高中数学竞赛教材讲义 第十四章 极限与导数Word文档格式.docx

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（3）；

（4）解

（1）=；

（2）当a1时，当0a1时，当a=1时，（3）因为而所以（4）例2求下列极限：

（1）（1+x）（1+x2）（1+）（1+）（|x|0且）。

解

（1）3cos（3x+1）.

（2）（3）（4）（5）5用导数讨论函数的单调性。

例6设a0，求函数f（x）=-ln（x+a）（x（0,+）的单调区间。

解，因为x0,a0，所以x2+（2a-4）x+a20；

x2+（2a-4）x+a+1时，对所有x0，有x2+（2a-4）x+a20，即（x）0,f（x）在（0,+）上单调递增；

（2）当a=1时，对x1,有x2+（2a-4）x+a20，即，所以f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+）内递增，又f（x）在x=1处连续，因此f（x）在（0,+）内递增；

（3）当0a0，解得x2-a+，因此，f（x）在（0,2-a-）内单调递增，在（2-a+,+）内也单调递增，而当2-a-x2-a+时，x2+（2a-4）x+a22x.证明设f（x）=sinx+tanx-2x，则=cosx+sec2x-2，当时，（因为0cosxf（0）=0，即sinx+tanx2x.7.利用导数讨论极值。

例8设f（x）=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f（x）在x1与x2处是取得极大值还是极小值。

解因为f（x）在（0,+）上连续，可导，又f（x）在x1=1，x2=2处取得极值，所以，又+2bx+1，所以解得所以.所以当x（0,1）时，所以f（x）在（0,1上递减；

当x（1,2）时，所以f（x）在1，2上递增；

当x（2,+）时，所以f（x）在2，+）上递减。

综上可知f（x）在x1=1处取得极小值，在x2=2处取得极大值。

例9设x0,y0,1，试求函数f（x,y）=（2y-1）sinx+（1-y）sin（1-y）x的最小值。

解首先，当x0,y0,1时，f（x,y）=（2y-1）sinx+（1-y）sin（1-y）x=（1-y）2x=（1-y）2x，令g（x）=,当时，因为cosx0,tanxx，所以；

当时，因为cosx0,tanx0，所以；

又因为g（x）在（0,）上连续，所以g（x）在（0,）上单调递减。

又因为0（1-y）xxg（x），即，又因为，所以当x（0,）,y（0,1）时，f（x,y）0.其次，当x=0时，f（x,y）=0；

当x=时，f（x,y）=（1-y）sin（1-y）0.当y=1时，f（x,y）=-sinx+sinx=0；

当y=1时，f（x,y）=sinx0.综上，当且仅当x=0或y=0或x=且y=1时，f（x,y）取最小值0。

三、基础训练题1=_.2已知，则a-b=_.3_.4_.5计算_.6若f（x）是定义在（-,+）上的偶函数，且存在，则_.7函数f（x）在（-,+）上可导，且，则_.8若曲线f（x）=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P坐标为_.9函数f（x）=x-2sinx的单调递增区间是_.10函数的导数为_.11若曲线在点处的切线的斜率为，求实数a.12.求sin290的近似值。

13设0ba0时，比较大小：

ln（x+1）_x.9.函数f（x）=x5-5x4+5x3+1,x-1,2的最大值为_，最小值为_.10曲线y=e-x（x0）在点M（t,e-t）处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S（t），则S（t）的最大值为_.11若x0，求证：

（x2-1）lnx（x-1）2.12函数y=f（x）在区间（0,+）内可导。

导函数是减函数，且0，x0（0,+）.y=kx+m是曲线y=f（x）在点（x0,f（x0）处的切线方程，另设g（x）=kx+m，

（1）用x0,f（x0）,表示m；

（2）证明：

当x（0,+）时，g（x）f（x）；

（3）若关于x的不等式x2+1ax+b在（0,+）上恒成立，其中a,b为实数，求b的取值范围及a,b所满足的关系。

13.设各项为正的无穷数列xn满足lnxn+,证明：

xn1（nN+）.五、联赛一试水平训练题1设Mn=（十进制）n位纯小数0只取0或1（i=1,2,n-1），an=1，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则_.2若（1-2x）9展开式的第3项为288，则_.3设f（x）,g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，且g（-3）=0，则不等式f（x）g（x）0），若对任意xln（3a）,ln（4a），不等式|m-f-1（x）|+ln0恒成立，则实数m取值范围是_.9.已知函数f（x）=ln（1+x）-x,g（x）=xlnx,

（1）求函数f（x）的最大值；

（2）设0ab，证明：

0g（a）+g（b）-（b-a）ln2.10.

