n）是scalingfunction的系数，也叫做scalingfilter或者scalingvector，可以是实数，也可以是虚数。

根号2是为了维持norm为1的。

看，在这个公式里，我们就把属于V0的函数用V1的基表示出来了。

同理，我们可以循环如此，把属于V0的

在V2,V3,…,Vn中表示出来。

这些方程就是MRAequation，也叫refinementequation，它是scalingfunction理论的基础，也是小波分析的基础之一。

好，稍微总结一下。

到现在，已经讲了关于scalingfunction的基本理论知识，知道了信号空间可以分为不同精细度的子空间，这些子空间的basis集合就是scalingfunction或者频率变换之后的scalingfunction，如下图所示：

上图就是四个子空间的basis集合的展览。

通过前面的讨论，我们还知道，一开始的scalingfunction可以通过更精细的子空间的scalingfunction（它们都是对应子空间的basis）来构建。

比如

对于更加finer的scale：

图2

依此类推。

实际上，对于任何scale和translate过的scalingfunction，都可以用更加精细的scale层面上的scalingfunction构建出来。

然后，我们有各种scale下的scalingfunction了，该看看它们分别所对应的嵌套的空间序列

了。

先看看V0，自然就是以基本的scalingfunction为基础去span出来的：

这个不新鲜，刚才就讲过了。

这个子空间代表什么样的信号？

常量信号。

道理很简单，这个scalingfunction在整个信号长度上，没有任何变化。

继续往下看：

这个相比V0更加finer的子空间，代表着这样一种信号，它从1-4是常量，从5-8是另一个常量。

同理我们有：

V2代表的信号，是分别在1，2;

3，4;

5，6;

7，8上有相同值的信号。

那么V3呢？

则表示任何信号，因为对于V3来讲，任何一个时间刻度上的值都可以不一样。

而且现在，我们也可以通过上面的一些scalingfunctions的波形验证了之前提到的多解析度分析中的一个核心性质，那就是：

我们之前讲了一堆多解析度的理论，但直到现在，通过这些图形化的分析，我们可能才会真正理解它。

那好，既然我们有一个现成的信号，那就来看看，对这个信号作多解析度分析是啥样子的：

你看，在不同的子空间，对于同一个信号就有不同的诠释。

诠释最好的当然是V3，完全不损失细节。

这就是多解析度的意义。

我们可以有嵌套的，由scalingfunction演变的basisfunction集合，每一个集合都提供对原始信号的某种近似，解析度越高，近似越精确。

说到这里，可能你对scalingfunction以及多解析度分析已经比较理解了。

但是，我们还没有涉及到它们在小波变换中的具体应用，也就是还没有回答刚才那个问题：

凭空插了一个scalingfunction到小波basis组合中干嘛。

也就是说，我们希望理解scalingfunction是怎么和小波函数结合的呢，多解析度能给小波变换带来什么样的好处呢。

这其实就是是小波变换中的核心知识。

理解了这个，后面的小波变换就是纯数学计算了。

好，我们已经知道，对于子空间V0，basis是scalingfunction：

对应的小波函数是：

然后子空间V1的basis集合是这俩哥们：

看出什么规律了么？

多看几次这三个图，你会惊讶地发现，在V0中的scalingfunction和waveletfunction的组合，其实就是V1中的basis！

继续这样推导，V1本来的的basis是：

然后V1中对应的waveletfunction是

他们的组合，本质上也就是V2的basis（参考图2）。

你继续推导下去，会得到同样的结论：

在scalej的waveletfunction，可以被用来将Vj的basis扩展到V（j+1）中去！

这是一个非常非常关键的性质，因为这代表着，对任何一个子空间Vj，我们现在有两种方法去得到它的orthonormalbasis：

1.一种就是它本来的basis 

，对任意k。

2.第二种就是它上一个子空间的basis

，对任意k，以及上一级子空间的waveletfunction 

第二种选择能给我们带来额外的好处，那就是我们可以循环不断地用上一级子空间的scalingfunction以及waveletfunction的组合来作为当前子空间的基。

