普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国1卷试题与答案Word格式.docx
《普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国1卷试题与答案Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国1卷试题与答案Word格式.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
nn
121010A．B．C．
D．12
32
fxxaxaxf（x）yf（x）（0,0）
5．设函数（）
（1）.若为奇函数，则曲线在点处的
切线方程为
yxyxy2x
A．B．C．
yxD．
△ABCADBCEADEB6．在中，为边上的中线，为的中点，则
3113
ABACABAC
4444
31
ABAC
44
D．
13
M
7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应
ANBMN点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到
的路径中，最短路径的长度为
A．17B．C．3
225
D．2
8．设抛物线C：
y
2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，
3
则=
FMFN
A．5B．6C．7
D．8
xx
e，0，
f（x）g（x）f（x）xa
9．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的
lnx，x0，
取值范围是
A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）
D．[1，+∞）
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆
的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．ABC的三边所围成的
△
区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自
Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则
A．p1=p2B．p1=p3
C．p2=p3D．p1=p2+p3
x
21y
11．已知双曲线C：
，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条
渐近线的交点分别为M、N.若△为直角三角形，则|MN|=
OMN
A．B．3C．23D．4
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所
得截面面积的最大值为
332332
A．B．C．D．
434
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
x2y20
xyxy
10
13．若，满足约束条件，则z3x2y的最大值为_____________．
y0
SannS2a1S6
14．记为数列的前项和.若，则_____________．
nnn
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法
共有_____________种．（用数字填写答案）
fx2sinxsin2xfx
16．已知函数，则的最小值是_____________．
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
60分。
17．（12分）
ABCDADC90A45AB2BD5在平面四边形中，，，，.
cosADB
（1）求；
DC22BC
（2）若，求.
18．（12分）
ABCDE,FAD,BCDF△DFC如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把
CPPFBF折起，使点到达点的位置，且.
（1）证明：
平面平面；
PEFABFD
DPABFD
（2）求与平面所成角的正弦值.
19．（12分）
C:
y1FFlCA,BM设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标
（2,0）为.
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
lxAM
（2）设O为坐标原点，证明：
OMAOMB.
20．（12分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，
如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再
根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为
p（0p1）
，且各件产品是否为不合格品相互独立．学科&
网
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．
f（p）f（p）
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以
（1）中确定的作为
pp
的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件
不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，
X
EX求;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作
检验？
21．（12分）
f（x）xalnx已知函数．
f（x）
（1）讨论的单调性；
fxfx
12
（2）若存在两个极值点x1,x2，证明：
a2．
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修4—4：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴
xOyC1yk|x|2x
22cos30为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
C
（1）求的直角坐标方程；
CC2C1
（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.
23．[选修4—5：
不等式选讲]（10分）
已知.
f（x）|x1||ax1|
af（x）1
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时不等式成立，求的取值范围.
x（0,1）f（x）xa
参考答案：
123456789101112
CBABDABDCABA
633313.614.15.1616.
17.（12分）
BDAB
ABD
解：
（1）在△中，由正弦定理得.
sinAsinADB
522
由题设知，，所以ADB.
sin
sin45sinADB5
223
由题设知，，所以.
ADB90cosADB1
255
（2）由题设及
（1）知，cosBDCsinADB.
5
BCD
在中，由余弦定理得
2222cos
BCBDDCBDDCBDC
2582522
25
.
BC5所以.
18.（12分）
（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.
又BF平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
（2）作PH⊥EF，垂足为H.由
（1）得，PH⊥平面ABFD.
HF|BF|
以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直
角坐标系H-xyz.
由
（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.
33
可得PH,EH.
22
33333
H（0,0,0）,P（0,0,）,D（1,,0）,DP（1,,）,HP（0,0,）
则为平面
22222
ABFD的法向量.
HPDP3
4
设DP与平面ABFD所成角为，则sin||.
|HP||DP|34
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
19.（12分）
（1）由已知得F（1,0），l的方程为x=1.
由已知可得，点A的坐标为（1,）或（1,）.
所以AM的方程为或.
yx2yx2
OMAOMB0
（2）当l与x轴重合时，.
OMAOMB当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk（x1）（k0），A（x1,y1）,B（x2,y2），
yy
x12,x22kk
则，直线MA，MB的斜率之和为.
MAMB
x12x2
由y1kxk,y2kx2k得
kk
2kxx3k（xx）4k
1212
（
x2）（x2）
21将yk（x1）代入y得
2222
（2k1）x4kx2k20
4k2k2
所以，xx,xx.
122122
2k12k1
333
4k4k12k8k4k
则2kxx3k（xx）4k0.
1222
2k1
kkOMAOMB
从而0，故MA，MB的倾斜角互补，所以.
OMAOMB综上，.
20.（12分）
2218
（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p）Cp（1p）.因此
20
218217217
f（p）C[2p（1p）18p（1p）]2Cp（1p）（110p）
2020
令f（p）0，得p0.1.当p（0,0.1）时，f（p）0；
当p（0.1,1）时，f（p）0.
所以fp的最大值点为p00.1.
（）
（2）由
（1）知，p0.1.
YY:
B（180,0.1）
（i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，
X20225YX4025Y
，即.
所以EXE（4025Y）4025EY490.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于，故应该对余下的产品作检验.
EX400
21.（12分）
1axax1
解:
（1）的定义域为，f（x）1.
f（x）（0,）
xxx
a2f（x）0a2x1f（x）0f（x）（0,）（i）若，则，当且仅当，时，所以在
单调递减.
2424aaaa
（ii）若a2，令f（x）0得，x或x.
x（0,）U（,）f（x）0当时，；
当时，.所以在
x（,）f（x）0f（x）
2424
aaaa
（0,）,（,）
单调递减，在单调递
（,）
增.
fxa2
（2）由
（1）知，（）存在两个极值点当且仅当.
210
由于的两个极值点x1,x2满足，所以，不妨设，则
fxxax
（）x1x21x1x2
x21
.由于
f（x）f（x）1lnxlnxlnxlnx2lnx
1212122
1a2a2a
xxxxxxxxx
12121212
，
f（x）f（x）1
所以a2等价于x2lnx0.
122
设函数g（x）x2lnx，由
（1）知，g（x）在（0,）单调递减，又g
（1）0，从
而当x（1,）时，g（x）0.
1f（x）f（x）
所以x2lnx0，即a2.
212
（1）由xcos，ysin得C2的直角坐标方程为．
（x1）y4
（2）由
（1）知C是圆心为A（1,0），半径为2的圆．学&
科网
CB（0,2）yyly由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，
11
lBC2C1C2l1轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与
Cl2C2l2C2l1C2
只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两2
个公共点．
|k2|
lC2Al12
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故
k14
kk0
或．
Ck0l1C2kl1C2
经检验，当时，与没有公共点；
当时，与只有一个公共点，
l
与有两个公共点．
lC2Al22
k1
k
k0l1C2kl2C2
当时，与没有公共点．
综上，所求的方程为．
Cy|x|2
k0
2,x1,
（1）当a1时，f（x）|x1||x1|，即f（x）2x,1x1,
f（x）1{x|x}
故不等式的解集为．
2,x1.
（2）当x（0,1）时|x1||ax1|x成立等价于当x（0,1）时|ax1|1成立．
a0x（0,1）|ax1|1若，则当时；
a0|ax1|10a2
0x1
若，的解集为，所以，故．
aa
a（0,2]综上，的取值范围为．
升级会员 