（1）设函数f（x）=xlog2x+（1-x）log2（1-x）（0x1），求f（x）的最小值；

（2）设正数p1,p2,满足p1+p2+p3+=1，求证：

p1log2p1+p2log2p2+log2-n.11.若函数gA（x）的定义域A=a,b），且gA（x）=,其中a,b为任意的正实数，且ab，

（1）求gA（x）的最小值；

（2）讨论gA（x）的单调性；

（3）若x1Ik=k2,（k+1）2,x2Ik+1=（k+1）2,（k+2）2，证明：

六、联赛二试水平训练题1证明下列不等式：

（2）。

2当01.2019-2020年高中数学竞赛教材讲义第四章几个初等函数的性质一、基础知识1指数函数及其性质：

形如y=ax（a0,a1）的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+），当0a1时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。

2分数指数幂：

。

3对数函数及其性质：

形如y=logax（a0,a1）的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+），值域为R，图象过定点（1，0）。

当0a1时，y=logax为增函数。

4对数的性质（M0,N0）；

1）ax=Mx=logaM（a0,a1）；

2）loga（MN）=logaM+logaN；

3）loga（）=logaM-logaN；

4）logaMn=nlogaM；

，5）loga=logaM；

6）alogaM=M;

7）logab=（a,b,c0,a,c1）.5.函数y=x+（a0）的单调递增区间是和，单调递减区间为和。

（请读者自己用定义证明）6连续函数的性质：

若ab,f（x）在a,b上连续，且f（a）f（b）0.【证明】设f（x）=（b+c）x+bc+1（x（-1,1），则f（x）是关于x的一次函数。

所以要证原不等式成立，只需证f（-1）0且f

（1）0（因为-1a0，f

（1）=b+c+bc+a=（1+b）（1+c）0，所以f（a）0，即ab+bc+ca+10.例2（柯西不等式）若a1,a2,an是不全为0的实数，b1,b2,bnR，则（）（）（）2，等号当且仅当存在R，使ai=,i=1,2,n时成立。

【证明】令f（x）=（）x2-2（）x+=,因为0，且对任意xR,f（x）0，所以=4（）-4（）（）0.展开得（）（）（）2。

等号成立等价于f（x）=0有实根，即存在，使ai=,i=1,2,n。

例3设x,yR+,x+y=c,c为常数且c（0,2，求u=的最小值。

【解】u=xy+xy+2=xy+2.令xy=t，则0t=xy,设f（t）=t+,0t因为0c2，所以00，所以=例5对于正整数a,b,c（abc）和实数x,y,z,w，若ax=by=cz=70w，且，求证：

a+b=c.【证明】由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以lga=lg70,lgb=lg70,lgc=lg70，相加得（lga+lgb+lgc）=lg70，由题设，所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.所以abc=70=257.若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a1.又abc，且a,b,c为70的正约数，所以只有a=2,b=5,c=7.所以a+b=c.例6已知x1,ac1,a1,c1.且logax+logcx=2logbx，求证c2=（ac）logab.【证明】由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底的对数，得，因为ac0,ac1，所以logab=logacc2，所以c2=（ac）logab.注：

指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。

3指数与对数方程的解法。

解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。

值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。

例7解方程：

3x+4x+5x=6x.【解】方程可化为=1。

设f（x）=,则f（x）在（-,+）上是减函数，因为f（3）=1，所以方程只有一个解x=3.例8解方程组：

（其中x,yR+）.【解】两边取对数，则原方程组可化为把代入得（x+y）2lgx=36lgx，所以（x+y）2-36lgx=0.由lgx=0得x=1，由（x+y）2-36=0（x,yR+）得x+y=6，代入得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0.又y0，所以y=2,x=4.所以方程组的解为.例9已知a0,a1，试求使方程loga（x-ak）=loga2（x2-a2）有解的k的取值范围。

【解】由对数性质知，原方程的解x应满足.若、同时成立，则必成立，故只需解.由可得2kx=a（1+k2），当k=0时，无解；

当k0时，的解是x=，代入得k.若k1，所以k0，则k21，所以0k1.综上，当k（-,-1）（0,1）时，原方程有解。

三、基础训练题1命题p:

“（log23）x-（log53）x（log23）-y-（log53）-y”是命题q:

“x+y0”的_条件。

2如果x1是方程x+lgx=27的根，x2是方程x+10x=27的根，则x1+x2=_.3已知f（x）是定义在R上的增函数，点A（-1，1），B（1，3）在它的图象上，y=f-1（x）是它的反函数，则不等式|f-1（log2x）|1的解集为_。