换句话说，如果针对V3这个子空间，它实际上就有四种不同的，但是等价的orthonormalbasis：

1.本级（V3）的scalingfunctionbasisset

2.上一级（V2）的scalingfunction+waveletfunction;

3.上上一级（V1）的scalingfunction+上上一级（V1）的waveletfunction+上一级（V2）的waveletfunction;

4.上上上一级（V0）的scalingfunction+上上上一级（V0）的waveletfunction+上上一级（V1）的waveletfunction+上一级（V2）的waveletfunction

好，看看最后一种选取方式，有没有感到眼熟？

对了，它就是我们之前提到的“针对此信号space的哈尔小波basis组合”，参见图1。

现在我们知道了，这个scalingfunction不是凭空插进去的，而是通过不断的嵌套迭代出来的：

）

那为什么我们最后选定的是这种选取方式呢？

实际上，刚才介绍的这个性质已经告诉我们，对于任何的scalej0，我们都可以给我们的signalspace找到一组orthonormalbasis，这个basis是通过组合scalej0上的scalingfunction以及所有在scalej，j>

=j0上的wavelets得到的。

这样，基于这个orthonormalbasis，所有信号空间中的信号都可以写成组成这个basis的functions的线性组合：

对应的系数的计算和平常一样：

这，就是最终的，也是最核心的，小波变换形式。

不管是信号压缩，滤波，还是别的方式处理，只要是用小波变换，都逃不出这个基础流程：

1.选取合适的waveletfunction和scalingfunction，从已有的信号中，反算出系数c和d。

2.对系数做对应处理

3.从处理后的系数中重新构建信号。

这里的系数处理是区别你的应用的重点。

比如图像或者视频压缩，就希望选取能将能量聚集到很小一部分系数中的小波，然后抛弃那些能量很小的小波系数，只保留少数的这些大头系数，再反变换回去。

这样的话，图像信号的能量并没有怎么丢失，图像体积却大大减小了。

还有一个没有解释的问题是，为什么要强调尺度函数和小波函数组成一个orthonormalbasis呢？

计算方便是一方面，还有一个原因是，如果他们满足这个性质，就满足瑞利能量定理，也就是说，信号的能量，可以完全用每个频域里面的展开部分的能量，也就是他们的展开系数表示：

到这里，我们对小波变换的形式就讲完了。

虽然是用的最简单的哈尔小波为例子，但举一反三即可。

我们着重介绍了多解析度分析以及它给小波变换带来的杀手锏：

时域频域同时定位。

结束之前，再多说几句小波变换的意义。

我们拿刚才例子中V3子空间的第二种可选择的orthonormalbasis作为例子：

左边这四个basis组成元素，也就是scalingfunctions，的系数，表征的是信号的local平均（想想它们和信号的内积形式），而右边的这四个basis组成元素，也就是waveletfunctions，的系数则表征了在local平均中丢失的信号细节。

得益于此，多解析度分析能够对信号在越来越宽的区域上取平均，等同于做低通滤波，而且，它还能保留因为平均而损失的信号细节，等同于做高通滤波！

这样，我们终于可以解释了waveletfunction和scalingfunction背后的物理意义了：

waveletfunction等同于对信号做高通滤波保留变化细节，而scalingfunction等同于对信号做低通滤波保留平滑的shape！

对小波变换的基础知识，我们就讲到这里。

需要注意的是，这只是小波变换最基本最基本的知识，但也是最核心的知识。

掌握了这些，代表你对小波变换的物理意义有了一定的了解。

但对于小波变换本身的讲解，一本书都不一定能将讲透，还有很多的基础知识我都没有讲，比如如何构建自己的scalingfunction，选取合适的系数集h[k]，并由此构建自己的waveletfunctions。

所以，如果有深入下去研究的同学，好好买一本书来看吧。

而只是希望用小波变换来服务自己的应用的同学，个人觉得这些知识已经足够让你用来起步了。

Published2011-02-18

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傅立叶变换, 

小波变换, 

信号处理