4若log2a0，则a取值范围是_。

5命题p:

函数y=log2在2，+）上是增函数；

命题q:

函数y=log2（ax2-4x+1）的值域为R，则p是q的_条件。

6若0b0且a1，比较大小：

|loga（1-b）|_|loga（1+b）.7已知f（x）=2+log3x,x1,3，则函数y=f（x）2+f（x2）的值域为_。

8若x=，则与x最接近的整数是_。

9函数的单调递增区间是_。

10函数f（x）=的值域为_。

11设f（x）=lg1+2x+3x+（n-1）x+nxa，其中n为给定正整数,n2,aR.若f（x）在x（-,1时有意义，求a的取值范围。

12当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？

四、高考水平训练题1函数f（x）=+lg（x2-1）的定义域是_.2已知不等式x2-logmx0在x时恒成立，则m的取值范围是_.3若xx|log2x=2-x，则x2,x,1从大到小排列是_.4.若f（x）=ln，则使f（a）+f（b）=_.5.命题p:

命题q：

函数y=log2（ax2-4x+1）的值域为R，则p是q的_条件.6若0b0且a1，比较大小：

|loga（1-b）|_|loga（1+b）|.7已知f（x）=2+log3x,x1,3，则函数y=f（x）2+f（x2）的值域为_.8若x=，则与x最接近的整数是_.9函数y=的单调递增区间是_.10函数f（x）=的值域为_.11设f（x）=lg1+2x+3x+（n-1）x+nxa，其中n为给定正整数，n2,aR。

若f（x）在x（-,1时有意义，求a的取值范围。

四、高考水平训练题1函数f（x）=+lg（x2-1）的定义域是_.2已知不等式x2-logmx10,y10,xy=1000，则（lgx）（lgy）的取值范围是_.7若方程lg（kx）=2lg（x+1）只有一个实数解，则实数k的取值范围是_.8函数f（x）=的定义域为R，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同的实数解，则b,c应满足的充要条件是_.

（1）b0；

（2）b0且c0；

（3）b0且c=0；

（4）b0且c=0。

9已知f（x）=x,F（x）=f（x+t）-f（x-t）（t0），则F（x）是_函数（填奇偶性）.10已知f（x）=lg，若=1，=2，其中|a|1,|b|1，则f（a）+f（b）=_.11设aR，试讨论关于x的方程lg（x-1）+lg（3-x）=lg（a-x）的实数解的个数。

12设f（x）=|lgx|，实数a,b满足0ab,f（a）=f（b）=2f，求证：

（1）a4+2a2-4a+1=0,b4-4b3+2b2+1=0；

（2）3b0且a1,f（x）=loga（x+）（x1），

（1）求f（x）的反函数f-1（x）；

（2）若f-1（n）x1x2x30，都有log1993+log1993+log1993klog1993恒成立，则k的最大值为_.3实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则的值为_.4已知0b1,000的解集为_.9已知a1,b1，且lg（a+b）=lga+lgb，求lg（a-1）+lg（b-1）.10

（1）试画出由方程所确定的函数y=f（x）图象。

（2）若函数y=ax+与y=f（x）的图象恰有一个公共点，求a的取值范围。

11对于任意nN+（n1），试证明：

+=log2n+log3n+lognn。

六、联赛二试水平训练题1设x,y,zR+且x+y+z=1，求u=的最小值。

2当a为何值时，不等式loglog5（x2+ax+6）+loga30有且只有一个解（a1且a1）。

3f（x）是定义在（1，+）上且在（1，+）中取值的函数，满足条件；

对于任何x,y1及u,v0,f（xuyv）f（x）f（y）都成立，试确定所有这样的函数f（x）.4.求所有函数f：

RR，使得xf（x）-yf（x）=（x-y）f（x+y）成立。

5设m14是一个整数，函数f：

NN定义如下：

f（n）=,求出所有的m,使得f（1995）=1995.6求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数f:

f（x+y）=f（x）+f（y）+f（x）f（y）,x,yQ.7是否存在函数f（n），将自然数集N映为自身，且对每个n1,f（n）=f（f（n-1）+f（f（n+1）都成立。

8设p,q是任意自然数，求证：

存在这样的f（x）Z（x）（表示整系数多项式集合），使对x轴上的某个长为的开区间中的每一个数x,有9设，为实数，求所有f:

R+R，使得对任意的x,yR+,f（x）f（y）=y2f成立。